趙 堅(jiān)

(昆明市五華區(qū)基礎(chǔ)教育科學(xué)研究中心,云南 昆明 650031)

1 問(wèn)題提出

涉及機(jī)械能守恒和機(jī)械能守恒定律的相關(guān)問(wèn)題討論一直是大學(xué)普通物體教學(xué)中受到大家熱議的話(huà)題,[1～14]《大學(xué)物理》雜志曾經(jīng)多次刊登文章進(jìn)行討論,并先后4次以編輯部編者的話(huà)進(jìn)行綜述說(shuō)明．[15～18]近年來(lái),此方面的問(wèn)題又再次引發(fā)大家熱議,[19～25]特別值得重視的是,在中學(xué)物理教育界顯得尤為突出,較為混亂．歸納起來(lái),大致有這樣幾方面的問(wèn)題: (1) 機(jī)械能守恒或者機(jī)械能守恒定律是否滿(mǎn)足力學(xué)相對(duì)性原理; (2) 不同慣性系中機(jī)械能是否都滿(mǎn)足守恒; (3) 僅重力或彈簧彈力作用下的機(jī)械能守恒在各慣性系中是否都成立; (4) 機(jī)械能守恒定律滿(mǎn)足協(xié)變性嗎?等等．鑒于弄清楚這些問(wèn)題對(duì)中學(xué)物理教師正確理解機(jī)械能守恒和機(jī)械能守恒定律以及開(kāi)展好教學(xué)工作具有積極意義,故本文試圖就涉及機(jī)械能的一些相關(guān)問(wèn)題在此作點(diǎn)探討．

2 問(wèn)題探討

(1) 如何理解和看待機(jī)械能、機(jī)械能守恒和機(jī)械能守恒定律3個(gè)物理概念.

《中國(guó)大百科全書(shū)·物理學(xué)》中對(duì)此這樣表述:“機(jī)械能(mechanical energy)宏觀的動(dòng)能與勢(shì)能之和”“機(jī)械能守恒(mechanical energy conservation of)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng))中運(yùn)動(dòng)時(shí),其動(dòng)能與勢(shì)能的總和恒為常量．動(dòng)能與勢(shì)能的總和稱(chēng)為機(jī)械能,故稱(chēng)機(jī)械能守恒．在一個(gè)不受外界作用的封閉系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化過(guò)程中,系統(tǒng)的各種能量形式可以相互轉(zhuǎn)化,但所有能量的總和不變,這是普遍的能量守恒定律,機(jī)械能守恒只是它的一個(gè)特例”．可以看出,其一,機(jī)械能是一個(gè)力學(xué)范疇內(nèi)的物理量,它由宏觀的動(dòng)能與勢(shì)能構(gòu)成;其二,所謂機(jī)械能守恒是指在滿(mǎn)足守恒的約束條件下,動(dòng)能、勢(shì)能變化過(guò)程中,動(dòng)能與勢(shì)能的總和恒為常量(保持不變);其三,機(jī)械能守恒只是能量守恒定律的一個(gè)特例,既然是特例就不具備作為普遍定律的一般性質(zhì),因此,在經(jīng)典力學(xué)中雖然將機(jī)械能守恒定律作為一條定律來(lái)稱(chēng)謂,但是它不同于能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、質(zhì)量守恒定律等作為自然界最普遍、最重要的基本定律所具有的普遍物理特性．因?yàn)?一個(gè)守恒定律常常是宇宙中某種對(duì)稱(chēng)性的結(jié)果,守恒定律是表述運(yùn)動(dòng)方程的那些非常普遍的、重要的結(jié)果的一種方式,正如動(dòng)量守恒定律可以理解為是伽利略不變性原理的一個(gè)直接結(jié)果．對(duì)能量守恒定律(energy conservation law)(熱力學(xué)第一定律)來(lái)說(shuō),它雖然指在一個(gè)封閉(孤立)系統(tǒng)的總能量保持不變．可是在理解上,其中總能量一般說(shuō)來(lái)已不再只是動(dòng)能與勢(shì)能之和,而是靜止能量(固有能量)、動(dòng)能、勢(shì)能3者的總量．普遍意義下的能量守恒定律的表述是:一個(gè)系統(tǒng)的總能量的改變只能等于傳入或者傳出該系統(tǒng)的能量的多少．總能量為系統(tǒng)的機(jī)械能、內(nèi)能及除內(nèi)能以外的任何內(nèi)能形式的總和．而對(duì)于一個(gè)特殊的、處于孤立環(huán)境下的系統(tǒng),即不可能有能量或質(zhì)量傳入或傳出系統(tǒng)．對(duì)于此情形,我們才將能量守恒定律表述為:“孤立系統(tǒng)的總能量保持不變．”所以,機(jī)械能守恒亦或機(jī)械能守恒定律要作為普遍意義下的物理定律,它必須有其普遍的物理特性才行．如果無(wú)視這些前提條件而去討論機(jī)械能守恒作為定律的諸多問(wèn)題顯然都是無(wú)意義的．事實(shí)上,正是由于缺乏對(duì)相關(guān)問(wèn)題的深入理解而在普通物理和基礎(chǔ)物理范疇將機(jī)械能守恒與機(jī)械能守恒定律混用,才是直接導(dǎo)致出現(xiàn)混亂的原因之所在．

(2) 不同慣性系中機(jī)械能都守恒嗎?機(jī)械能守恒具有相對(duì)性嗎?機(jī)械能守恒定律滿(mǎn)足力學(xué)相對(duì)性原理嗎?

引發(fā)這一系列問(wèn)題的焦點(diǎn)主要是針對(duì)下述幾個(gè)習(xí)題中出現(xiàn)的問(wèn)題．

例1.如圖1所示,固定在車(chē)廂內(nèi)的光滑斜面,傾角為θ,車(chē)廂以速度v0勻速前進(jìn),斜面上質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端自由滑下,試分析:以地面為參考系,滑塊在下滑過(guò)程中機(jī)械能是否守恒?

圖1 圖2

以地面為參考系,滑塊在斜面頂端時(shí)機(jī)械能為

滑塊在斜面底端時(shí)的機(jī)械能為

式中v為滑塊滑到斜面底端時(shí)對(duì)地的速度．根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成,其大小為滑塊在斜面底端時(shí)對(duì)車(chē)廂的速度v′和車(chē)廂速度v0的矢量和,如圖2所示．

可見(jiàn),E2>E1,以地面為參考系,滑塊的機(jī)械能不守恒．

為此產(chǎn)生困惑,因?yàn)椤案鶕?jù)力學(xué)相對(duì)性原理,任何力學(xué)規(guī)律在任一慣性系內(nèi)具有相同的形式．機(jī)械能守恒定律作為重要的力學(xué)規(guī)律,理應(yīng)滿(mǎn)足力學(xué)相對(duì)性原理．既然車(chē)廂和地面都是慣性系,為什么機(jī)械能守恒定律在車(chē)廂參考系內(nèi)成立,而在地面參考系中不成立呢?”

圖3

例2.如圖3所示,在車(chē)廂里光滑桌面上彈簧拉著一個(gè)物體m作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),車(chē)廂以勻速v前進(jìn)．

例3.如圖4所示,以速度v0勻速下降的升降機(jī)天花板上懸掛著一個(gè)質(zhì)量為m的小球,某時(shí)刻小球突然下落,在小球下落過(guò)程中(未碰升降機(jī)地板前):

圖4

以升降機(jī)為參考系,只有重力做功,小球機(jī)械能守恒,有

式中h為小球相對(duì)升降機(jī)下落的高度,v為小球相對(duì)升降機(jī)的速度．

以地面為參考系,設(shè)小球在下落瞬間的機(jī)械能為E1,則

可見(jiàn),E2=E1,即以地面為參考系,小球的機(jī)械能仍是不變的,為什么會(huì)是這樣?

以上幾個(gè)例子,集中反映出這樣幾個(gè)問(wèn)題．其一,例1、例2中當(dāng)參考系發(fā)生變化后,研究對(duì)象的機(jī)械能不再相等,是否機(jī)械能守恒具有相對(duì)性?不滿(mǎn)足力學(xué)相對(duì)性原理?其二,例3中雖然研究對(duì)象參考系發(fā)生變化,但其機(jī)械能仍然滿(mǎn)足相等,是否力學(xué)相對(duì)性原理僅僅是針對(duì)研究對(duì)象只受到重力作用的這類(lèi)特殊情形才是成立的?其三,機(jī)械能守恒定律滿(mǎn)足力學(xué)相對(duì)性原理嗎?

認(rèn)真分析上述3個(gè)例子,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),在例1中如果以地面作為參考系,則斜面對(duì)滑塊的支持力已經(jīng)對(duì)滑塊做了功,不再滿(mǎn)足質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng))中運(yùn)動(dòng)時(shí),其動(dòng)能與勢(shì)能的總和恒為常量的機(jī)械能守恒條件,導(dǎo)致滑塊的機(jī)械能發(fā)生變化;假如斜面對(duì)滑塊的支持力對(duì)滑塊不做功,滑塊的機(jī)械能必定是保持不變的．例2中小球與彈簧系統(tǒng)之所以在不同參考系中機(jī)械能不同,原因在于在地面系中觀測(cè),彈性勢(shì)能不僅與小球的空間坐標(biāo)用有關(guān),還與小車(chē)運(yùn)動(dòng)有關(guān),即彈性勢(shì)能顯含時(shí)間t,且產(chǎn)生彈力的胡克力場(chǎng)場(chǎng)源(車(chē)廂壁)具有速度v,除非小車(chē)不動(dòng)v=0,這樣,在兩個(gè)參考系觀測(cè)結(jié)果一定是相同的．可是,問(wèn)題又來(lái)了,例3中重力勢(shì)能也是一個(gè)顯含時(shí)間t的量,為什么以地面為參考系時(shí)小球機(jī)械能仍保持不變?這也是容易讓大家感到比較糾結(jié)的問(wèn)題．對(duì)此,朱如曾先生提出:[21]“在外力場(chǎng)概念下質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能就是內(nèi)力場(chǎng)概念下質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相互作用勢(shì)能．內(nèi)力勢(shì)能由系統(tǒng)中各對(duì)質(zhì)點(diǎn)之間的距離決定,而與系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的速度無(wú)關(guān)．由于參考系(慣性系和非慣性系)的變換完全不改變系統(tǒng)中各對(duì)質(zhì)點(diǎn)之間的距離以及相互作用力,所以?xún)?nèi)力勢(shì)能具有參考系變換下的不變性(即在不同參考系同時(shí)觀察同一系統(tǒng)的內(nèi)力勢(shì)能是相等的),亦即對(duì)同一系統(tǒng),不同參考系中的勢(shì)能(內(nèi)力勢(shì)能及根源于內(nèi)力場(chǎng)的外力勢(shì)能)具有參考系變換下的不變性．”

另外,一切普遍規(guī)律(微分方程)都是協(xié)變的,此點(diǎn)無(wú)容置疑,如能量守恒定律(普遍表述是“一個(gè)系統(tǒng)能量的變化等于非保守外力作功”,不能理解為“能量不變(守恒)”)．但是加上一些不協(xié)變的條件(初始條件、邊界條件、規(guī)范條件等),就不協(xié)變了．因?yàn)?能量不變(守恒)涉及3個(gè)問(wèn)題:(a) 系統(tǒng)的選擇,(b) 什么是保守力?(c) 做功的條件,而我們只有對(duì)選定的系統(tǒng)才能區(qū)分內(nèi)力和外力．我們通常說(shuō)保守力作功與路徑無(wú)關(guān),是指沿路徑的積分是“等時(shí)”的,也就是在某一個(gè)時(shí)刻,沒(méi)有考慮時(shí)間的變化．如例3中,在電梯內(nèi)自由落體問(wèn)題里,若忽略重力與高度有關(guān),無(wú)論在電梯參考系還是地面參考系里,重力場(chǎng)都是非時(shí)變的,因此能量都守恒．同時(shí),保守力一定是個(gè)有勢(shì)力場(chǎng),而只有不含時(shí)間的力場(chǎng)才能保證能量不變,否則能量必然變化．如例2中,在車(chē)內(nèi)彈簧振子問(wèn)題里,選彈簧和振子為系統(tǒng), 在地面的參考系里看外力著力點(diǎn)在動(dòng); 只選振子為系統(tǒng), 在地面的參考系里看彈性力勢(shì)場(chǎng)是時(shí)變的,因此能量不守恒．再有,不作功的條件是受力作用點(diǎn)不動(dòng),或力垂直于位移．在例1中,車(chē)內(nèi)光滑斜面下滑物體問(wèn)題里,從車(chē)的參考系里看斜面的支撐力垂直于斜面,在地面的參考系里看斜面的支撐力并不垂直于斜面．

綜上所述,筆者贊同這樣一個(gè)觀點(diǎn)[18]:“所以規(guī)律都服從相對(duì)性原理”,然而只有“普遍定律滿(mǎn)足協(xié)變性”“非普遍定律不滿(mǎn)足協(xié)變性,但可以導(dǎo)出”．

致謝:本文初稿得到北京大學(xué)趙凱華先生認(rèn)可,同時(shí)就一些細(xì)節(jié)與趙先生進(jìn)行多次有益探討,并得到趙先生的悉心指導(dǎo),借此深表感謝!