來(lái)嫻靜

摘 要：本文通過求解復(fù)雜的非線性薛定諤方程，得到徑向?qū)ΨQ的耗散渦旋解。通過線性穩(wěn)定性分析和數(shù)值模擬，揭示了方位角線性增益與非線性損耗之間的相互作用這些渦旋抑制的調(diào)制不穩(wěn)定性。除了線性增益確實(shí)影響渦旋的穩(wěn)定性，另一個(gè)顯著顯著特征是，非線性的陡峭空間調(diào)制吸收也可以有效地抑制旁瓣，并在線性增益均勻的情況下支持穩(wěn)定的渦旋孤子。

關(guān)鍵詞：渦旋;耗散孤子;非線性損耗

一、研究背景

耗散孤子在各種物理系統(tǒng)中受到廣泛關(guān)注[1-4]。由于介質(zhì)中的損耗必須補(bǔ)償增益，穩(wěn)定性是這種解決方案的根本性問題。然而，均勻線性增益會(huì)導(dǎo)致局部激發(fā)孤子周圍的背景不穩(wěn)定而使其變得不穩(wěn)定。到目前為止，已經(jīng)建立了幾種解決這個(gè)問題的方法，例如非線性增益和高階吸收、局部線性增益、局部立方增益以及無(wú)更高階損耗。應(yīng)注意的是，在這些特殊設(shè)置中，介質(zhì)參數(shù)之間會(huì)有相應(yīng)的特定平衡關(guān)系，以確保這些解析耗散孤子的存在。在這些耗散的物理系統(tǒng)中，渦旋孤子也可以激發(fā)。例如，用復(fù)合非線性薛定諤方程描述的激光放大器中已檢測(cè)到穩(wěn)定的耗散渦旋孤子。最近，實(shí)踐證明，空間調(diào)制線性增益對(duì)帶有雙光子吸收非線性耗散系統(tǒng)中孤子的演化有著顯著影響。到目前為止，已在許多不同系統(tǒng)中分析了空間調(diào)制線性增益對(duì)于非線性激發(fā)模式的影響，例如光波導(dǎo)、具有周期性折射率調(diào)制的光子晶體、具有克爾非線性和雙光子吸收的光學(xué)系統(tǒng)、玻色-愛因斯坦凝聚等。在這些系統(tǒng)中，非線性激發(fā)在最大增益的范圍內(nèi)形成，因此孤子的對(duì)稱性由線性增益拓?fù)浯_定。雖然空間局部增益可以保證背景的穩(wěn)定性，但介質(zhì)系統(tǒng)設(shè)置的非線性損失可能會(huì)抑制不穩(wěn)定性。研究中，可在二維系統(tǒng)中采用局部增益和非線性損耗之間的相互作用，實(shí)現(xiàn)了提高上述耗散孤子穩(wěn)定性。有意思的是，已有研究揭示新的非線性激發(fā)也可以通過空間調(diào)制吸收來(lái)支持，而據(jù)我們所知，它們都不存在于均勻耗散系統(tǒng)中。特別是穩(wěn)定的耗散孤子在均勻線性增益和不均勻的雙光子吸收同時(shí)存在的情況下，可以在系統(tǒng)中被激發(fā)實(shí)現(xiàn)。

二、理論模型及形變約化

在光學(xué)中，這種設(shè)置可以通過空間常數(shù)線性增益以及摻雜雙光子吸收可調(diào)制材料來(lái)實(shí)現(xiàn)。這里u（z，r，？椎）是電場(chǎng)緩變包絡(luò)，？犖2是橫向拉普拉斯算子，r是徑向坐標(biāo)，z是傳播距離，g0和x是分別與線性增益和立方非線性有關(guān)的系數(shù)，同時(shí)，-ik|u|2u表示與雙光子吸收相關(guān)的系數(shù)k的非線性損耗效應(yīng)。據(jù)我們所知，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)雙光子吸收在全光開關(guān)中具有重要作用。在未摻雜的光學(xué)介質(zhì)中，已知的事實(shí)是高階孤子的動(dòng)力學(xué)受非線性吸收的影響并傾向于坍塌。雙光子吸收效應(yīng)對(duì)于由硅酸鉛玻璃或半導(dǎo)體微晶摻雜玻璃制成的新型介質(zhì)尤為重要，它們具有相當(dāng)高的非線性。沒有非線性增益飽和，我們可以簡(jiǎn)化方程（1）為具有均勻增益的NLS方程，對(duì)應(yīng)于具有正常群速度色散的光放大器。自然地我們想到，CNLS方程中是否仍存在漩渦？如果有，非線性吸收會(huì)如何影響這些耗散渦旋的行為？

三、貝賽爾型耗散渦旋孤子

四、耗散渦旋解的動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬及穩(wěn)定性分析

討論兩種不同的場(chǎng)景：首先，關(guān)注在存在空間均勻的雙光子吸收的情況下渦旋孤子的存在。據(jù)我們所知，對(duì)于半導(dǎo)體微晶摻雜玻璃，As2S3硫?qū)倩锊ＡШ凸杷徙U玻璃，K可分別調(diào)整為-1，-10-1和-10-2。此外，在渦旋光束的實(shí)際應(yīng)用中也存在一些不利因素。例如，除了渦旋光束的內(nèi)部主亮環(huán)之外，還存在一些次級(jí)亮環(huán)，即光學(xué)渦旋孤子的旁瓣。在這里，在演化過程中也發(fā)生了類似的情況。研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，渦旋會(huì)受到不穩(wěn)定性的影響，并將自身轉(zhuǎn)化為一些具有大量旁瓣的形態(tài)，而g0的較低值可以有效地抑制旁瓣的范圍。應(yīng)當(dāng)注意，在中間區(qū)域中，K和X必須單調(diào)地變化r，即a=c且b=0以確保不穩(wěn)定性。接下來(lái)，討論了由不均勻材料支持的摻雜雙光子吸收的渦旋孤子。關(guān)于實(shí)現(xiàn)合適的非均勻摻雜劑濃度分布的方面的實(shí)驗(yàn)室技術(shù)已在參考文獻(xiàn)中詳細(xì)描述。另一種優(yōu)選技術(shù)是通過使用影響均勻分布的摻雜劑失諧的非均勻場(chǎng)來(lái)誘導(dǎo)有效的空間調(diào)制非線性。特別是，這里從光學(xué)設(shè)置開始?，正常數(shù)？著影響r的變化率k。因此。如前所述，必須重新確認(rèn)演化，它仍然滿足a=c和b=0的穩(wěn)定性條件。數(shù)值結(jié)果表明，在這種情況下，在進(jìn)化過程中沒有更多的旁瓣。g0低于一定值的指數(shù)吸收曲線可以支持穩(wěn)定的耗散渦旋孤子。 通常，高拓?fù)渲禍u旋減小不穩(wěn)定所需的變化率遠(yuǎn)小于較低S渦流的k。當(dāng)g0超過允許值時(shí)，除S=1的情況外，徑向?qū)ΨQ渦旋變得不穩(wěn)定。S增加時(shí)，穩(wěn)定性惡化。

研究一定傳播距離后的演變比較，在固定g0=3.8時(shí)，S=2或S=3的渦旋特征是介質(zhì)中的自發(fā)對(duì)稱性破裂，渦旋分量的密度不是徑向?qū)ΨQ的，并且它破壞了環(huán)結(jié)構(gòu)。在渦旋中心存在下陷過程，通常，下陷孔的數(shù)量與拓?fù)渲笖?shù)S的值有關(guān)。然而，對(duì)于高拓?fù)渲笖?shù)的渦旋，當(dāng)g0=1，也觀察到脈沖分裂。實(shí)際上，具有高拓?fù)渲笖?shù)的渦旋，僅在增益值比較小的時(shí)候較穩(wěn)定，但是傳播常數(shù)的減小也可以延緩不穩(wěn)定性的出現(xiàn)。

這些例子證明了方程（1）中的空間調(diào)制的非線性吸收效應(yīng)。研究并證實(shí)均勻增益對(duì)于穩(wěn)定渦旋孤子的存在至關(guān)重要。此外，研究表明，具有較低g0，μ，S值的渦旋解比具有較高值的解更穩(wěn)定。在適當(dāng)?shù)臈l件下，渦旋孤子可以穩(wěn)定地傳播并且沒有對(duì)稱性破壞，盡管這些光束在它們傳播時(shí)表現(xiàn)出基本的壓縮和放大。這些性能為固定參數(shù)模型中的高拓?fù)渲笖?shù)渦旋的實(shí)驗(yàn)操作提供了可用的操控方法。

值得強(qiáng)調(diào)的是，無(wú)論雙光子吸收是均勻的還是空間調(diào)制的，與克爾非線性相關(guān)的都是正的，即x>0，其強(qiáng)度從中心到邊緣迅速增加。它表明上面討論的案例都在非線性克爾自散焦介質(zhì)中傳播。這意味著當(dāng)立方非線性為自散焦時(shí)，該集合可以支持亮渦旋孤子。

五、小結(jié)

本文通過求解復(fù)合非線性薛定諤方程，得到徑向?qū)ΨQ的耗散渦旋孤子，并對(duì)其穩(wěn)定性做了數(shù)值模擬測(cè)試。研究發(fā)現(xiàn)，在線性增益為常數(shù)的限制條件下，空間非均勻非線性吸收自散焦非線性介質(zhì)中存在穩(wěn)定的耗散渦旋孤子的穩(wěn)定性。在此種介質(zhì)中，除了證實(shí)均勻的線性增益對(duì)于穩(wěn)定性的影響外，還有另一個(gè)值得注意的特點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)設(shè)置中，非線性吸收的陡峭空間調(diào)制可以有效地抑制旁瓣，從而抑制渦旋孤子的調(diào)制不穩(wěn)定性，并在線性增益均勻不變的情況下支持穩(wěn)定的渦旋孤子。在適當(dāng)?shù)臈l件下，當(dāng)它們傳播時(shí)，雖然光束表現(xiàn)出基本的壓縮和放大，但渦旋孤子可以穩(wěn)定傳播而有效避開對(duì)稱性破壞。

參考文獻(xiàn)：

[1]V.A.Pasko，M.S.Soskin，and M.V.Vasnetsov.Opt.Commun. 198（2001）49.

[2]C.Q.Dai，D.S.Wang，L.L.Wang，et al.，Ann.Phys.326（2011） 2356.

[3]Y Y.Wang，L.Chen，C.Q.Dai，J.Zheng，and Y.Fan，Nonlinear Dyn.90 （2017）1269.

[4]A.V.Cherenkov，V.E.Lobanov，and M.L.Gorodetsky，Phys. Rev. A 95（2017）033810.

[5]O.V.Borovkova，Y.V.Kartashov， V.A.Vysloukh，et al.，Opt. Express 20（2012）2657.