■湖北省武漢市第十四中學(xué) 張 禺

排列組合問題一直是高考的?？純?nèi)容,也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個難點。排列組合內(nèi)容抽象,解題方法靈活,不少同學(xué)常常感覺無從下手。好不容易做出來答案卻又心里沒底,再去檢查一遍發(fā)現(xiàn)又得出了另一個結(jié)果,往往是全班同學(xué)得到的數(shù)字五花八門,千奇百怪,而且每個人都覺得自己做的很有道理。所以很多同學(xué)碰到這類問題就抓耳撓腮苦惱不已。下面結(jié)合近五年高考真題及模擬題對高中階段常用的排列組合解題方法進行總結(jié)歸納,以期提高同學(xué)們的抽象能力和邏輯思維能力。

一、特殊位置（元素）優(yōu)先法

方法點撥：對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些“特殊”入手,先滿足特殊元素或特殊位置,再去滿足其他元素或位置。

【2016年四川】用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為( )。

A.24 B.48 C.60 D.72

解析：由題意,要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù),則個位數(shù)應(yīng)該為1或3或5,其他位置共有A種排法,所以奇數(shù)的個數(shù)為3A=72,故選D。

點評：在本題中,個位是特殊位置,第一步應(yīng)先安排這個位置,第二步再安排其他四個位置。

【2014年四川】六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )。

A.192種 B.216種

C.240種 D.288種

解析：若最左端排甲,有A=120(種)排法,若最左端只排乙,最右端不能排甲,有CA=96(種)排法,根據(jù)加法原理可得,共有120+96=216(種)排法。故選B。

點評：進行分類討論,最左端排甲,或最左端只排乙,最右端不能排甲,根據(jù)加法原理可得結(jié)論。

【2010年湖北】現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動,每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作之一,每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作,丙丁戊都能勝任四項工作,則不同安排方案的種數(shù)是( )。

A.152 B.126 C.90 D.54

解析：分為兩類。第一類,先從丙丁戊三人中任選1人開車,再從其余四人中任選兩人作為一個元素同其他兩人從事其他三項工作,共CCA種;第二類,先從丙丁戊三人中任選2人開車,其余三人全排,共CA種。不同的安排方案共CCA+CA=126(種)。

點評：“開車”作為一項特殊工作應(yīng)當(dāng)優(yōu)先安排。

二、合理分類，準確分步

方法點撥：對于較復(fù)雜的排列組合問題,由于情況繁多,因此要對各種不同情況,進行合理分類與準確分步,以便有條不紊地進行解答,避免重復(fù)或遺漏。

【2015年四川】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比30000大的偶數(shù)共有( )。

A.144個 B.120個

C.192個 D.72個

解析：根據(jù)題意,符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是3、4、5中的1個,末位數(shù)字為0、2、4中的1個。分三種情況討論：①首位數(shù)字為5時,末位數(shù)字有3種情況,在剩余的4個數(shù)字中任取3個,放在剩余的3個位置上,有A=24(種)情況,此時符合條件的五位數(shù)有3×24=72(個);②首位數(shù)字為4時,末位數(shù)字有2種情況,在剩余的4個數(shù)中任取3個,放在剩余的3個位置上,有A=24(種)情況,此時符合條件的五位數(shù)有2×24=48(個);③首位數(shù)字為3時,同①。故符合條件的五位數(shù)共有72+48+72=192(個)。故選C。

點評：萬位是4還是5會影響個位數(shù)字的選擇,故要分類。第一步先排萬位,第二步排個位,第三步排其他三位數(shù)字,體現(xiàn)了兩個計數(shù)原理的運用。

【2012年全國】將字母a,a,b,b,c,c,排成三行兩列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,則不同的排列方法共有( )。

A.12種 B.18種

C.24種 D.36種

解析：第一步先排第一列有A=6(種),再排第二列。當(dāng)?shù)谝涣写_定時,第二列有2種方法。所以共有6×2=12(種),選A。

【2011年湖南】某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有( )。

A.4種 B.10種

C.18種 D.20種

解析：分兩種情況：①選2本畫冊,2本集郵冊送給4位朋友,有C=6(種)方法;②選1本畫冊,3本集郵冊送給4位朋友,有C=4(種)方法。所以不同的贈送方法共有6+4=10(種)。

【2015年上?！吭趫竺?名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務(wù)獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數(shù)為__(結(jié)果用數(shù)值表示)。

解析：①1男4女,CC=45(種);②2男3女,有CC=60(種);③3男2女,有CC=15(種)。故一共有45+60+15=120(種)。

三、選排問題先選后排法

方法點撥：對于排列與組合的混合問題,宜先用組合選取元素,再進行排列。

【2018年浙江】從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成__個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(用數(shù)字作答)

解析：若不取零,則排列數(shù)為;若取零,則排列數(shù)為

【2017年浙江】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人,組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有__種不同的選法。(用數(shù)字作答)

解析：第一類,先選1女3男,有40(種),這4人選2人作為隊長和副隊長有=12(種),故有40×12=480(種);第二類,先選2女2男,有=15(種),這4人選2人作為隊長和副隊長有=12(種),故有15×12=180(種)。根據(jù)分類計數(shù)原理共有480+180=660(種),故答案為660。

【2013年北京】將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少一張,如果分給同一人的兩張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是__。

解析：5張參觀券全部分給4人,分給同一人的2張參觀券連號,方法有：1和2,2和3,3和4,4和5,四種連號,其他號碼各為一組,分給4人,共有

四、相鄰問題捆綁法

方法點撥：對于某些元素要求相鄰排列的問題,可先將相鄰元素捆綁并看作1個元素再與其他元素進行排列,同時對相鄰元素進行自排。

【2014年北京】把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有__種。

解析：先考慮產(chǎn)品A與B相鄰,把A,B作為一個元素有A種擺法,而A,B可交換位置,所以有2A=48(種)擺法。當(dāng)A,B相鄰又滿足A,C相鄰時,有2A=12(種)擺法。故滿足條件的擺法有48-12=36(種)。

五、不相鄰問題插空法

方法點撥：對于不相鄰問題,可以先安排好沒有限制條件的元素,然后在排好的元素之間的空位和兩端插入不能相鄰的元素。

【2014年遼寧】6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )。

A.144 B.120 C.72 D.24

解析：先排三個空位,形成4個間隔,然后插入3個同學(xué),故坐法有A=24(種)。

【2014年重慶】某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

解析：先僅考慮3個歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為AA=144,再剔除歌舞類不相鄰但2個小品相鄰的排法AAA=24,故符合題意的排法共有144-24=120(種)。

點評：本題有一定難度,主要是既要求歌舞類不相鄰又要求小品類不相鄰,可以先只考慮一個條件,再剔除不符題意的排法。

六、正難則反間接法

方法點撥：對于某些排列組合問題的正面情況較復(fù)雜而其反面情況較簡單時,可先考慮無限制條件的排列,再減去其反面情況的總數(shù),一般含有“至少”“至多”型的問題常采用間接法。

【2013年山東】用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( )。

A.243 B.252 C.261 D.279

解析：由分步乘法原理知：用0,1,…,9十個數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900(個),組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648(個),因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900-648=252(個)。

【2010年全國】某校開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學(xué)從中共選3門。若要求兩類課程中各至少選一門,則不同的選法共有( )。

A.30種 B.35種

C.42種 D.48種

解析：本題主要考查組合知識以及轉(zhuǎn)化的思想。只在A類中選有種,只在B類中選有C種,則在兩類課程中至少選一門的選法有C-C-C=35-1-4=30(種)。

【2018年新課標(biāo)】從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有__種。(用數(shù)字填寫答案)

解析：根據(jù)題意,沒有女生入選有C=4(種)選法,從6名學(xué)生中任意選3人有C=20(種)選法,故至少有1位女生入選,則不同的選法共有20-4=16(種),故答案是16。

點評：該題還可以用直接法,求出有1名女生和有2名女生分別有多少種選法,之后用加法運算求解。

七、定序問題除序法

方法點撥：對于某些元素的順序固定的排列問題,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列,然后對其他元素進行排列。

【武漢二?！?人站成一排,如果甲必須站在乙的左邊,乙必須站在丙的左邊,則不同的排法有多少種?

解析：5人全排列有A種站法,甲乙丙三人順序確定,故應(yīng)除去三人的全排共A種,即總共有=20(種)排法。

八、不同元素分配問題先分組后分配

方法點撥：對于不同元素的分組分配問題,可以先分組再分配;如果是平均分組,則要注意去除組間順序,避免重復(fù)。

【衡水調(diào)研】按以下要求分配6種不同的書,各有幾種方法?

(1)分成1本、2本、3本三組;

(2)平均分成三組,每組2本;

(3)分成3組,一組4本,另外兩組各1本。

解析：(1)按照分步乘法計數(shù)原理,先取1本作為第一組,再取2本作為第二組,最后取3本為第三組,即共CCC種取法。

點評：若是平均分組,必須要去除組間順序,比如四個元素平均分成兩組,應(yīng)是3(種),而不是6(種)。問題(3)是局部平均分組。

【河北聯(lián)考】5個不同的小球,分到3個不同的小盒中,每盒至少一個,有幾種不同的分法?

解析：先把5個不同小球分成三組,有兩類。第一類：2、2、1的分法15(種);第二類：3、1、1的分法=10(種)。故一共有（1 5 +10）×A=150(種)分法。

點評：本題切不可先每盒放一個球,然后再把剩余兩球進行分配,這樣會導(dǎo)致重復(fù)!應(yīng)當(dāng)先分組再分配!

【2017年全國】安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有( )。

A.12種 B.18種

C.24種 D.36種

解析：4項工作分成3組,可得=6,再分配給三個人,可得：6A=36(種)。

九、相同元素分配問題用隔板法

方法點撥：隔板法適用于以下模型：n個相同小球放到m個不同盒子中,若每個盒子中至少放一球,則只需在n個小球的n-1個間隙中放置m-1塊隔板把它隔成m份即可,共有種不同方法。

【武漢聯(lián)考1】5個相同的小球放入3個不同盒子中,每盒不空的放法共有 種。

解析：一共有5個相同的小球,放入__3個不同的盒子,每個盒子不空,即將小球分成3份,每份至少1個。將5個小球擺放一列,中間有4個空,則只需在這4個空中插入2個隔板,隔板不同的放法有C=6(種)。所以每盒不空的放法共有6種。

點評：本題同“河北聯(lián)考”那道題是有區(qū)別的。如果元素不同,應(yīng)當(dāng)先分組后分配;如果元素相同,則用隔板法。

十、等價轉(zhuǎn)化法

方法點撥：將原排列組合問題等價地轉(zhuǎn)化成另一個問題(或者反過來),通過對新問題的研究達到解決原問題的目的。

【武漢聯(lián)考2】求方程x+y+z=5的正整數(shù)解的個數(shù)。

解析：本題等價于“將5個相同的小球放入3個不同盒子中,每盒不空的放法共有幾種”,故由隔板法,得C=6(個)。

點評：不定方程正整數(shù)解個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為排列組合問題。

【武漢聯(lián)考3】5個相同的小球放入3個不同盒子中,允許空盒子,有幾種放法?

解析：本題等價于“x+y+z=5的非負整數(shù)解的個數(shù)”,又進一步等價于“(x+1)+(y+1)+(z+1)=8的非負整數(shù)解的個數(shù)”,運用換元法,相當(dāng)于求“x'+y'+z'=8的正整數(shù)解個數(shù)”,由上題,隔板法得C=21(種)。

十一、復(fù)雜問題列舉法

方法點撥：求解計數(shù)問題時,如果遇到情況較為復(fù)雜,即分類較多,標(biāo)準也較多,同時所求計數(shù)的結(jié)果不太大時,往往利用表格法、樹狀圖將其所有可能一一列舉出來,常常會有岀奇制勝的效果。

【2016年全國】定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( )。

A.18個 B.16個

C.14個 D.12個

解析：由題意,必有a1=0,a8=1,則具體的排法列表如表1。

表1

這11種解題方法基本覆蓋了高中排列組合的全部題型,細細咀嚼,消化吸收,相信對同學(xué)們提高排列組合解題能力一定大有裨益!