劉林芳，芮國勝，張洋，吳前龍

（海軍航空大學(xué)信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264001）

1 引言

混沌運動是自然界中存在的一類復(fù)雜的非線性運動，具有初值敏感性、有界性、類隨機(jī)性、連續(xù)寬帶頻譜等特征[1-4]，因此在保密通信、信號檢測、自動控制等諸多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[5-8]。早在1990年，數(shù)學(xué)家Pecora等[9]就提出了基于混沌理論的加密方法?；煦缤降睦碚摵头椒ǔ霈F(xiàn)后，混沌保密通信便成為保密通信領(lǐng)域研究的熱點，其研究主要集中于混沌同步控制、混沌加密算法等方面。

目前，國內(nèi)外已提出的混沌同步控制方法有線性反饋法[10]、自適應(yīng)控制法[11]、主動控制法[12]、非線性控制法[13-14]、滑?？刂品╗15]等。文獻(xiàn)[16]研究了混沌系統(tǒng)與超混沌系統(tǒng)的脈沖同步，文獻(xiàn)[17]實現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的完全同步及時延同步，文獻(xiàn)[18]實現(xiàn)了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制?；煦绫Ｃ芡ㄐ胖饕谢煦缪谏w通信[19]、混沌鍵控通信[20]、混沌調(diào)制通信[21]等。混沌掩蓋通信的原理是在發(fā)送端將待發(fā)送信息隱藏在混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號中，在接收端通過混沌同步去掉接收信號中的混沌信號，實現(xiàn)對原始信息的恢復(fù)?；煦珂I控通信的原理是在發(fā)送端利用2種不同的混沌信號分別代表0和1，接收端由與發(fā)送端相同的2個混沌陣子組成，通過判斷每個碼元內(nèi)接收信息與混沌陣子的同步與否來解調(diào)出有用信息?；煦缯{(diào)制通信的原理是在發(fā)送端將待發(fā)送信息調(diào)制到混沌系統(tǒng)參數(shù)中，在接收端通過混沌系統(tǒng)的同步來恢復(fù)出混沌系統(tǒng)的參數(shù)，從而解調(diào)出有用信息。為滿足混沌陣子在大規(guī)模通信中的應(yīng)用需求，文獻(xiàn)[22]研究了新的六階混沌電路，文獻(xiàn)[23]在現(xiàn)有混沌陣子的基礎(chǔ)上構(gòu)建了混沌陣子的沿坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動的模型。

綜上，目前的混沌保密通信主要是基于混沌同步理論，利用混沌陣子的類隨機(jī)性、不可預(yù)測性實現(xiàn)保密通信。雖然混沌陣子具有優(yōu)良的特性，但是現(xiàn)有的混沌陣子數(shù)目有限、結(jié)構(gòu)已知，且在大規(guī)模并發(fā)式混沌保密通信中需要用到大量的混沌陣子，針對這些問題，本文進(jìn)行了以下研究：1)建立了混沌陣子的相空間對稱模型，可由某一個混沌陣子得到混沌陣子群，陣子群中包含數(shù)目眾多的對稱陣子，能滿足大量使用的需求；2)研究了陣子群的同步特性，得到了相空間對稱陣子群的同步條件；3)設(shè)計了基于相空間對稱混沌陣子的保密通信系統(tǒng)并對其進(jìn)行理論分析和仿真驗證，結(jié)果表明該方法具有較好的保密性能。

2 混沌陣子相空間對稱模型

Lorenz混沌系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中，x˙1為x1的一階導(dǎo)數(shù)，b σ、γ、為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)時，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，本文以 Lorenz混沌陣子為例進(jìn)行研究，其結(jié)論可應(yīng)用于任意混沌系統(tǒng)。

2.1 理論模型

記三維空間直線l的參數(shù)方程為

記混沌系統(tǒng)方程為

定義1將式(3)的混沌系統(tǒng)相空間中任意一點x關(guān)于相空間中任意直線l對稱的點記為點y，所有的關(guān)于直線l對稱的點組成的系統(tǒng)稱為混沌陣子相空間中關(guān)于直線l的對稱系統(tǒng)，所有的對稱系統(tǒng)組成混沌系統(tǒng)的相空間對稱系統(tǒng)群。

由定義1可知，相空間對稱系統(tǒng)的相軌跡僅僅在相空間發(fā)生了位置變化，其相軌跡圖的形態(tài)、系統(tǒng)特性并未發(fā)生改變。以Lorenz系統(tǒng)為例，其系統(tǒng)相圖和關(guān)于任意直線l1對稱的系統(tǒng)相圖如圖 1所示。其中，直線l1的參數(shù)式方程為

圖1 Lorenz系統(tǒng)相圖及其關(guān)于直線l1對稱的系統(tǒng)相圖

混沌理論應(yīng)用于保密通信主要是利用了混沌陣子處于混沌狀態(tài)時信號的類隨機(jī)特性，并通過混沌同步來解調(diào)信號。Lyapunov指數(shù)是判斷混沌系統(tǒng)狀態(tài)的重要參數(shù)之一，若最大Lyapunov指數(shù)大于0則可以判斷系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。通過計算可得，Lorenz系統(tǒng)關(guān)于直線l1的對稱系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.885 0，這驗證了對稱后的系統(tǒng)仍處于混沌狀態(tài)，保持了混沌系統(tǒng)的優(yōu)良特性。

2.2 相空間對稱系統(tǒng)群的同步

定義2混沌系統(tǒng)(1)關(guān)于相空間中直線lm對稱的系統(tǒng)表達(dá)式為

令相空間對稱系統(tǒng)(5)為驅(qū)動系統(tǒng)，原系統(tǒng)(1)為響應(yīng)系統(tǒng)，則有

定義3若存在同步控制器，使式(7)中誤差滿足

則稱原系統(tǒng)(1)與空間對稱系統(tǒng)(5)達(dá)到同步。

定理1存在同步控制器

使驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)達(dá)到同步，其中，Δ為n×n維正定矩陣。

證明由式(5)～式(7)和式(9)可知

因此有

其中，Δn為1×n維矩陣。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為，則有

因為Δ為正定矩陣，故有

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可得該系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，即存在同步控制器

使原系統(tǒng)與混沌相空間對稱系統(tǒng)達(dá)到同步。

2.3 仿真驗證

根據(jù)定義1，求得Lorenz系統(tǒng)關(guān)于直線l2、l3的相空間對稱系統(tǒng)的方程分別為

根據(jù)式(1)、式(10)、式(11)及定理 1設(shè)計同步控制器，選取Δ為三維單位矩陣，符合定理1的約束條件，即則同步控制器為

任選系統(tǒng)(10)初始值為(1,-3,4)，系統(tǒng)(11)初始值為(-2,3,5)。根據(jù)上述條件進(jìn)行仿真，得到2個相空間對稱系統(tǒng)相圖及同步誤差分別如圖2和圖3所示。從圖2(a)和圖3(a)可以看出，對稱系統(tǒng)相圖仍保持了Lorenz陣子的相圖特性，但空間位置發(fā)生了變化；從圖2(b)和圖3(b)可以看出，在同步控制器作用下，驅(qū)動系統(tǒng)5 s后與響應(yīng)系統(tǒng)完全同步。

3 基于相空間對稱陣子群的混沌掩蓋保密通信

混沌保密通信主要有混沌掩蓋通信、混沌鍵控通信、混沌調(diào)制通信[19-21]，利用第2節(jié)提出的相空間對稱混沌陣子群的混沌特性及同步特性設(shè)計混沌保密通信系統(tǒng)。本文僅設(shè)計了基于相空間對稱陣子群的混沌掩蓋保密通信模型，但是該對稱陣子群也可應(yīng)用于其他混沌保密通信模型中。

3.1 系統(tǒng)模型

基于相空間對稱混沌陣子群的保密通信模型如圖4所示。發(fā)送端首先在相空間對稱混沌陣子群中選擇某一對稱陣子，利用該對稱陣子產(chǎn)生信號的隨機(jī)特性生成加密函數(shù)g(y)，再利用函數(shù)g(y)對待傳輸信號進(jìn)行混沌掩蓋；接收端在混沌同步控制器的控制下產(chǎn)生與發(fā)送端對稱混沌陣子同步的信號，在此基礎(chǔ)上生成解密函數(shù)h(x)，利用解密函數(shù)h(x)對接收到的信號進(jìn)行解密得到有用信號。加密函數(shù)g(y)、解密函數(shù)h(x)的計算式分別為

圖2 相空間對稱系統(tǒng)yl2相圖及同步誤差

圖3 相空間對稱系統(tǒng)yl3相圖及同步誤差

圖4 基于相空間對稱混沌陣子群的保密通信模型

采用混沌掩蓋的方式對待發(fā)送信號m(t)進(jìn)行加密，加密后的信號記為s(t)，加密算法如式(16)所示，其中k為比例系數(shù)，調(diào)節(jié)待加密信號幅度，一般使待加密信號幅度小于混沌信號幅度的以達(dá)到混沌掩蓋的效果。接收端的解密算法如式(17)所示，解調(diào)出的信號記為m′(t)。

現(xiàn)有的基于Lorenz混沌陣子的混沌保密通信中的密鑰主要為 Lorenz陣子的初始值和計算步長，在本文方法中，密鑰除了Lorenz系統(tǒng)初始值及計算步長外，還包括陣子對稱時的直線方程參數(shù)：點(x0,y0,z0)和方向向量。由于對稱后的 Lorenz陣子仍處于混沌狀態(tài)，具有混沌系統(tǒng)的初值敏感性，因此本文方法在不降低現(xiàn)有方法性能的基礎(chǔ)上密鑰空間更大，保密性更強(qiáng)。

3.2 仿真驗證

利用相空間對稱陣子對常用的正弦信號進(jìn)行加密傳輸驗證實驗，根據(jù)圖4的傳輸模型，分別設(shè)計2個實驗。

2) 利用式(11)的對稱陣子加密信號m2(t)=sin2t后進(jìn)行傳輸，接收端經(jīng)過同步后解密出原始信號。

其余參數(shù)與2.3節(jié)和3.1節(jié)相同，信號m1(t)和m2(t)加密傳輸?shù)姆抡娼Y(jié)果分別如圖5和圖6所示。

從圖5(a)和圖 6(a)可以看出，待傳輸信號經(jīng)過加密后完全被掩蓋在混沌信號中，達(dá)到了混沌掩蓋保密通信的效果；從圖5(b)和圖6(b)可以看出，接收端在5 s內(nèi)迅速達(dá)到混沌同步，經(jīng)過混沌同步后正確解密出了原始信號。

圖5 信號m1( t)傳輸實驗時域波形

圖6 信號m2( t)傳輸實驗時域波形

在圖4的傳輸模型中，每次發(fā)送信號時選用不同的對稱陣子進(jìn)行加密，假設(shè)竊聽者竊取了傳輸信號m1(t)時所用的對稱混沌陣子式(10)的信息，并利用該信息解密信號m2(t)，其結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，竊聽者并不能利用該信息正確解密出信號m2(t)，因為每個對稱混沌陣子在相空間的位置各不相同，即便竊取了某一對稱陣子的信息也無法解密出由其他對稱陣子加密的信號。

圖7 對稱陣子yl2解密信號m2( t)的時域波形

綜上可知，本文方法具有以下優(yōu)點：空間對稱混沌陣子群理論上包含無數(shù)多個對稱陣子，可對不同的信號采用不同的對稱陣子進(jìn)行加密，且各陣子只能解密自己加密的信號，具有較好的保密性；同時，與使用大量不同種類混沌陣子進(jìn)行保密通信的方法相比，本文方法在不降低保密性能的前提下降低了實現(xiàn)的復(fù)雜度，實用性更強(qiáng)。

4 結(jié)束語

本文首先研究了混沌陣子相空間對稱模型，該模型中對稱陣子既能保持原有的混沌特性，又能提供大量可用于保密通信的對稱陣子；然后研究了相空間對稱陣子群的同步問題，實現(xiàn)了對稱陣子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的同步；最后在同步的基礎(chǔ)上提出了基于相空間對稱陣子群的保密通信模型，并對其進(jìn)行仿真驗證。仿真結(jié)果表明，本文方法能有效實現(xiàn)混沌掩蓋保密通信，具有較好的應(yīng)用前景。數(shù)目眾多的對稱陣子可在多信道并發(fā)通信中使用，在與MIMO等其他技術(shù)相結(jié)合發(fā)揮其保密功能方面也具有較好的應(yīng)用前景。