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        一個(gè)思想統(tǒng)領(lǐng)四個(gè)公式

        2019-05-29 03:50:00江蘇省張家港市外國語學(xué)校盧風(fēng)平
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年9期
        關(guān)鍵詞:證法垂線過點(diǎn)

        ☉江蘇省張家港市外國語學(xué)校 盧風(fēng)平

        數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點(diǎn)和根本想法,是活生生的數(shù)學(xué)靈魂,可以統(tǒng)領(lǐng)眾多的數(shù)學(xué)問題.筆者探究發(fā)現(xiàn),在兩點(diǎn)間距離公式、定比分點(diǎn)公式、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中都貫徹著一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——“射影思想”(化斜為正),即一個(gè)思想統(tǒng)領(lǐng)了四個(gè)公式,以饗讀者.

        一、平面上兩點(diǎn)間距離公式

        在平面直角坐標(biāo)系中,已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2),則

        證明:在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2),分別向y軸和x軸作垂線,垂足分別為N1(0,y1),N2(x2,0),直線P1N1與P2N2相交于點(diǎn)Q.

        則在直角△P2QP1中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,為了計(jì)算其長度,過點(diǎn)P1向x軸作垂線,垂足為M1(x1,0),過點(diǎn)P2向y軸作垂線,垂足為M2(0,y2),于是有

        所以|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.

        由此得到兩點(diǎn)間的距離公式:

        反思:平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離其是一維實(shí)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的延續(xù)和推廣,面對(duì)新問題,嘗試將其線段P1P2向x軸和y軸投影,化歸為熟悉的問題,再利用勾股定理實(shí)現(xiàn)問題的解決.

        二、直線與二次曲線相交的弦長公式

        若直線l:y=kx+b與曲線C:f(x,y)=0交于兩點(diǎn)P1(x1,則弦長或者

        證明:由上面兩點(diǎn)間的距離公式知

        又因?yàn)橹本€l:y=kx+b,則有y1=kx1+b,y2=kx2+b,代入兩點(diǎn)間的距離公式(*)式,整理可得或者這便是直線與二次曲線相交的弦長公式.

        三、平面上點(diǎn)到直線距離公式

        已知點(diǎn)P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),則點(diǎn)P到直線l的距離

        證法一:設(shè)直線l的傾斜角為α,過點(diǎn)P作PM∥y軸交l于M(x1,y1),顯然x1=x0,所以所以

        易得∠MPQ=α(圖1)或∠MPQ=180°-α(圖2).

        圖1

        圖2

        證法二:過點(diǎn)P作PM∥y軸交l于M,過點(diǎn)P作PN∥x軸交l于N(圖3),

        由證法一知

        同理得

        所以在Rt△MPN中,PQ是斜邊上的高,所以

        圖3

        反思:從形上直觀認(rèn)識(shí)平面上點(diǎn)到直線的距離是斜在坐標(biāo)平面內(nèi)的線段長,很一般,若將其看作是特殊線段的“投影”,即可轉(zhuǎn)化為特殊的兩點(diǎn)間的距離問題,為此,過P作x軸的垂線,交直線l于點(diǎn)M,便得到了證法一,若再進(jìn)一步過P作y軸的垂線,交直線l于點(diǎn)N,便得到了證法二,無論哪一種證法都是嘗試將斜線化歸為“正線”(與坐標(biāo)軸垂直的線段),即將所求線段看成是特殊線段的“投影”.

        四、平面上定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

        若兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2),點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

        證明:如圖4,因?yàn)?/p>

        圖4

        反思:求二維定比分點(diǎn)坐標(biāo)問題的實(shí)質(zhì)是求兩個(gè)分量,即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),利用投影法即可將問題分解并轉(zhuǎn)化為一維問題.

        以上四個(gè)公式的證明方法的來源是對(duì)線段長度的認(rèn)識(shí)視角,用“投影思想”統(tǒng)領(lǐng),通過對(duì)陌生問題化歸轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)問題,實(shí)現(xiàn)問題的突破.因此,我們?cè)诮忸}過程中應(yīng)多去思考用思想引領(lǐng)我們的解題道路.F

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