甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

一、定義在R上的周期函數(shù)的一個周期只能是半開半閉區(qū)間，而不能是閉區(qū)間和開區(qū)間

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)4·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第8次印刷)有以下敘述：

(2)(第38頁)類似地，在余弦函數(shù)的一個周期上(如[-π,π])，…….

筆者認(rèn)為：

若認(rèn)為閉區(qū)間[-π,π]是余弦函數(shù)的一個周期，則下一個周期是什么呢？既然上一個周期是閉區(qū)間，所以下一個周期也是閉區(qū)間，因而下一個周期只能是閉區(qū)間[π,3π].這樣的話，π同在[-π,π]與[π,3π]這兩個周期上，與分類標(biāo)準(zhǔn)“不重不漏”矛盾！

另外，若認(rèn)為閉區(qū)間[-π,π]是余弦函數(shù)的一個周期，則余弦函數(shù)在該周期上有三個零點-π,0,π，這與“余弦函數(shù)在每個周期上有的零點個數(shù)是2”矛盾！

再者，若認(rèn)為閉區(qū)間[-π,π]是余弦函數(shù)的一個周期，則余弦函數(shù)在該周期上有兩個最小值點(-π,π)和一個最大值點0，這與“余弦函數(shù)在每個周期的最小值點和最大值點均唯一” 矛盾！

所以，說定義在R上的函數(shù)f(x)的一個周期是閉區(qū)間是[a,a+T]不妥，應(yīng)改為半開半閉區(qū)間[a,a+T)或(a,a+T].

解法1 若認(rèn)為函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)的一個周期是閉區(qū)間，則有以下解法：

由“五點法”知，可分下面三種情況討論：

解法2 若認(rèn)為函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)的一個周期是半開半閉區(qū)間，則有以下解法：

由“五點法”知，可分下面兩種情況討論：

注對于題1，解法1錯誤解法2正確.為防止解法1的錯誤，我們要注意：定義在R上的周期函數(shù)的一個周期只能是半開半閉區(qū)間，而不能是閉區(qū)間和開區(qū)間.

二、“最多”與“至多”的涵義不同

題2 (2014年高考上海卷理科第13題)某游戲的得分為1,2,3,4,5，隨機變量ξ表示小白玩該游戲的得分．若E(ξ)=4.2，則小白得5分的概率至少為____．

官方給出的這道高考題的參考答案是0.2(沒有解題過程).筆者猜測這道題的解答過程是：

設(shè)得分為i的概率是pi(0≤pi≤1)(i=1,2,3,4,5)，可得p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2

4p1+4p2+4p3+4p4+4p5=4

相減，得p5=0.2+(3p1+2p2+p3)≥0.2(當(dāng)且僅當(dāng)p1=p2=p3=0,p4=0.8(在幾何概型中可以出現(xiàn)這種情形)時，p5=0.2)，所以小白得5分的概率至少為0.2．

筆者的商榷建議把題中的“至少”改為“最少”．中國社會科學(xué)院語言研究所詞典編輯室編《現(xiàn)代漢語詞典》(商務(wù)印書館，2012年第6版)第1677頁對“至少”的解釋是“表示最小的限度”，所以“p5至少為0.2”的意思是“p5≥0.2，但等號不一定能取到”(所以本題的答案可填閉區(qū)間[0,0.2]中的任一個數(shù))，而在本題中“p5≥0.2，等號一定能取到”，所以p5的最小值是0.2，即p5最少是0.2．

我們要注意“最多”與“至多”的涵義不同：f(x)最多是a?f(x)max=a，f(x)至多是a?f(x)≤a恒成立.

讀者還可由此理解“最少”與“至少”的涵義也不同.

題3 若一次擲出3個骰子，則

(1)在這3個骰子中向上的點數(shù)至多是3的概率是____；

(2)在這3個骰子中向上的點數(shù)最多是3的概率是____.