☉湖北省武穴市教育科學研究院 劉全豐

☉湖北省武穴市育才高中 吳加興

隨著2016年“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)”的正式誕生，高中數(shù)學課程標準修訂組還將“核心素養(yǎng)”與數(shù)學課程相結(jié)合，“核心素養(yǎng)”在數(shù)學教學及研究中迅速走紅，它包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析這六大素養(yǎng).在2019年的高考大綱中又增添了“新生思想道德素質(zhì)”“促進學生德智體美勞全面發(fā)展”等表述，這實際上反映了教育要回歸到教育的本源問題：培養(yǎng)人的活動.在近幾年，數(shù)學核心素養(yǎng)就滲透到了數(shù)學教學的方方面面.現(xiàn)在就概率統(tǒng)計中的某些問題來談?wù)労诵乃仞B(yǎng)是如何體現(xiàn)的.

例1某地區(qū)對垃圾進行無害化處理，從2008年至2014年的處理量（單位：億噸）的折線圖如圖1：

圖1

（Ⅰ）由折線圖看出，y與t的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；

（Ⅱ）（略）

參考數(shù)據(jù)

參考公式：相關(guān)系數(shù)

回歸方程y?=a?+b?t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

分析：這道題目是一道統(tǒng)計題目，它首先通過對某地區(qū)2008年至2014年垃圾無害化處理量的數(shù)據(jù)進行收集，畫出其散點圖，然后通過數(shù)學直觀，抽象出它有可能是一個線性回歸模型，但是它是否符合線性回歸模型？我們通過計算相關(guān)系數(shù)r（數(shù)學運算），得到r≈0.99，r＞0.75，r→1，通過對數(shù)據(jù)的分析，我們知道可以用回歸直線來模擬，從而達到建模的目的，它實際上是數(shù)學六個核心素養(yǎng)的一個整體應(yīng)用.

在計算線性相關(guān)系數(shù)時，雖然是閱讀材料，但是它告訴了我們線性相關(guān)系數(shù)的公式，只需要把數(shù)據(jù)直接代入即可求解，所以這應(yīng)該是一道簡單的計算題.

但是，現(xiàn)實情況卻出人意料，很多學生看到這道題目時卻傻眼了，大部分學生無從入手.他們發(fā)現(xiàn)：題目中的參考數(shù)據(jù)中并沒有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)可以直接代入，結(jié)果只能讓這些分數(shù)白白丟失.究其原因，無非就是不能用條件中的參考數(shù)據(jù)來表示.即使是能夠得分的部分同學有的也是死記結(jié)論來得到的，所以是極不可靠的.這道題的命題意圖實際上是要求學生能夠通過數(shù)學運算和邏輯推理來得到這兩組公式間的相互轉(zhuǎn)換：

這個問題在很大程度上反映了我們教學中存在的問題：忽視了每個概念、定義、公式、性質(zhì)等內(nèi)容的推導過程，在課堂上迅速地把這些內(nèi)容擺出來，講例題，套公式，然后通過大量的習題，使學生達到掌握的程度.但是這種學習非常的費時、費力，而且學生不懂得變通，對于平時沒有見過的問題就會束手無策.同時在近幾年高考中增加了概率統(tǒng)計的難度和地位：從過去的“送分”題，到現(xiàn)在的中等及偏難題；從過去的直接套用公式，到現(xiàn)在通過收集的數(shù)據(jù)、直觀圖形來抽象出數(shù)學模型，然后通過數(shù)學計算，分析模型，構(gòu)造函數(shù)，得到最優(yōu)解，這些問題無一不是數(shù)學核心素養(yǎng)在高考中的體現(xiàn).

例2某公司為了能夠進行更好的發(fā)展，需要對公司進行宣傳，為了確定下一年度宣傳費的投入，對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，3，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，模擬年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）對年宣傳費x（單位：千元）的影響.

圖2

∑（xi-x）2 n x y w i=1 46.6 563 6.8 289.8∑（wi-w）2 n∑（xin∑（win i=1 i=1 x）（yi-y）i=1 w）（yi-y）1.6 1469 108.8

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2yx.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x=49時，年利潤及年銷售量的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？

分析：根據(jù)散點圖，通過直觀想象，本題應(yīng)該不是線性回歸問題，通過排除法或者圖形的特點，得到適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程.然后通過整體代換令即通過數(shù)據(jù)運算及邏輯推理把不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式可以計算得到：

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y?=100.6+68w.

根據(jù)模型，通過數(shù)據(jù)運算、分析，然后預測結(jié)果.

由（2）知，當x=49時，年銷售量y的預報值

年利潤z的預報值z?=576.6×0.2-49=66.32.

在第三問中，①是一種特殊的情況，然后從特殊到一般得到一個無理函數(shù)，再根據(jù)邏輯推理對無理函數(shù)進行整體代換，把無理函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到最值，從而為我們的日常生活生產(chǎn)服務(wù).

根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤z的預報值

所以當，即x=46.24時取得最大值.

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

如果平時在學習中只靠刷題來提高數(shù)學成績的同學，可能大多數(shù)在高考時對于本題只能是望洋興嘆了，平時只是做過線性回歸的直線方程問題，而這道題很顯然換了一身新的“馬甲”——非線性關(guān)系.這也從側(cè)面反映了我們在教學過程中輕過程重結(jié)果，忽視了知識生成的思維過程，只注重機械的練習，這不符合現(xiàn)在新課改的要求.同時在第（2）（3）問中，使我們理解到數(shù)學不只是為了學習數(shù)學而學習數(shù)學，而是通過對數(shù)學的學習來分析世界并服務(wù)世界，這些都符合現(xiàn)在課改的精神.現(xiàn)在的大綱提出來的六大核心素養(yǎng)，把新的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題，將復雜的問題簡單化，都需要我們注重過程教學，培養(yǎng)學生的思維，注重核心素養(yǎng)在課堂教學中的滲透.

例3從區(qū)間［0，1］隨機抽取2n個數(shù)xi，yi（i=1，2，3，…，n）構(gòu)成n個數(shù)對（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為______.

分析：這道題目是必修三幾何概率中估算圓周率π的一個“撒黃豆”實驗，但是在這道題中，命題人把黃豆改為隨機數(shù)，很多學生就不知所云.

（1）由幾何概率可知：記“兩數(shù)的平方和小于1”為事件A，記“在區(qū)間［0，1］任取兩個實數(shù)”為事件B，如圖3，

即

圖3

本題是一道關(guān)于圓周率π的值的估算問題，我們實際上可以通過幾何概型和隨機模擬實驗的方法來解決圓周率π和曲邊圖形的面積問題，要學會用數(shù)學的眼光來解決我們現(xiàn)實生活中遇到的問題，然后還可以進一步升華：我們古人是如何來估算圓周率π呢？這樣既可以活躍學生的思維，也可以滲透微積分等思想，還可以在教學中加入愛國主義教育等內(nèi)容，這也符合我們新課程改革的精神.

上面的這些題目學生的得分率普遍不高，從學生的角度來看：一方面，這反映了很多學生學習的方法只是習慣性聽，然后做筆記，做作業(yè)時，只是習慣性的模仿，記憶一些結(jié)論和性質(zhì)，在考試時，碰到熟悉的問題，就得心應(yīng)手，但是碰到新的問題，就束手無策；另一方面也表現(xiàn)出學生在面對困難時的態(tài)度還不夠積極，遇到困難容易放棄.從教師的角度來看：教師在教學過程中，只注重概念、公式等的最終結(jié)果，而忽視了學生學的過程；只重視學生對一些結(jié)論的記憶，而忽視了這些結(jié)論的推導過程；只注重教師的講，而忽視了學生的學.

這些問題我們應(yīng)該如何來解決呢？現(xiàn)在的“流行語”——數(shù)學六大核心素養(yǎng)（直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析及數(shù)學抽象），它能夠很好的把“不會的問題”轉(zhuǎn)化為我們“會的問題”，在解決問題時，這六大素養(yǎng)既相互獨立，又相互交匯.

如何在數(shù)學教學中滲透數(shù)學的六大核心素養(yǎng)呢？

然后由兩種方法計算出的概率相等，從而可以估算出圓周率π的值為

（1）要讓民主“走進”課堂.我們現(xiàn)在很多課堂還停留在教師滿堂講，學生只需要安靜的在臺下聽，記筆記就可以了，這樣的課堂注定是一種高投入，低產(chǎn)出的低效課堂，因為學生只是被動的接受，沒有形成自己的思維，學習的主動性、分析問題和解決問題的能力也沒有得到很好的提高.

我們只有讓學生在課堂中“開口說話”，才能使學生積極參與到課堂教學中，進而引發(fā)他們的積極思考，只有這樣，學生們的想法才能得到充分的展示，在講解時，思維過程才能更貼近學生的實際認知水平，更能讓學生接受.從另一個方面來講不同的方法自由的發(fā)揮，讓學生把各種想法都展示出來，再與學生一一分享、探討，這樣也能實現(xiàn)師生之間的教學相長.

（2）教學過程要符合學生的認知規(guī)律.筆者曾有幸聆聽了陶維林老師的兩節(jié)課，課堂對概念的講解，讓人感覺非常的自然、入理.他講解時往往是從特殊（特殊的實例，及數(shù)據(jù)）到一般（歸納總結(jié)結(jié)論、性質(zhì)）、從個別到總體，個體和特殊能夠給學生直觀形象，整體和一般就是引導學生通過數(shù)學直觀抽象出概念和性質(zhì)，然后從一般到特殊，可以讓學生加深概念和性質(zhì)的理解及運用，這樣既做到了分析過程，又做到了知識的拓廣及思維的訓練，這個過程實際上就是數(shù)學的六大核心素養(yǎng)在教學中的綜合體現(xiàn)，也只有這樣，我們的學生才能擁有自己的思維，才能在考試中做到舉一反三.

（3）不要忽視學生在學習過程中遇到的問題.只要是學習，那么就總有犯錯的時候，有些教師對待學生在課堂中出現(xiàn)的問題，可能為了教學進度，采取不予理睬的態(tài)度，但是實際上學生出現(xiàn)的問題何嘗不是我們教學中很好的素材，對于這些素材我們可以讓學生積極的分析、討論，既可以活躍學生的思維，也可以使課堂不再單調(diào)，還可以鼓勵學生積極的參與到課堂中.

高考數(shù)學考試大綱在近幾年增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性以及數(shù)學文化、思想道德素質(zhì)等內(nèi)容，這些內(nèi)容所反映出來的問題，就是以后想通過“題海戰(zhàn)術(shù)”在高考中獲得高分將越來越不現(xiàn)實，因為通過反復練習得到的知識，只是條件反射式的技能，解題時只能照葫蘆畫瓢、生搬硬套，稍有變化，就會出現(xiàn)各種各樣的疏漏，有時甚至會束手無策.因此，我們教師在教學過程中一定要注意知識的生成性教學，把數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)貫穿于整個課堂教學，只有六大核心素養(yǎng)在教學中得到全面的體現(xiàn)，我們的學生才能在高考中以不變應(yīng)萬變，才會由過去的學會變成一個會學的學生.F