(蘭州理工大學(xué)石油化工學(xué)院 甘肅蘭州 730050)

干氣密封氣膜之間的軸向平衡間隙為微米級尺寸[1]，當(dāng)微小的干擾作用于穩(wěn)定運(yùn)行的平衡狀態(tài)密封端面，就會在平衡位置產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)動疊加。目前，干氣密封技術(shù)不斷完善，有超過90%的新型離心壓縮機(jī)裝備了干氣密封[2]。密封一旦失效，引起介質(zhì)泄漏不僅由于停車維修，造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失，而且嚴(yán)重的會引起重大安全事故。因此，保證干氣密封裝置的穩(wěn)定性、可靠性一直都是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

ZIRKELBACK和ANDRES[3]采用微擾法，基于有限元法求解了擾動雷諾方程，得出了微擾頻率的剛度和阻尼系數(shù)，并對其密封運(yùn)動的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論。劉雨川[4]從軸向和角向方向上，采用有限元法求解微小擾動下的雷諾方程，迭代解出干氣密封氣膜的動態(tài)特性系數(shù)，作為氣膜穩(wěn)定性的判斷依據(jù)。MILLER和GREEN[5]從軸向和角向兩個方向上分析螺旋槽干氣密封的密封環(huán)的振動情況，并且運(yùn)用數(shù)值頻率響應(yīng)法計算出密封氣膜的剛度和阻尼系數(shù)。李雙喜等[6]對微擾雷諾方程采用了一種新的高階形函數(shù)有限元法，獲得了氣體密封軸向微擾的剛度和阻尼。杜兆年、丁雪興等[7-8]對部分氣膜動態(tài)特性參數(shù)(1軸向、1角向)，運(yùn)用微擾法、近似解析法進(jìn)行了計算論證。張偉政等[9]采用四階的Runge-Kutta求解了氣膜與靜環(huán)的振動微分方程，并且探討了不同槽型參數(shù)對密封系統(tǒng)中靜環(huán)振動的影響規(guī)律。劉蘊(yùn)等人[10]針對干氣密封中氣膜厚度穩(wěn)定性，運(yùn)用Workbench中的模態(tài)分析法和諧響應(yīng)分析對浮動環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行研究，總結(jié)了不同參數(shù)條件下浮動環(huán)軸向振動幅值的變化趨勢，并對影響其軸向振動幅值的主要因素和次要因素作了分析。丁雪興等[11]建立了氣膜-密封環(huán)系統(tǒng)軸向振動模型，考慮熱耗散變形下的干氣密封系統(tǒng)，在軸向上進(jìn)行振動穩(wěn)定性動力學(xué)分析。成玫等人[12]對轉(zhuǎn)子-軸承-密封系統(tǒng)的非線性振動特性進(jìn)行研究，選擇的密封系統(tǒng)是迷宮密封。

目前，盡管在干氣密封動力學(xué)研究方面已取得了不少成果，但關(guān)于干氣密封應(yīng)用大系統(tǒng)下的非線性動力學(xué)方面的理論研究還很少，有待于進(jìn)一步分析研究。以轉(zhuǎn)子、軸承、干氣密封系統(tǒng)組成的大系統(tǒng)為研究對象時，考慮到實(shí)際的干氣密封系統(tǒng)會同時受到密封力和軸承油膜力的影響，這兩種因素之間會發(fā)生一定程度的耦合以及多頻激勵，從而導(dǎo)致復(fù)雜的動力學(xué)響應(yīng)。本文作者研究轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為，探討在實(shí)際工況下干氣密封槽形參數(shù)的穩(wěn)定范圍，歸納失穩(wěn)的判據(jù)，對干氣密封優(yōu)化設(shè)計與實(shí)際應(yīng)用具有重要的理論指導(dǎo)意義。

1 單自由度干氣密封軸向振動計算模型

在恒定轉(zhuǎn)速下(轉(zhuǎn)速n=16 500 r/min)，當(dāng)不考慮轉(zhuǎn)子、軸承，只考慮氣膜和靜環(huán)時，可建立如圖1所示的氣膜-靜環(huán)系統(tǒng)軸向振動模型。圖中：m2為靜環(huán)質(zhì)量；K2為氣膜剛度；K3為彈簧剛度；C2為氣膜阻尼;z為靜環(huán)振動位移；F(t)表示作用在離散質(zhì)量上的簡諧激振力，其大小為Fi(t)=Pisin(ΩT+τ)。

其振動方程為

m2z··+C2z·+K2z+K3z=F(t)

(1)

圖1 氣膜-靜環(huán)系統(tǒng)軸向振動模型

2 雙自由度模型與基本方程的建立

2.1 轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)軸向振動模型

模型的假設(shè)：在恒定轉(zhuǎn)速下(轉(zhuǎn)速n=16 500 r/min)，將轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)視為雙自由度受迫振動；干氣密封氣膜可以假定為具有非線性剛度的彈簧；瞬態(tài)激振力假定為簡諧激振力，其軸向位移可假定為簡諧運(yùn)動。

建立轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)幾何模型如圖2所示，其軸向振動模型如圖3所示。

圖2 轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)

圖中：m1為動環(huán)和轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量；m2為靜環(huán)的質(zhì)量；K1為軸承剛度；K2為氣膜剛度；K3為彈簧剛度；C1為軸承阻尼；C2為氣膜阻尼;x1為動環(huán)振動位移；x2為靜環(huán)振動位移；F1(t)和F2(t)分別表示作用在兩個離散質(zhì)量上的簡諧激振力，其大小為Fi(t)=Pisin(ΩT+τ)。

2.2 轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)軸向振動計算

由圖3，根據(jù)牛頓定律分別寫出兩個離散質(zhì)量的運(yùn)動方程：

{F1(t)-K1x1+C2[x·2-x·1]+K2[x2-x1]=m1x··1

F2(t)-C2[x·2-x·1]-K2[x2-x1]-C3x·2-K3x2=m2x··2

(2)

整理得到：

{m1x··1+(C1+C2)x·1-C2x·2+(K1+K2)x1-K2x2=F1(t)

m2x··2-C2x·1+C2x·2-K2x1+(K2+K3)x2=F2(t)

(3)

為簡潔，引入矩陣形式表達(dá)：

[C1+C2-C2

-C2C2]=[C]，[K1+K2-K2

-K2K2+K3]=[K],{x}={x1

x2},{F(t)}={F1(t)

F2(t)},[m10

0m2]=[m]

可將運(yùn)動方程寫成簡潔的矩陣形式：[m]{x··}+[C]{x·}+[K]{x}={F(t)}

引入量綱一化公式:

μm=m2m1,μk=K2K1)μk,j=KjK1),f2=P2P1+P2)fi=PiP1+P2),ζ=C12m1K1,ω=ΩK1/m1,

μc,j=CjC1,Xi=xiK1P1+P2,b=BKP1+P2)bi=BiKjP1+P2,i=1,2;j=1,2,3),t=Tm1/K1

則式(3)變?yōu)?/p>

{μm,1X··1+2ζμc,1X1·+μk,1X1+2ζμc,2(X·1-X·2)+

μk,2(X1-X2)=f1sin(ωt+τ)

μm,2X··2+2ζμc,2(X·2-X·1)+μk,2(X2-X1)+

μk,3X2=f2sin(ωt+τ)

(4)

其矩陣形式為

[10

0μm][X··1

X··2]+[2ζ(1+μc)-2ζμc

-2ζμc2ζμc][X1·

X2·]+[1+μk,2-μk,2

-μk,2μk,2+μk,3][X1

X2]=[1-f2

f2]sin(ωt+τ)

3 非線性氣膜動態(tài)特性參數(shù)的計算

3.1 氣膜非線性剛度K2和阻尼C2的計算

應(yīng)用PH線性法和變分法求解干氣密封非線性雷諾方程，得到氣膜角向渦動剛度的解析式[8]為

Ka′=4Riδ+E∫ξ01ζ2η(η1(ζ)cosω+η2(ζ)sinω)(1-ηcosω0)2dζ

(5)

穩(wěn)態(tài)下Reynolds方程中，以復(fù)數(shù)來定義微擾動態(tài)壓力的微擾量，其實(shí)部對應(yīng)于氣膜的剛度，虛部對應(yīng)于氣膜的阻尼。利用復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換法以及多次的迭代平均法對穩(wěn)態(tài)下氣膜邊值問題進(jìn)行求解，獲得了氣膜軸向剛度和阻尼的近似解析解。

量綱一氣膜軸向剛度、軸向阻尼[11]為

Ka=2∫ξ01ζη(η1(ζ)cosω+η2(ζ)sinω)(1-ηcosω0)2dζ

(6)

c=2∫ξ01ζ2η(η1(ζ)sinω+η2(ζ)cosω)(1-ηcosω0)2dζ

(7)

式中：

η1(ζ)=c10eβ1ζ+c′10e-β1ζ+(c11eβ1ζ+c′11e-β1ζ+

A12β1ζeβ1ζ-B12β1ζe-β1ζ)ε;

η2(ζ)=c20eβ1ζ+c′20e-β1ζ+(c21eβ1ζ+c′21e-β1ζ+

A22β1ζeβ1ζ-B22β1ζe-β1ζ-α2β1)ε;

c10=Aeβ1ζ/(e2β1ζ0-e2β1),c′10=-Aeβ1(ζ0+2)/(e2β1ζ0-e2β1),

c20=Beβ1ζ/(e2β1ζ0-e2β1),c′20=-Beβ1(ζ0+2)/(e2β1ζ0-e2β1),

c11=[-A1(ζ0e2β1ζ0-e2β1)+B1(ζ0-1)]/[2β1·(e2β1ζ0-e2β1)],

c′11=-A1e2β1/(2β1)+B1/(2β1)-c11e2β1,

c′21=-c21e2β1-A22β1e2β1+B22β1+α2β1eβ1,

c21=[-A22β1)ζeβ1ζ0-e2β1)+B22β1)ζ0-1)+

α2β1)eβ1ζ0-eβ1)]/[e2β1ζ0-e2β1],

A1=(-α1β1+α2)c20,B2=(α1β1+α2)c′20,

A2=(α1β1-α2)c10,B2=-(α1β1+α2)c′10,

A=1η)P0-1)(cosw0-η),B=1η)P0-1)sinw0,

n2+β20=β1,2β0=α1ε,nχ=α2ε,

ω=nφ+β0ζ,ω0=β0ζ,β0=ntanα,h=E/(E+d+x2)

氣膜的軸向擺動剛度[7]：

K*=aπR2iPiδ

(8)

氣膜阻尼:

C*=cRiPi2nr

(9)

將公式(5)—(9)運(yùn)用Maple軟件多次地擬合平均計算出密封氣膜剛度K2和阻尼C2的非線性方程分別為

K2=-1 812.005 950α+2 463.115 574-

7.069 855 800×108x2α+9.609 540 480×108x2-

9.186 853 050×1013x22α+1.248 601 136×1014x22

(10)

C2=500.681 500 0α-684.420 115 5+1.986 379 500×108x2α-2.717 728 176×108x2+2.626 491 500×1013x22α-3.596 760 561×1013x22

(11)

氣膜剛度隨螺旋角和靜環(huán)的振動位移的變化曲面，如圖4所示，在靜環(huán)振動位移方向上，氣膜剛度的分布規(guī)律是先降低后升高。氣膜阻尼隨螺旋角和靜環(huán)的振動位移的變化曲面，如圖5所示，在靜環(huán)振動位移方向上，氣膜阻尼的分布規(guī)律是先升高后降低。

圖4 氣膜剛度隨螺旋角和靜環(huán)振動位移的變化曲面 圖5 氣膜阻尼隨螺旋角和靜環(huán)振動位移的變化曲面

3.2 實(shí)例計算

文中研究的樣機(jī)的幾何參數(shù)：內(nèi)徑Di=122 mm，外徑Do=159 mm，平衡直徑D=122 mm；螺旋槽數(shù)N=16，槽深2hg=8 μm，螺旋角α=77.92° ；硬環(huán)的外徑為163 mm，內(nèi)徑為112 mm；靜環(huán)的外徑為165 mm，內(nèi)徑為122 mm。設(shè)計的運(yùn)行參數(shù)：介質(zhì)氣體為氮?dú)?，介質(zhì)壓力為0.6 MPa，環(huán)境壓力pi=0.101 3 MPa，轉(zhuǎn)速n=16 500 r/min，氣膜厚度h=3.47 μm。系統(tǒng)參數(shù)值如表1所示。

表1 系統(tǒng)的參數(shù)值

根據(jù)樣機(jī)幾何參數(shù)和表1所示系統(tǒng)參數(shù)，可得到：

m1=51.662 647 kg

μm=8.845 96×10-3

ζ=2.457 77

μk,3=K3/K1=1.457 7

μk,2=K2/K1=-0.660 352 022 6×10-5α+0.897 636 871×10-5-2.576 478 061x2α+3.502 019 125x2-

334 797.851 7x22α+455 029.568 5x22

(12)

μc=C2/C1=0.008 554 797 493α-0.011 694 211 77+

3 393.988 866x2α-4 643.593 619x2+0.448 770 383 9×109x22α-0.614 553 528 1×109x22

(13)

樣機(jī)的螺旋角α=77.92° ，聯(lián)立式(9)、(10)，運(yùn)用Runge-Kutta求解振動方程(1)，獲得該螺旋角下響應(yīng)的時間歷程圖和相軌圖，如圖6所示，可知螺旋角α=77.92°時，單自由度下靜環(huán)的最大振幅為4 μm。同樣，聯(lián)立式(11)、(12)，運(yùn)用Runge-Kutta求解振動方程(4)，獲得該螺旋角下響應(yīng)的時間歷程圖和相軌圖，如圖7所示，可知α=77.92°時，雙自由下靜環(huán)的最大振幅為9 μm。即考慮了轉(zhuǎn)子、軸承影響的干氣密封系統(tǒng)靜環(huán)的振動位移大于僅考慮干氣密封的靜環(huán)的振動位移。

圖6 單自由度下螺旋角α=77.92°的時間歷程圖及相軌圖

圖7 雙自由度下螺旋角α=77.92°的時間歷程圖及相軌圖

3.2 螺旋槽螺旋角響應(yīng)的優(yōu)化

由文獻(xiàn)[13]的螺旋角取值α=77.92°，在其鄰域內(nèi)取值，即螺旋角分別取76.78°、77.35°、78.50°、79.07°、79.64°，聯(lián)立式(11)、(12)，運(yùn)用Runge-Kutta求解振動方程(4)，獲得不同螺旋角下響應(yīng)的時間歷程圖和相軌圖，如圖8所示?？梢?，極小的螺旋角變化就可引起較大振動數(shù)值的變化。圖9示出了螺旋角度與靜環(huán)振動位移的關(guān)系?？梢姡红o環(huán)振動位移隨著螺旋角度(76.5°～80.0°)的增加先減小后增加；當(dāng)α=78.50°時，振動數(shù)值最小，其最大振幅為7 μm，最大振速為25 μm/s。因此，當(dāng)α=78.50°時，動環(huán)和靜環(huán)的追隨性最佳，證明該系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定。

圖8 雙自由度下不同螺旋角的時間歷程圖及相軌圖

圖9 螺旋角度與靜環(huán)位移的關(guān)系

Fig 9 The relationship between spiral angle and displacement

of static ring

3.3 螺旋槽槽深響應(yīng)的優(yōu)化

取螺旋角α=78.50°，以螺旋槽干氣密封的槽深為控制變量，分別取槽深2hg=6，8，10 μm，利用Runge-Kutta求解振動方程(4)，獲得不同槽深響應(yīng)的時間歷程圖和相軌圖，如圖10所示?？芍郝菪鄹蓺饷芊獾牟凵?hg=6 μm時，靜環(huán)振動的最大幅值是7 μm；2hg=8 μm時，靜環(huán)振動的最大幅值是6 μm；2hg=10 μm時，靜環(huán)振動的最大幅值是5 μm。即，槽深數(shù)值越大，靜環(huán)的振動幅值越小。

當(dāng)E=3 μm時，通過Maple軟件多次的擬合平均計算出氣膜非線性剛度：

K2(E=3)=-20 384.759 80α+27 721.053 22-

5.553 574 030×109xα+7.551 913 295×109x-

8.033 919 000×1013x2α+1.091 345 691×1014x2

C2(E=3)=-56 432.556 00α+76 741.700 65-

1.495 387 605×1010xα+2.033 440 258×1010x+

6.349 430 000×1013x2α-8.674 215 395×1013x2

當(dāng)E=4 μm時，螺旋槽干氣密封氣膜的剛度、阻尼：

K2(E=4)=-21 984.302 65α+29 895.989 48-

5.069 306 530×109xα+6.893 242 645×109x-

4.647 440 000×1012x2α+6.198 917 890×1012x2

C2(E=4)=-59 196.118 00α+80 498.853 70-

1.295 629 585×1010xα+1.761 748 975×1010x+

3.572 492 800×1014x2α-4.862 332 009×1014x2

當(dāng)E=5 μm時，螺旋槽干氣密封氣膜的剛度、阻尼：

K2(E=5)=-23 315.892 80α+31 706.502 96-

4.632 838 905×109xα+6.299 588 900×109x+

4.122 853 500×1013x2α-5.618 742 845×1013x2

C2(E=5)=-62 300.699 60α+84 719.731 10-

1.136 956 435×1010xα+1.545 935 042×1010x+

5.062 677 000×1014x2α-6.888 841 635×1014x2

由圖11可知，隨著槽深的增加，靜環(huán)振動位移是減小的。但是，從總的趨勢來看，改變螺旋槽干氣密封的槽深，靜環(huán)振動的幅值沒有發(fā)生太大的變化，而通過之前的改變螺旋槽的螺旋角度響應(yīng)可以得出，螺旋角度的變化對干氣密封系統(tǒng)靜環(huán)的振動幅值影響比較明顯。

圖11 螺旋槽槽深與靜環(huán)位移的關(guān)系

4 結(jié)論

(1)研究表明，靜環(huán)在雙自由度下的振動幅值比單自由度下的振動振幅值要大，所以研究干氣密封系統(tǒng)考慮轉(zhuǎn)子和軸承是非常必要的，文中所建立的雙自由度轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)軸向振動模型更接近于實(shí)際工況。

(2)螺旋角變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響較大，極小的螺旋角變化就可引起較大振動數(shù)值的變化；適當(dāng)增大螺旋角度，可以提高整個大系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而螺旋槽槽深的改變，對干氣密封靜環(huán)的振動幅值幾乎沒有影響。

(3)由于轉(zhuǎn)子-軸承-干氣密封系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，其中的非線性動力學(xué)行為還有待實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。