一、選擇題

1.D 提示：在物理、政治、歷史中選1科,在其余3科中選2科,則選法有C·C=9(種);在物理、政治、歷史中選2科,在其余3科中選1科,則選法有C·C=9(種);物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學生甲的選考方法共有9+9+1=19(種)。

2.C 提示：分兩種情況：第一種,甲、乙只有1人入選,有CC=42(種)方法;第二種,甲、乙都入選,有CC=7(種)方法。所以共有42+7=49(種)方法。

3.B 提示：先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A·A=144(種),再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,有A·A·A=24(種),于是符合題意的排法共有144-24=120(種)。

4.B 提示：第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書,有C種方法;第二步：再把4本書分給4個學生,有A種方法。

故共有3×2×2=12(種)分法,選A。

6.D 提示：先把5個空位看成一個整體,然后把4個人排好,有A=24(種)方法,再把5個空位當成整體與另1個空位插入4個人形成的5個空當中,有A=20(種)方法。由分步計數(shù)原理可知,共有24×20=480(種)方法。

7.B 提示：本題采用“插空法”,將亮的9盞燈排成一排,兩端的燈不熄滅,只有8個符合條件的空位,在8個空位中取出3個空位,插入熄滅的3盞燈有C=56(種)情況。

9.B 提示：由題意知結果有三種情況。(1)甲、乙、丙3名同學全參加,有CA=96(種)情況,其中甲、乙相鄰的有CAA=48(種)情況,所以甲、乙、丙3名同學全參加時,甲和乙的朗誦順序不能相鄰順序有96-48=48(種)情況;(2)甲、乙、丙3名同學恰有1人參加,不同的朗誦順序有CCA=288種情況;(3)甲、乙、丙3名同學恰有2人參加時,不同的朗誦順序有CCA=432種情況。

則選派的4名學生不同的朗誦順序有288+432+48=768(種)情況。

10.D 提示：若3名同學從3個不同的檢票通道口進站,則有A=6(種)方法;若3名同學從2個不同的檢票通道口進站,則有CCAA=36(種)方法;若3名同學從1個不同的檢票通道口進站,則有CA=18(種)方法。綜上,這3個同學的不同進站方式有60種。

12.B 提示：當x=1時,1=a0+a1+a2+a3+a4+a5;當x=-1時,35=a0-a1+a2-a3+a4-a5。故a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121。因為a5=C5520（-1）5=

二、填空題

14.768 提示：當1在首位時,6只有1種排法,7有4種排法,余下4個數(shù)共有A種排法,這時七位數(shù)有1×4×A=96(個);當1在個位時,同樣有96個七位數(shù);當1既不在首位也不在個位時,先把1和6排好,再把7排好,最后再排其余4個數(shù),這時七位數(shù)有4×A×3×A=576(個)。因此,共96+96+576=768(個)七位數(shù)滿足題意。

15.1080 提示：由題設6人應分成2,2,1,1四組,不同的分法種數(shù)為45。支愿者分赴第五屆亞歐博覽會展區(qū)服務,不同分配方案有45A=1080(個)。

三、解答題

故3名男生必須站在一起的排法有

18.先分類,分5種顏色都用上、5種顏色只用4種、5種顏色只用3種這三種情況,再分別求結果,相加,即可得最終結果。

綜上可得,不同涂色方案共有720+1080+120=1920(種)。

19.(1)從9個點中任取2個點,除去共線的情況即可,條數(shù)為C-C+1=31。

(2)從9個點中任取3個點,除去共線的情況即可,三角形個數(shù)為C-C=80。

20.(1)將小球分成3份,可以是1,1,3或1,2,2,再放在3個不同的盒子中,即先分堆,后分配,有方法。

(2)有35種方法。

(3)只要將5個不同小球分成3份,分法為：1,1,3;1,2,2。共有25(種)方法。

(6)把5個小球及插入的2個隔板都設為小球(7個球),7個球中任選2個變?yōu)楦舭?可以相鄰),那么2塊隔板分成3份的小球數(shù)對應于相應的3個不同盒子。

故有C27=21(種)方法。

21.(1)(2x-1)2019=a0+a1x+a2x2+ …+a2019x2019。

令x=0,則a0=-1。

由于(2x-1)2019的展開式中含x1的項為,解得a1=4038。

(3)已知等式兩邊對x求導：4038(2x-1)2018=a1+2a2x+3a3x2+…+2019a2019x2018。

令x=1,得到4038=a1+2a2+3a3+…+2019a2019。所以答案為4038。

22.(1)第r+1項的系數(shù)為Crn2r,第r項的系數(shù)為Crn-12r-1,第r+2項的系數(shù)為Crn+12r+1,依題意得：

(2)假設第r+1項的系數(shù)最大,則：

又因為r∈N*,所以r=5。

展開式中系數(shù)最大的項為第6項：

23.(1)先在編號為2,3的盒內(nèi)分別放入1個,2個球,還剩17個小球,3個盒內(nèi)每個至少再放入1個球,將17個球排成一排,有16個空隙,插入2塊擋板分為3堆,放入3個盒中即可,共有C=120(種)方法。

(2)問題轉(zhuǎn)化為在編號為x,y,z的小球右邊各粘貼一個小球,然后將這3個“組合體”插入到剩下14個小球所形成的15個空當中,有C=455(種)方法。

24.設向x軸正方向跳動了x1次,負方向跳動了x2次;向y軸正方向跳動了y1次,負 方向跳動了y2次。則：解得x1=2,x2=0,y1=6,y2=2;x1=3,x2=1,y1=5,y2=1;x1=4,x2=2,y1=4,y2=0。只要滿足這三種情況就可以實現(xiàn)目標。第一種情況有1260(種);第二種情況有=5040(種);第三種情況有(種)。所以總共有：1260+5040+3150=9450(種)運動方法。