柴 凱，樓京俊，楊慶超，俞 翔

（海軍工程大學(xué)a.艦船與海洋學(xué)院；b.科研學(xué)術(shù)處，武漢430033）

0 引言

艦船動力機械周期性運轉(zhuǎn)產(chǎn)生的水下輻射噪聲主要有兩個危害，其一是線譜特征，其二是線譜強度，利用非線性隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時其響應(yīng)功率譜呈連續(xù)譜的特點，可以改變和重構(gòu)動力機械振動傳遞到艇體基座的線譜特征，提高艦船的聲隱身性能。朱石堅等[1]系統(tǒng)地提出了線譜混沌化控制方法；樓京俊等[2]深入研究線譜混沌化的基本原理，提出了Duffing 隔振系統(tǒng)的性能評估指標(biāo)，通過實驗證明了混沌隔振原理的有效性；俞翔等[3]采用數(shù)值仿真和實驗方法研究了非線性隔振系統(tǒng)在混沌狀態(tài)的隔振性能；劉樹勇等[4]對準(zhǔn)周期激勵非線性隔振系統(tǒng)的混沌進行了研究?；诨煦绲母粽裣到y(tǒng)研究重點和難點在于如何實現(xiàn)小振幅、寬頻域和持續(xù)的混沌，很多學(xué)者開展了非線性系統(tǒng)的混沌化技術(shù)研究。張振海等[5]利用Lyapunov 指數(shù)配置，提出了離散脈沖混沌化方法；曾強洪等[6]對投影混沌同步在隔振系統(tǒng)中的應(yīng)用進行了深入研究；張敬等[7]提出了非線性時延反饋控制的混沌化方法；李盈利等[8]利用時延反饋實現(xiàn)了雙層非線性隔振系統(tǒng)的持續(xù)小振幅混沌化?；煦缁椒m然能有效改變線譜特征，但在削弱其線譜強度上作用不大，降低動力機械振動向船體傳遞最有效的方法是提高隔振系統(tǒng)的隔振性能。高靜低動隔振系統(tǒng)是一種將正負剛度彈性元器件并聯(lián)在靜平衡位置獲得低剛度的組合隔振系統(tǒng)，能有效解決大承載力和超低頻隔振、超低剛度和位置穩(wěn)定性、低頻振動傳遞率和高頻振動衰減率不可兼顧的矛盾，具有高的靜載支撐能力和低頻隔振性能，且有利于實現(xiàn)小能量混沌化控制，引起了諸多學(xué)者極大的關(guān)注。鄭宜生等[9]對基于永磁鐵和電磁鐵的高靜低動隔振器進行了深入研究；Zhou 等[10]通過電磁鐵、永磁體和屈曲梁得到了半主動的高靜低動隔振系統(tǒng)；孟令帥等[11]研究了等厚和變厚蝶形彈簧提供負剛度的高靜低動隔振系統(tǒng)。高靜低動隔振器負剛度實現(xiàn)機制主要有以下三種形式：（1）儲備了一定能量或發(fā)生了一定形變的機構(gòu)；（2）幾何非線性機構(gòu)；（3）微小擾動后能減小回復(fù)力的機構(gòu)。本文通過雙時延反饋控制實現(xiàn)高靜低動隔振系統(tǒng)的混沌化，實現(xiàn)線譜混沌化控制技術(shù)與艦船動力裝置隔振的有機結(jié)合，達到了降低線譜強度和隱匿線譜信息的雙重目的。

1 系統(tǒng)建模和問題描述

1.1 高靜低動隔振系統(tǒng)動力學(xué)建模

典型三彈簧高靜低動系統(tǒng)的原理如圖1所示。主要由一根正剛度豎直彈簧和兩根完全相同的負剛度斜彈簧組成，其中豎直彈簧剛度為k2，斜彈簧剛度為k1，三根彈簧的一端在C 點連接，另一端分別鉸接在A、B 和O 點；斜彈簧水平時的長度a，此時豎直彈簧處于靜平衡位置，相應(yīng)壓縮量為h，x 表示系統(tǒng)在外力f 作用下產(chǎn)生的位移。

在外力f 作用下，高靜低動系統(tǒng)在豎直方向上的力：

設(shè)y=x-h，并將（1）式無量綱化可得

圖1 高靜低動隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic representation of an isolator based on HSLDS

（2）式依據(jù)三階Maclaurin 公式展開，可得

因此，水平彈簧不僅能夠降低系統(tǒng)的正剛度，從而減小系統(tǒng)的固有頻率，擴大隔振頻帶的寬度；而且能夠產(chǎn)生非線性立方剛度，具有硬彈簧的特性，從而使系統(tǒng)的共振曲線骨架向高頻彎曲，發(fā)生共振頻率轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。

1.2 雙時延反饋控制的高靜低動隔振系統(tǒng)動力學(xué)建模

考慮的高靜低動隔振系統(tǒng)，控制器設(shè)計為含有位移和速度的雙時延反饋控制器，具體如圖2所示。被隔振物體質(zhì)量為M，它由一個含一次剛度系數(shù)k1和三次剛度系數(shù)k3的彈簧和一個線性阻尼組成的隔振器支撐，在被隔振物體和基座之間有兩個作動器，用來施加雙時延反饋控制，Kt1和Kt2分別為位移和速度反饋的控制增益，τ1和τ2分別為位移和速度反饋的延遲時間，且τ1=τ2。

M 處于靜平衡位置時彈簧壓縮量為h，令X=Z-h，在簡諧力Fcos（ωnt）激勵下，系統(tǒng)動力學(xué)方程為：

圖2 雙時延反饋控制的高靜低動隔振系統(tǒng)模型Fig.2 Vibration isolation system based on HSLDS with dual time-delay feedback control

其中：Mg=k3h3-k1h，則（5）式可進一步改寫為

在kti=0（i= 1，2）時，求得（7）式的平衡點A（0，0）。為了分析（7）式在平衡點附近的穩(wěn)定性，在A 點處施加一個無限小的擾動（Δx1，Δy1），則其滿足如下線性化方程：

2 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要分為全時延穩(wěn)定性和穩(wěn)定性切換。系統(tǒng)全時延穩(wěn)定是指對于任意給定的時延τ 系統(tǒng)均穩(wěn)定[12]；而在實際系統(tǒng)中，系統(tǒng)全時延穩(wěn)定的控制增益區(qū)間較小，實際控制增益常位于全時延穩(wěn)定區(qū)域之外。穩(wěn)定性切換是指當(dāng)控制增益位于全時延穩(wěn)定區(qū)域之外時，隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)穩(wěn)定性會有由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定，或者由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的現(xiàn)象[13]。

線性時延系統(tǒng)（8）的特征方程為：

定理1：方程（8）零解全時延穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下兩個條件：

（1）當(dāng)τ=0 時，P（λ）+Q（λ）是Hurwitz 穩(wěn)定的；

（2）對于所有的τ≥0，D（iω ，τ）=0 無非零實數(shù)根ω。

當(dāng)τ=0 時，由Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)可知系統(tǒng)零解全時延穩(wěn)定應(yīng)滿足kt1＜1，kt2＜2ξ。在上述前提下，假設(shè)式具有純虛根λ=iω（ω≥0），則有

分離（10）式的實部和虛部，可得關(guān)于諧波函數(shù)的方程組：

由此得到：

消去方程（12）中的諧波項，可得一個關(guān)于ω 的四次代數(shù)方程如下：

根據(jù)不同的參數(shù)組合形式，可以得到D（iω ，τ）=0 無正實根的條件為：p≥0，q≥0 或p＜0，p2-4q＜0，即：

由（14）式可知方程（10）最多有兩個正實根ω1和ω2，將其代入（12）式可求出兩組臨界時延：

其中：c=1，2，k=0，1，2，L，arccos（·）是反余弦函數(shù)。

特征根λ 是時延τ 的函數(shù)，求出一對純虛根±iωc和相應(yīng)臨界時延τk后，純虛根的變化趨勢就可由確定，其中sgn 為符號函數(shù)。在ω1和ω2處，有

采用如下定理[15]分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性切換：

定理2：假設(shè)P（iω）和Q（iω）無公共實根，且P（0）+Q（0）≠0，且F（ω）=0 無非零重根，則有：

（1）若F（ω）=0 無實根或僅有零根，則系統(tǒng)穩(wěn)定性與無時延時的穩(wěn)定性一致；

（2）若F（ω）=0 僅有1 個正單根，且τ=0 時穩(wěn)定，存在臨界時延τ0，使得系統(tǒng)在τ∈[0，τ0）內(nèi)穩(wěn)定，而τ≥τ0時不穩(wěn)定，發(fā)生一次穩(wěn)定性切換；而τ=0 時不穩(wěn)定，則系統(tǒng)全時延不穩(wěn)定；

（3）若F（ω）=0 有兩個或兩個以上的正實根，隨著τ 的增大，發(fā)生有限次數(shù)的穩(wěn)定性切換，最終系統(tǒng)不穩(wěn)定。

表1 不同參數(shù)組合下臨界時延的計算公式Tab.1 Computational formula of critical time delays with different parameter combinations

3 數(shù)值仿真與分析

將無量綱控制增益kt1、kt2和τ 作為控制參數(shù)，若無特殊說明，設(shè)定系統(tǒng)的參數(shù)為：ξ=0.2，ω0=1，α=0.1，初始條件為（0.001，0）。為驗證穩(wěn)定性分析結(jié)論的準(zhǔn)確性，進行下列算例仿真。

算例①：kt1=-1.5，kt2=0.1

F（ω）=0 有一個實根ω2=1.541 5＞ω0，且滿足F′（ω2）=8.947 1＞0，相應(yīng)臨界時延為：

算例②：kt1=-0.5，kt2=0.1

F（ω）=0 有兩個不同實根ω1=0.776 4＜ω0＜ω2=1.118 0，且F′（ω1）=-1.007 0＜0，F(xiàn)′（ω2）=1.435 4＞0，相應(yīng)臨界時延和為：

圖3 隔振設(shè)備的響應(yīng)（kt1=-1.5，kt2=0.1）Fig.3 Response of the isolated equipment when kt1=-1.5 and kt2=0.1

圖4 隔振設(shè)備的響應(yīng)（kt1=-0.5，kt2=0.1）Fig.4 Response of the isolated equipment when kt1=-0.5 and kt2=0.1

算例③：kt1=0.1，kt2=0.1

易知kt1=0.1 和kt2=0.1 滿足全時延穩(wěn)定性條件：，因此系統(tǒng)對任何時延均穩(wěn)定。高靜低動隔振系統(tǒng)的響應(yīng)如圖5所示，由圖可知，系統(tǒng)在τ=4.5、τ=7.5 和τ=12.5 時均穩(wěn)定。

圖5 隔振設(shè)備的響應(yīng)（kt1=0.1，kt2=0.1）Fig.5 Response of the isolated equipment when kt1=0.1 and kt2=0.1

4 雙時延反饋混沌化

穩(wěn)定性分析表明，通過調(diào)整控制增益和時延，可以使高靜低動隔振系統(tǒng)穩(wěn)定或者失穩(wěn)。設(shè)諧波力激勵的幅值f =0.5，ωn=3，隔振系統(tǒng)的參數(shù)為ξ=0.2，ω0=1，α=0.1，下面分析時延τ、位移控制增益kt1和速度控制增益kt2對系統(tǒng)混沌化控制的影響，對系統(tǒng)混沌化過程中控制參數(shù)進行優(yōu)化。圖6（a）是kt1=-1.5，kt2=0.1 時系統(tǒng)響應(yīng)隨時延變化的分岔圖，無特殊說明，云點代表混沌運動或準(zhǔn)周期運動，單線點或多線點代表周期運動。由圖可知，系統(tǒng)在τ=0.2 時第一次發(fā)生Hopf 分岔，這與算例①的臨界時延吻合，當(dāng)時，系統(tǒng)作持續(xù)的混沌運動；圖6（b）是kt1=-0.5，kt2=0.1 時系統(tǒng)響應(yīng)隨時延變化的分岔圖，由圖可知系統(tǒng)周期與混沌運動交替出現(xiàn)，出現(xiàn)陣發(fā)性混沌，這與算例②的穩(wěn)定性切換結(jié)論一致；圖6 表明：不穩(wěn)定區(qū)域相比穩(wěn)定區(qū)域，更容易實現(xiàn)時延混沌化；較大的時延可以降低混沌響應(yīng)峰值。

圖6 關(guān)于時延τ 的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the HSLDS-VIS with the time delay τ

圖7 是時延取τ=50 時系統(tǒng)隨控制增益的分岔圖，由圖可知：正反饋（kt1＞0）可以降低系統(tǒng)響應(yīng)幅值。圖7（a）中kt2=0.1，kt1∈[-2，2]，由圖可知：當(dāng)控制增益位于全時延穩(wěn)定區(qū)域時，即使時延取較大值，系統(tǒng)也未出現(xiàn)混沌；圖7（b）中kt1=kt2=k，kt∈[-2，2]，由圖可知：含時延位移和時延速度的雙時延反饋高靜低動隔振系統(tǒng)相比僅含時延位移反饋的高靜低動隔振臨界控制增益更小，混沌云點更稠密，表明雙時延反饋控制器更容易實現(xiàn)系統(tǒng)混沌化，且混沌化品質(zhì)更高。

圖7 關(guān)于控制增益kt 的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of the HSLDS-VIS with control gain kt

圖8 是不同時延和不同控制增益隔振設(shè)備的相圖，當(dāng)時延控制參數(shù)在全時延穩(wěn)定區(qū)域時，系統(tǒng)對應(yīng)周期運動圖8（a）或準(zhǔn)周期運動圖8（c），當(dāng)時延控制參數(shù)在不穩(wěn)定區(qū)域時，系統(tǒng)對應(yīng)混沌運動圖8（b）和圖8（d）。

圖8 隔振設(shè)備的相圖Fig.8 Phase diagrams of the isolated equipment

圖9 不同系統(tǒng)的功率譜對比Fig.9 Comparison of the power spectra with the different systems

圖9 是不同系統(tǒng)雙時延反饋控制時的功率譜對比，由圖9（a）可知，未受控系統(tǒng)作周期運動，最高線譜位于2.997 Hz 處，幅值為1.596 dB；施加控制后的一般非線性系統(tǒng)和高靜低動系統(tǒng)，特征線譜變?yōu)檫B續(xù)的響應(yīng)功率譜，說明施加雙時延反饋進行線譜混沌化是有效的；圖9（b）和（c）對比可知，一般非線性系統(tǒng)功率譜峰值為8.31 dB，而高靜低動隔振系統(tǒng)的功率譜峰值為-3.75 dB。因此，相比一般非線性隔振系統(tǒng)，高靜低動隔振系統(tǒng)混沌化所需控制增益小，低頻隔振性能更優(yōu)越，使得雙時延反饋控制的高靜低動隔振系統(tǒng)不僅能改變線譜特征，而且可以降低線譜強度，具有更好的混沌化效果。

5 結(jié)論

本文針對有位移和速度反饋控制的高靜低動隔振系統(tǒng)，研究了雙時延反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析了時延控制參數(shù)對系統(tǒng)混沌化的影響，對實際工程應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。

通過數(shù)值計算和分析比較可得出以下結(jié)論：

（1）利用Routh-Hurwitz 穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)平衡解在原點處Jacobian 行列式的特征方程得到了系統(tǒng)全時延穩(wěn)定和穩(wěn)定性切換的臨界增益和臨界時延，并通過數(shù)值算例驗證了其準(zhǔn)確性。

（2）利用雙時延反饋控制實現(xiàn)了高靜低動隔振系統(tǒng)的混沌化，當(dāng)控制參數(shù)位于不穩(wěn)定區(qū)域時，系統(tǒng)更容易被混沌化。

（3）相比單時延反饋控制和一般非線性系統(tǒng)，雙時延反饋的高靜低動隔振系統(tǒng)化所需的臨界控制增益和線譜抑制方面有獨特優(yōu)勢，可實現(xiàn)隔振和線譜重構(gòu)的雙重功能。