金 蘭

(浙江省諸暨榮懷學(xué)校 浙江 諸暨 311800)

1.背景介紹

必修教材對(duì)基本不等式的研究，都是從背景引入、抽象提煉、證明方法、幾何意義、變式引申、拓展應(yīng)用等六個(gè)方面進(jìn)行展開(kāi)的，既有邏輯推理，又有直觀的幾何解釋，使學(xué)生充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)其抽象概括能力和推理論證能力.是高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)問(wèn)題。

2.辨析、認(rèn)清基本不等式的特征與功能

3.探究、理解基本不等式成立的條件

“一正二定三相等”是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的沉淀，既總結(jié)了影響基本不等式成立的三個(gè)條件，又概括了應(yīng)用基本不等式的三個(gè)步驟，它們是一個(gè)和諧的整體，缺一不可．

3.1 “一正”，基本不等式成立的基礎(chǔ)基本不等式的研究對(duì)象是兩個(gè)非負(fù)數(shù)，即a≥0，b≥0，這是基本不等式成立的基礎(chǔ)．

3.3 “三相等”，基本不等式成立的保證?！耙徽ā笔鞘褂没静坏仁降膬蓚€(gè)重要條件，但如果沒(méi)有“相等”來(lái)做最后保證，只能說(shuō)是一種形式．因此，“一正二定三相等”是一個(gè)和諧的整體，缺一不可，相等就是參與不等式的各個(gè)部分相等．

例1：判斷下列不等式是否正確

(2)a2+b2>2ab解析：錯(cuò)誤；直接舉出反例當(dāng)a=b=0時(shí)

例2:求下列式子的最值

(1)若正數(shù)x,y滿足x+y=6，求xy的最大值

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)滿足a+b=2,則3a+3b的最小值

(3)x>0,y>0, 滿足x+4y=40，則lgx+lgy的最大值

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值2

4.合理構(gòu)造，創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的情境

基本不等式的價(jià)值在于它的工具性，可以用它來(lái)求解許多和最值有關(guān)的問(wèn)題． 然而這些問(wèn)題往往不是以基本不等式的形式明顯地呈現(xiàn)在學(xué)生面前的，而是需要經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化才露出其廬山真面目． 這就要求合理構(gòu)造，創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的情境，對(duì)學(xué)生配湊技能和化歸意識(shí)都有較高要求．

4.1 用整體代換的方法構(gòu)造基本不等式。

“1 的整體代換”在此類問(wèn)題中可大顯身手；用配湊、換元、消元等方法構(gòu)造基本不等式

分析：令2x+1=a,y+2=b,則a>0,b>0,a+b=6

例3的第(2)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大，但如果學(xué)生能夠從本質(zhì)上理解基本不等式適用于相等關(guān)系下雙變量的最值問(wèn)題，就可以大膽換元構(gòu)造，將陌生問(wèn)題化歸為熟悉模型．

例4:基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用

即x=±1時(shí)取“=”

解析：基本不等式中，參與不等式的兩個(gè)變量必須是正數(shù)，否則要合理轉(zhuǎn)化為正數(shù)．本題定義域?yàn)閧x|x≠0}，這里習(xí)慣性認(rèn)為x>0,而丟失了x<0的情形.

基本不等式應(yīng)用要反復(fù)訓(xùn)練，不斷強(qiáng)化。教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真辨析基本不等式的形狀和結(jié)構(gòu)特征，探求合適的方法建立不等式，關(guān)注不等式成立的條件，體驗(yàn)用不等式解決最值問(wèn)題的過(guò)程，對(duì)基本不等式的應(yīng)用不能只停留在簡(jiǎn)單的表面，教學(xué)中要重視結(jié)構(gòu)特征，讓基本不等式在創(chuàng)造與拓展中發(fā)揮功能，從而不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。