韓寶燕

摘 要：從諾貝爾經(jīng)濟學獎中的數(shù)學建模出發(fā)，闡述了數(shù)學建模在經(jīng)濟領域中的應用現(xiàn)狀和前景，給出建立數(shù)學模型的基本步驟，最后給出養(yǎng)老數(shù)學模型，并進行分析。

關鍵詞：諾貝爾經(jīng)濟學獎；數(shù)學模型；最后給出養(yǎng)老數(shù)學模型

一、從諾貝爾經(jīng)濟學獎看數(shù)學建模

（1）諾貝爾經(jīng)濟學獎

諾貝爾經(jīng)濟學獎是1968瑞典銀行為慶祝建行300周年，決定從1969年起同樣以諾貝爾的名義，頒發(fā)經(jīng)濟學獎。這個項獎的全稱是“瑞典銀行為紀念阿爾弗雷德·諾貝爾的經(jīng)濟學獎（The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel）”。除獎金來源不同外，諾貝爾經(jīng)濟學獎的整個程序與其他諾貝爾獎的設置完全相同。

從諾貝爾經(jīng)濟學獎得主的工作看來，經(jīng)濟學獎的發(fā)展趨勢：日益朝著用數(shù)學表達經(jīng)濟內容和統(tǒng)計學定量化的方向發(fā)展。并且經(jīng)濟科學在經(jīng)濟行為的數(shù)學規(guī)范和統(tǒng)計定量化的方向上已經(jīng)越來越發(fā)展，用來解釋經(jīng)濟增長、商情周期經(jīng)濟波動及各種復雜經(jīng)濟現(xiàn)象的分析工具也越來越強大。經(jīng)濟學家對有關經(jīng)濟戰(zhàn)略的經(jīng)濟關系構造數(shù)學模型的做法，已經(jīng)被證明是成功的并且是有效的。

（2）Klein的宏觀經(jīng)濟模型

1980年諾貝爾經(jīng)濟學獎授予Lawrence R Klein（克萊因），以獎勵他創(chuàng)立的宏觀經(jīng)濟模型，并把它應用于經(jīng)濟波動以及經(jīng)濟政策的分析。克萊因與哥德伯格（Arthur Goldberg）兩人合作完成了一套新的美國經(jīng)濟模型，并稱其為克萊因-哥德伯格模型（Klein-Goldberg）。

克萊因在1950年發(fā)表的美國經(jīng)濟模型有以下六個方程：

（ⅰ）消費函數(shù) ，

（ⅱ）投資函數(shù) ，

（ⅲ）勞動需求 ，

（ⅳ）恒等式 ，

（ⅴ）恒等式 ，

（ⅵ）恒等式 ，

其中C是消費支出，I是投資支出，G是政府支出，P是利潤，W是個人收入，w是政府支出，K是資本儲備，T是稅收，Y是稅后收入，t是時間，u1，u2和u3是隨機干擾項。C，I，W，Y，P和K是相互依賴的內生變量，其他變量是預定的外生變量，其中方包括Pt-1，Kt-1和Yt-1。由此根據(jù)上述六個方程導出變量之間的關系。克萊因依據(jù)的是1921-1941年的美國數(shù)據(jù)。克萊因的早期論文主要是方法論性質的，比如他的第一個美國經(jīng)濟模型，只有六個變量，而后來他又提出變量數(shù)目多于六個的模型。

克萊因于1980年同中國社會科學院合辦了一次計量經(jīng)濟的暑期研習會，從這以后，中國的訪問學者也就來到費城。盡管其進展非常有限，但為LINK建構中國模型，并維持其運作，這也算有了一個好的開始。原來已有的中國模型，是有斯坦福大學的劉遵義（Laurence La）建立的。1984年，克萊因再度造訪中國，并繼續(xù)講授計量經(jīng)濟方法。克萊因在中國臺灣地區(qū)就建構了和LINK相容模型進行過類似的工作。

（3）Stigler文獻引證模型

1982年諾貝爾經(jīng)濟學獎授予George Joseph Stigler，以獎勵他對行業(yè)結構、市場功能和公共監(jiān)管的起因和效應的系統(tǒng)研究。

Stigler被認為是“信息經(jīng)濟學”與“監(jiān)管經(jīng)濟學”的創(chuàng)始人。研究市場信息在市場中的作用，就是信息經(jīng)濟學的主題。比如人在購買房屋、家用電器、汽車一類的耐用品時，會廣泛收集信息，以便是自己買到最適合的商品。Stigler就把這樣的問題模型化為效用函數(shù)，這一數(shù)學觀念很快就得到廣泛的應用。

Stigler及其合作者對經(jīng)濟學家在其論文中的引證作了詳細的統(tǒng)計分析。其中還對1886-1925年間和1925-1969年間的數(shù)據(jù)分別做了回歸分析，結果對前一時期得到：

（1.68） （0.60） （1.05） （0.05）

R???2=0.23，n=53。

其中圓括號中的數(shù)是t檢驗值，B是代表書的數(shù)量，A代表文章的數(shù)量，下標to05表示1905年以前，下標5，25表示1905-1925年間。根據(jù)這個模型，Stigler得到一個結論：從早起來看，書的重要性是文章的3倍。而且R2的值很低，這說明出版物的質量所起的作用要比它的數(shù)量所起的作用大得多。對于1925-1969年間的分析結果為：

（1.28） （2.09） （0.10） （1.89）

（3.37） （2.67）

R2=0.398，n=126。

根據(jù)這個模型，Stigler得到的結論是：從早期看來文章的影響會更大，而近期的書的影響力則遠遠不如前者，但近期文章的影響力卻在逐年上升。

（4）從諾貝爾經(jīng)濟學獎看數(shù)學經(jīng)濟建模的價值

從以上兩位諾貝爾經(jīng)濟學獎得主的成績我們可以看出，數(shù)學建模方法應用于經(jīng)濟領域，已經(jīng)對經(jīng)濟領域的各個方面產生了不可估量的影響，尤其是在經(jīng)濟理論證明和指導實踐方面取得了跨越式的發(fā)展。將數(shù)學建模方法應用于經(jīng)濟領域已經(jīng)是不可阻擋的趨勢，并且其作用和影響也越來越受到人們的熱切關注。

二、構建數(shù)學經(jīng)濟模型的基本步驟

（1）數(shù)學經(jīng)濟模型建立的基本步驟

一般來說，要解決一個經(jīng)濟問題，建構一個合理有效的數(shù)學模型主要有一下幾個步驟：

1.分析問題

對問題所給的條件和數(shù)據(jù)進行分析，明確要解決的問題。通過對問題的分析，明確所給的信息與那些知識有關聯(lián)，判斷可能用到的方法和工具，最好是能確定要解決問題的重點和關鍵所在。

2.模型假設

根據(jù)問題的復雜程度、建立與求解模型所使用的條件和方法，對研究的問題進行一些必要的合理的假設。在數(shù)學建模中，進行一些合理的假設不但能夠簡化問題，還可以限制求解方法和使用范圍。這也是評價一個模型的好壞的重要方法之一。提出的模型假設，既要起到是問題簡化和突出主要因素的作用，又要是問題不能過分簡單或特殊，必要時需要在建立模型的過程中對已經(jīng)做好的假設進行不斷的修改和補充。

3.建立模型

通過假設對要研究的問題進行簡化、抽象，明確影響模型的諸因素，并找出主要因素，用數(shù)量和參數(shù)來表示這些因素。運用相關數(shù)學知識來描述問題中變量與參數(shù)之間的數(shù)學規(guī)律，列出數(shù)學表達式、表格或圖形。對上述表達式、表格或圖形進行數(shù)學處理，初步確定數(shù)學模型。

4.模型求解

利用數(shù)學相關知識和方法，使用已知數(shù)據(jù)以及觀測數(shù)據(jù)，求解模型中參數(shù)的近似值，從而初步確立模型。在求解過程中掌握一兩個數(shù)學軟件（如Matlab）會使運算更加簡便。

5.模型的分析、檢驗和應用

對所確定的模型參數(shù)在數(shù)學上進行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的靈敏性分析等。還需要把所得解及其分析結果翻譯回到實際問題，包括解是否合理適用，數(shù)學模型的解在實際問題中是否具有一般意義。若誤差較大或靈敏性不高，模型就必須進行調整修改，重復前面的建模過程，直到建立一個符合實際的合理有效的數(shù)學模型。

（2）養(yǎng)老保險模型

眾所周知，養(yǎng)老保險是保險中一個非常重要的險種，一般情況下保險公司將提供不同的保險方案供投保人選擇，或分析保險品種的實際投資價值。換句話說，就是分析如果所交保險費和保險收入，按年或者按月計算實際的利率是多少？

1.模型假設

因為繳費是按月進行的，所以這個過程可以按月進行劃分。假設投保人到第k月止所繳保費及收益的累計總額為Fk，每月收益為r，用p，q分別表示60歲之前和之后每月繳費數(shù)和領取數(shù)，N表示停交保險費的月份，M表示停止領取保險費的月份。

2.模型建立

在這個階段，離散變量Fk的變化規(guī)律滿足一下式子：

，

在這里Fk表示從投保人開始繳納保險費以后，投保人賬戶上的資金數(shù)，需注意我們關心的是在第M個月時，F(xiàn)M能否為非負數(shù)。如果為正，則表明保險公司獲得收益；否則，表明保險公司出現(xiàn)虧損。當它為零時，表示保險公司既沒有獲得收益也沒有出現(xiàn)虧損，即所有的收益全歸投保人，把它作為投保人的實際收益。由此可以看出，引入的變量Fk能夠很好的刻畫整個過程中資金的變化關系。尤其是引入的收益率變量r，雖然它不是要求的投保人的收益率，但是在問題系統(tǒng)中必須要考慮引入另外一個對象，即保險公司的經(jīng)營效益。以此作為整個過程中各個變量變化的表現(xiàn)基礎。

3.模型計算

現(xiàn)以25歲起投保為例。假設男性平均壽命為75歲，則有p=200，q=2282，初始值為F0，可以得到：

，

在上述式子中，分別取k=N和k=M，并利用 可以求出：

，

利用數(shù)學軟件可以求出方程的根：r=0.00485。這里M=50×12，N=35×12。

參考文獻

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