文建爽，杜進(jìn)輔，劉 凱，王崢嶸

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048)

dynamics

斜齒輪由于承載能力大、傳動(dòng)平穩(wěn)、易于加工和調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)，在航空、船舶、汽車和工業(yè)減速器等領(lǐng)域中獲得了廣泛應(yīng)用，其動(dòng)態(tài)嚙合性能對(duì)機(jī)械設(shè)備整機(jī)可靠性、穩(wěn)定性和振動(dòng)噪聲等特性影響顯著。因此，斜齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)[1-3]。早期研究中，一般以平均嚙合剛度代替時(shí)變嚙合剛度[4]；后來(lái)，隨著改進(jìn)的材料力學(xué)法[5]以及基于LTCA[6]的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法的提出，學(xué)者們開(kāi)始關(guān)注時(shí)變嚙合剛度對(duì)齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)性能的影響[7-9]。朱增寶、朱如鵬等[10]建立了采用雙齒聯(lián)軸器的人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，從動(dòng)載特性方面分析了時(shí)變嚙合剛度對(duì)人字齒振動(dòng)特性的影響；張柳等[11]從時(shí)域和頻域方面著重分析了時(shí)變嚙合剛度和齒距誤差對(duì)斜齒輪振動(dòng)特性的影響；王燕等[12]在系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的平衡位置處對(duì)其進(jìn)行線性化處理，并利用多尺度法獲得了系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定的邊界條件，進(jìn)而分析了時(shí)變嚙合剛度對(duì)斜齒輪系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

但上述研究大都針對(duì)中低轉(zhuǎn)速條件，所獲得的結(jié)論是否適合高轉(zhuǎn)速情況尚待驗(yàn)證。隨著現(xiàn)代工業(yè)的高速發(fā)展，高速重載齒輪傳動(dòng)的需求也日益增多，對(duì)齒輪傳動(dòng)高轉(zhuǎn)速、大載荷、高壽命等方面的要求也日益嚴(yán)格，許多工業(yè)領(lǐng)域的齒輪往往工作在過(guò)共振區(qū)，如直升機(jī)、船艦及電動(dòng)汽車等領(lǐng)域的部分斜齒輪傳動(dòng)其轉(zhuǎn)速已達(dá)到10 000 rpm以上。可見(jiàn)，研究高轉(zhuǎn)速條件下斜齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性具有重要意義。

為此，本文以某船用高速斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了6自由度彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，基于LTCA獲得時(shí)變嚙合剛度曲線，研究轉(zhuǎn)速變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，并通過(guò)分析不同時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)下，齒輪副嚙合線方向振動(dòng)加速度的時(shí)、頻域結(jié)果，研究時(shí)變嚙合剛度的均值和波動(dòng)幅值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，以期獲得具有理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的成果，為高速斜齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供參考依據(jù)。

1 斜齒輪副彎-扭-軸動(dòng)力學(xué)模型

圖1 斜齒輪彎-扭-軸動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Bend-torsion-shaft dynamic model of helical gear

采用集中質(zhì)量法建立6自由度斜齒輪傳動(dòng)的彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型[13]，見(jiàn)圖1。該系統(tǒng)的廣義位移矩陣可表示為：

{δ}={y1,z1,θ1,y2,z2,θ2}T

(1)

式中：yi、zi、θi(i=1，2)分別表示主、從動(dòng)斜齒輪中心在徑向、軸向振動(dòng)位移及轉(zhuǎn)角位移。根據(jù)牛頓第二定律列出圖1所示動(dòng)力學(xué)模型的微分方程組見(jiàn)式(2)。

(2)

基于力、位移分解，將該系統(tǒng)中切向動(dòng)態(tài)嚙合力和軸向動(dòng)態(tài)嚙合力以參數(shù)形式表達(dá)如下：

式中：m1、m2分別為主、從動(dòng)輪質(zhì)量；Rb1、Rb2分別為主、從動(dòng)輪基圓半徑；β為斜齒輪螺旋角；α為壓力角；T1、T2分別為主、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)矩；y1、y2分別為主、從動(dòng)輪中心在y方向的振動(dòng)位移；z1、z2分別為主、從動(dòng)輪中心在z方向的振動(dòng)位移；θ1、θ2分別為主、從動(dòng)輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；k1y、k2y分別為主、從動(dòng)輪在y方向的等效支承剛度；k1z、k2z分別為主、從動(dòng)輪在z方向的等效支承剛度；c1y、c2y分別為主、從動(dòng)輪在方y(tǒng)向的等效支承阻尼；c1z、c2z分別為主、從動(dòng)輪在z方向的等效支承阻尼；k(t)為齒輪時(shí)變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼，其計(jì)算公式如下：

(4)

式中，ξ為阻尼比，本文取0.1。

為了消除齒輪剛體轉(zhuǎn)角位移對(duì)后續(xù)分析的影響，引入相對(duì)轉(zhuǎn)角位移q將轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)化為線位移，其表達(dá)式為：

q=Rb1θ1-Rb2θ2

(5)

將式(5)代入式(2)中，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為：

(6)

式中，me為齒輪副的等效扭轉(zhuǎn)質(zhì)量：

(7)

2 時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算

本文采用基于LTCA的方法計(jì)算齒輪副時(shí)變嚙合剛度，該方法以將齒輪幾何分析和力學(xué)分析有機(jī)地結(jié)合在一起的LTCA為基礎(chǔ)，可以得到齒輪副在修形和誤差條件下的嚙合剛度曲線。嚙合剛度k(t)的計(jì)算式如下：

(8)

式中：P為力或力矩；Z為線位移或角位移變形。

通過(guò)LTCA可獲得齒面載荷分布P和在當(dāng)前接觸位置載荷P作用下的線位移傳動(dòng)誤差Z。Z主要由幾何傳動(dòng)誤差、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形引起。

幾何傳動(dòng)誤差與載荷P大小無(wú)關(guān)，由齒面設(shè)計(jì)和加工決定。當(dāng)齒輪副材料、幾何參數(shù)及嚙合位置一定時(shí)，輪齒彎曲變形和接觸變形由載荷P決定，可以根據(jù)美國(guó)格里森公司的計(jì)算方法得到[14]。各組成部分與載荷P的關(guān)系如下：

(9)

式中：c1,c2,c3為常數(shù)；δ1,δ2,δ3分別表示幾何傳動(dòng)誤差、輪齒彎曲變形和接觸變形。

將一個(gè)嚙合周期進(jìn)行n等分，Zk(P)表示第k(k=1,2,…,n)個(gè)嚙合位置在名義載荷P作用下的承載變形，可由輪齒LTCA程序得到[15]。

綜上所述，可以得到第k個(gè)嚙合位置在名義載荷P作用下的承載變形：

(10)

用待定系數(shù)法，進(jìn)行三次不同載荷下的運(yùn)算，便可確定系數(shù)c1,c2,c3，得到齒輪副不同嚙合位置的載荷與變形的函數(shù)關(guān)系式。通過(guò)這個(gè)關(guān)系式，可以確定任意載荷下該位置的嚙合剛度，對(duì)每一個(gè)嚙合位置均進(jìn)行上述運(yùn)算，即可得到齒輪副整個(gè)嚙合周期各嚙合位置的嚙合剛度，進(jìn)而得到齒輪副的嚙合剛度曲線。

3 算 例

表1為某船用高速斜齒輪副參數(shù)，其三維模型見(jiàn)圖2。

表1 齒輪副基本參數(shù)

圖2 某斜齒輪三維模型Fig.2 3D model of a helical gear

根據(jù)前文方法，得到其在500 N·m負(fù)載下的時(shí)變嚙合剛度曲線見(jiàn)圖3。

圖3 齒輪綜合嚙合剛度曲線Fig.3 Gear comprehensive meshing stiffness curve

以斜齒輪副端面嚙合線方向的相對(duì)振動(dòng)加速度a作為主要指標(biāo)考查系統(tǒng)振動(dòng)程度，其表達(dá)式為：

(11)

將求解動(dòng)力學(xué)模型得到的各方向振動(dòng)加速度按照式(11)合成，并求出其均方根值。接著依次求出各轉(zhuǎn)速下的相對(duì)振動(dòng)加速度均方根值，繪制如圖4所示的時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)下的齒輪端面嚙合線方向振動(dòng)-轉(zhuǎn)速圖。

圖4 齒輪嚙合線方向振動(dòng)-轉(zhuǎn)速圖Fig.4 Gear vibration-rotation speed diagram of meshing direction

圖4可以看出，在時(shí)變嚙合剛度曲線激勵(lì)不變的情況下，不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)振動(dòng)程度不同；除去共振峰外的加速度均方根值并未隨轉(zhuǎn)速升高而明顯升高。這是由于時(shí)變嚙合剛度作為一種參數(shù)激勵(lì)，其本身的均值及幅值與轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)。也即，只考慮時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)情況下，遠(yuǎn)離共振轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)速升高對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響不顯著。在1/3和1/2共振轉(zhuǎn)速N0處，發(fā)生了明顯的超諧波共振。

為了研究齒輪平均嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，基于圖2所示時(shí)變嚙合剛度，取0.6倍、0.8倍、1.0倍、1.2倍、1.4倍五種不同平均嚙合剛度(幅值不變，見(jiàn)圖5)作為系統(tǒng)激勵(lì)。求得系統(tǒng)嚙合線方向振動(dòng)加速度情況，見(jiàn)圖6。

圖5 不同平均剛度值的嚙合剛度曲線Fig.5 Meshing stiffness curve of different means of stiffness

圖6 不同平均嚙合剛度下的振動(dòng)-轉(zhuǎn)速圖Fig.6 Vibration-rotation speed diagram of the different means of stiffness

圖6中，在齒輪時(shí)變嚙合剛度幅值不變的情況下，除去共振峰值外，齒輪相對(duì)振動(dòng)加速度均方根值隨著齒輪平均嚙合剛度的升高而降低，且系統(tǒng)固有頻率發(fā)生了改變，齒輪副共振轉(zhuǎn)速隨齒輪平均嚙合剛度的增大而增大。進(jìn)一步分析得，平均嚙合剛度減小使系統(tǒng)振動(dòng)加速度均方根值相對(duì)于轉(zhuǎn)速的變化率變大，這導(dǎo)致齒輪轉(zhuǎn)速達(dá)到共振轉(zhuǎn)速附近時(shí)齒輪振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

圖7～8分別為轉(zhuǎn)速9 000 r/min、12 000 r/min時(shí)5種不同平均嚙合剛度下嚙合線方向振動(dòng)時(shí)域圖。

圖7 9 000 r/min時(shí)不同平均剛度下嚙合線方向振動(dòng)時(shí)域圖Fig.7 Time domain diagram of meshing direction vibration under different means of stiffness at 9 000 r/min

圖8 12 000 r/min時(shí)不同平均剛度下嚙合線方向振動(dòng)時(shí)域圖Fig.8 Time domain diagram of meshing direction vibration under different means of stiffness at 12 000 r/min

圖9～10為頻域圖。

圖9 9 000 r/min時(shí)不同平均剛度下嚙合線方向振動(dòng)頻域圖Fig.9 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different stiffness means at 9 000 r/min

圖10 12 000 r/min不同平均剛度下嚙合線方向振動(dòng)頻域圖Fig.10 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different stiffness means at 12 000 r/min

由圖7～10可得，平均嚙合剛度越大，齒輪振動(dòng)幅值越大，與圖6得到的結(jié)論一致。

時(shí)變嚙合剛度的幅值波動(dòng)大小是影響齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的重要因素。為了研究時(shí)變嚙合剛度對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響，基于圖2所示時(shí)變嚙合剛度，取0.6倍、0.8倍、1.0倍、1.2倍、1.4倍五種不同幅值(平均嚙合剛度值和周期保持不變，見(jiàn)圖11)，作為系統(tǒng)激勵(lì)輸入動(dòng)力學(xué)模型。求得系統(tǒng)嚙合線方向振動(dòng)加速度情況，見(jiàn)圖12。

圖11 不同幅值的嚙合剛度曲線Fig.11 Meshing stiffness curves of different amplitudes

由圖12得， 在齒輪平均嚙合剛度不變的情況下，嚙合剛度的幅值越大齒輪端面嚙合線方向振動(dòng)均方根值越大；且嚙合剛度的幅值波動(dòng)變化并未造成共振轉(zhuǎn)速發(fā)生變化；時(shí)變嚙合剛度幅值增大會(huì)使振動(dòng)加速度均方根值相對(duì)于轉(zhuǎn)速的變化率變大，如前所述，這會(huì)導(dǎo)致齒輪轉(zhuǎn)速達(dá)到共振轉(zhuǎn)速附近時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

圖12 不同嚙合剛度幅值下的振動(dòng)-轉(zhuǎn)速圖Fig.12 Vibration-rotation speed diagram under different amplitudes of meshing stiffness

圖13～14分別為轉(zhuǎn)速9 000 r/min、12 000 r/min時(shí)5種不同時(shí)變嚙合剛度幅值下嚙合線方向振動(dòng)時(shí)域圖，其頻域圖見(jiàn)圖15～16。由圖13～16可得，嚙合剛度幅值越大，齒輪振動(dòng)幅值越大。與分析圖12得到的結(jié)論一致。

圖13 9 000 r/min時(shí)不同幅值波動(dòng)下嚙合線方向振動(dòng)時(shí)域圖Fig.13 Time domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 9 000 r/min

圖14 12 000 r/min時(shí)不同幅值波動(dòng)下嚙合線方向振動(dòng)時(shí)域圖Fig.14 Time domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 12 000 r/min

圖15 9 000 r/min時(shí)不同幅值波動(dòng)下嚙合線方向振動(dòng)頻域圖Fig.15 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 9 000 r/min

圖16 12 000 r/min不同幅值波動(dòng)下嚙合線方向振動(dòng)頻域圖Fig.16 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 12 000 r/min

4 結(jié) 論

本文以某船用高速斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了考慮時(shí)變嚙合剛度的斜齒輪彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，基于LTCA計(jì)算了齒輪副的時(shí)變嚙合剛度，并研究了轉(zhuǎn)速和齒輪副時(shí)變嚙合剛度的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。所得結(jié)論如下。

1) 時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)下，遠(yuǎn)離共振轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)速變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響不顯著。

2) 在1/3和1/2共振轉(zhuǎn)速N0處，發(fā)生了明顯的超諧波共振。

3) 齒輪副平均嚙合剛度值增大會(huì)使系統(tǒng)振動(dòng)幅值減小，但共振轉(zhuǎn)速會(huì)發(fā)生改變，即系統(tǒng)固有頻率會(huì)發(fā)生改變，齒輪平均嚙合剛度越大，系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速也越大。

4) 時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值增大會(huì)使振動(dòng)加劇，但不改變系統(tǒng)固有頻率。