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        數(shù)形結(jié)合法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

        2019-06-05 02:36:00喀什大學(xué)帕孜麗亞阿卜杜賽米
        數(shù)學(xué)大世界 2019年10期
        關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)

        喀什大學(xué) 帕孜麗亞·阿卜杜賽米

        數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)。美國心理學(xué)家布魯納曾說過:“掌握數(shù)學(xué)思想是理解和記憶數(shù)學(xué)的鑰匙,領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的前進方向?!痹谡麄€高中數(shù)學(xué)體系中,函數(shù)和方程貫穿始末,它含有豐富的數(shù)學(xué)思想內(nèi)容,其中數(shù)形結(jié)合思想占有重要地位。在教學(xué)過程中,對數(shù)形結(jié)合思想進行探索,掌握函數(shù)和方程的理論知識,通過對函數(shù)和方程問題的求解,對于開發(fā)學(xué)生智力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力都具有重要的意義。

        數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)學(xué)問題最常用的方法之一,其源遠流長,應(yīng)用極其廣泛。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”的數(shù)形結(jié)合的理念,其本質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,極大地拓寬了解題思路,使復(fù)雜問題簡單明了,讓學(xué)生很快從直觀的圖形中了解數(shù)學(xué)語言的意思,既節(jié)約了時間,又有更強烈的說服力,所以,數(shù)形結(jié)合法一直沿用至今,仍讓人稱贊不已。

        為了很好地表述數(shù)形結(jié)合法的運用,下面的例題是經(jīng)過多年教學(xué)實踐總結(jié)出來的典型例題,足以說明數(shù)形結(jié)合的廣泛運用。

        一、對稱問題的數(shù)形結(jié)合法

        對稱問題一直是圓錐曲線的常用問題,對于解決圓錐曲線問題,結(jié)合圖形是非常有效且直觀的辦法,有利于學(xué)生清楚地知道解題的目的。

        二、函數(shù)的數(shù)形結(jié)合

        函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心,貫穿整個數(shù)學(xué)課程,也是最難的內(nèi)容之一,解決函數(shù)問題一直是學(xué)生的重點,利用數(shù)形結(jié)合的方式解決更是快捷,能直觀地把抽象的文字敘述轉(zhuǎn)為圖形表達。

        例:實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根,一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求點(a,b)對應(yīng)的區(qū)域的面積。

        思路精析:列出a,b滿足的條件→畫出點(a,b)對應(yīng)的區(qū)域→求面積。

        解析:方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是:函數(shù)y=f(x)=x2+ax+2b的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),

        ∴在如圖所示的坐標平面內(nèi),滿足條件的點(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域為△ABC(不包括邊界)。

        假如遇到一些題目中的等式或者代數(shù)式有幾何特征,數(shù)形結(jié)合便是我們可以運用的解題方法,這就是幾何法求解,比較常見的對應(yīng)有:

        通過對題目的閱讀解析,掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型,我們便可以用數(shù)形結(jié)合的方法解題,久而久之,我們便能更加嫻熟地掌握這種解題方法。

        三、數(shù)形結(jié)合在解析幾何的應(yīng)用

        (1)在解析幾何的應(yīng)用中,我們常常要用到解析法,這個方法我們又稱之為以數(shù)輔形,它是數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面。當(dāng)解析法與幾何法結(jié)合來解題的時候,會有更大的功效。

        (2)此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì),將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起,觀察圖形特征,轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言,即方程(組)或不等式(組),從而將問題解決。

        四、數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用

        (1)在立體幾何的應(yīng)用中,我們經(jīng)常會遇見一些空間角及位置關(guān)系中的平行、垂直及點的空間位置這樣的問題,此時我們便可以用空間向量來解決。我們可以先盡可能地建立空間直角坐標系,然后通過轉(zhuǎn)化為坐標運算的方式來證明題目所要求的問題。

        (2)立體幾何問題的求解往往要將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì),結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì),將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起,觀察圖形特征,為代數(shù)法求解找到突破口。

        “數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老、最重要的兩個方面,一直就是一對矛盾體。正如華羅庚先生曾說過:“數(shù)與形本是相倚依,焉能分作兩邊飛,數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事非。切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系,切莫分離!”寥寥數(shù)語,把數(shù)形結(jié)合之妙說得淋漓盡致。

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