☉江蘇省張家港市外國語學校 盧風平

數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的基本觀點和根本想法，是活生生的數(shù)學靈魂，可以統(tǒng)領眾多的數(shù)學問題.筆者探究發(fā)現(xiàn)，在兩點間距離公式、定比分點公式、弦長公式、點到直線的距離公式的推導過程中都貫徹著一個重要的數(shù)學思想——“射影思想”（化斜為正），即一個思想統(tǒng)領了四個公式，以饗讀者.

一、平面上兩點間距離公式

在平面直角坐標系中，已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則

證明：在平面直角坐標系中兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），分別向y軸和x軸作垂線，垂足分別為N1（0，y1），N2（x2，0），直線P1N1與P2N2相交于點Q.

則在直角△P2QP1中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2，為了計算其長度，過點P1向x軸作垂線，垂足為M1（x1，0），過點P2向y軸作垂線，垂足為M2（0，y2），于是有

所以|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.

由此得到兩點間的距離公式：

反思：平面直角坐標系中兩點間的距離其是一維實數(shù)軸上兩點間的距離的延續(xù)和推廣，面對新問題，嘗試將其線段P1P2向x軸和y軸投影，化歸為熟悉的問題，再利用勾股定理實現(xiàn)問題的解決.

二、直線與二次曲線相交的弦長公式

若直線l：y=kx+b與曲線C：f（x，y）=0交于兩點P1（x1，則弦長或者

證明：由上面兩點間的距離公式知

又因為直線l：y=kx+b，則有y1=kx1+b，y2=kx2+b，代入兩點間的距離公式（*）式，整理可得或者這便是直線與二次曲線相交的弦長公式.

三、平面上點到直線距離公式

已知點P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），則點P到直線l的距離

證法一：設直線l的傾斜角為α，過點P作PM∥y軸交l于M（x1，y1），顯然x1=x0，所以所以

易得∠MPQ=α（圖1）或∠MPQ=180°-α（圖2）.

圖1

圖2

證法二：過點P作PM∥y軸交l于M，過點P作PN∥x軸交l于N（圖3），

由證法一知

同理得

所以在Rt△MPN中，PQ是斜邊上的高，所以

圖3

反思：從形上直觀認識平面上點到直線的距離是斜在坐標平面內(nèi)的線段長，很一般，若將其看作是特殊線段的“投影”，即可轉化為特殊的兩點間的距離問題，為此，過P作x軸的垂線，交直線l于點M，便得到了證法一，若再進一步過P作y軸的垂線，交直線l于點N，便得到了證法二，無論哪一種證法都是嘗試將斜線化歸為“正線”（與坐標軸垂直的線段），即將所求線段看成是特殊線段的“投影”.

四、平面上定比分點坐標公式

若兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），點P分有向線段所成的比為λ，則點P的坐標為

證明：如圖4，因為

圖4

反思：求二維定比分點坐標問題的實質(zhì)是求兩個分量，即橫坐標與縱坐標，利用投影法即可將問題分解并轉化為一維問題.

以上四個公式的證明方法的來源是對線段長度的認識視角，用“投影思想”統(tǒng)領，通過對陌生問題化歸轉化成熟悉的數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的突破.因此，我們在解題過程中應多去思考用思想引領我們的解題道路.F