邢光軍　夏敏

摘要：以零售商訂購行為和庫存控制為研究對象，考慮回收率不確定及訂購數(shù)量問題，建立零售商單位成本的數(shù)學(xué)模型，確定零售商最優(yōu)訂購時間、缺貨點及最優(yōu)經(jīng)濟(jì)訂購量。研究結(jié)論表明：隨著訂貨周期延長，零售商單位成本呈下降趨勢；隨缺貨時間的縮短，零售商平均成本下降；回收率增加，零售商單位成本下降。

關(guān)鍵詞：零售商回收；經(jīng)濟(jì)訂購量模型；逆向物流

一、引言

近年來，國內(nèi)外學(xué)者逐漸傾向于從回收角度開始零售商回收衍生的逆向物流問題。羅冰等研究需求和采購時變的EOQ模型，考慮缺貨情境中資金時間價值等因素對庫存管理的影響。Jaber等認(rèn)為將熱力學(xué)第一和第二原理應(yīng)用到庫存管理，會降低發(fā)生紊亂的可能性，提出熵訂購量模型，考慮了產(chǎn)品變質(zhì)對庫存的影響，產(chǎn)品更快分銷，產(chǎn)品變質(zhì)降低額外成本支出。聶佳佳等探討聯(lián)合采購對零售商回收策略的影響。Sandun Perera等在傳統(tǒng)EOQ模型中引入關(guān)于訂購成本和持貨成本的假設(shè)，拓展現(xiàn)有（s，S）型庫存策略，指出改進(jìn)EOQ模型中總存在一個非（s，S）型備選存儲方案。Cheng Kang Chen等以補(bǔ)給產(chǎn)品的數(shù)量和回收率作為決策變量，得到零售商價格決策模型，以確保零售商利潤最大化。

本文從零售商角度出發(fā)，基于傳統(tǒng)EOQ模型，在Chen等基礎(chǔ)上引入缺貨成本、庫存影響銷售系數(shù)和缺貨造成的銷售損失成本，研究存在回收環(huán)節(jié)的零售商成本最小化問題，并探究缺貨情境下零售商最優(yōu)庫存控制策略。

二、零售商回收模型

零售商將待出售商品和從消費者處回收的廢舊產(chǎn)品均存儲在零售商庫存內(nèi)，回收廢舊產(chǎn)品需支付消費者一定費用，存儲過程中產(chǎn)生持貨費用。制造商將廢舊產(chǎn)品匯總收回后進(jìn)行再制造和廢棄處置，需支付零售商一定的回收費用。

提出如下假設(shè)：

1.模型中產(chǎn)品訂購單價恒定；

2.設(shè)時刻的需求函數(shù)為：D（t）=D+a·I（t），I（t）≥0D，I（t）<0

D為單位基本需求量，a為在庫產(chǎn)品數(shù)量對銷售率的影響系數(shù)，D，a均為正常數(shù)；I（t）為時刻零售商在庫庫存量；

3.缺貨影響因子δ，缺貨率 ，（T-t0）顧客等待時間，缺貨量 ，t1≤t≤T，δ>0；

4.銷售率是庫存量的函數(shù)；

5.前i周期回收率τ為∑ τ0ri-1=τ0/（1-r）；

6.回收產(chǎn)品的成本函數(shù)ln（a）=PLτ2，回收率，PL換算因子；

7.C（t0，T，τ）為零售商單位時間內(nèi)的成本函數(shù)。

定義T表示一個訂貨周期，t0表示每訂購周期內(nèi)缺貨點，t0是關(guān)于T的函數(shù)，t0和T為決策變量。每次購買產(chǎn)品訂購費為K，每單位產(chǎn)品可變成本為Cp，Q為每周期訂貨數(shù)量。每單位產(chǎn)品存儲成本為h。t時刻缺貨量S（t），S表示每周期內(nèi)最大允許缺貨量，單位產(chǎn)品單位時間內(nèi)缺貨費用為cs。單位缺貨產(chǎn)品造成銷售損失的沉沒成本為cr。A為回收廢舊產(chǎn)品所需要支付的單位費用， B為零售商將回收廢舊產(chǎn)品賣給制造商所獲得的單位收入，且滿足B-A>0。

三、模型建立及求解

I（t0）=0，庫存量狀態(tài)變化方程為 =-D-aI（t），0≤t≤t0（1）

代入（1）每個周期庫存量最大值為I（0）= （2）

缺貨周期內(nèi)消費者等待的產(chǎn)品數(shù)量為S（t）：

= ，t ≤t≤TS（t ）=0（3）

求解（3）：S（t）= dx（4）

式（4）知訂貨周期T內(nèi)最大缺貨量

S=S（T）= dx（5）

每個訂貨周期內(nèi)訂貨數(shù)量Q=I（0）+S= + dx（6）

因此零售商每個訂貨周期成本由5部分組成：

1.每周期采購成本為K+cpQ=K+cp[ + dx]

2.每周期持貨成本為h I（t）dt=h dt=

3.每周期缺貨成本cs S（t）dt=cs dxdt=cs xdx

4.每周期回收成本為PLτ2

5.每周期回收收益為（B-A）RQ=（B-A）τQ=（B-A）τ + dx

因此零售商單位時間內(nèi)成本C（t0，T，τ）表示為：

C（t0，T，τ）= [K+cpQ+h I（t）dt+cs S（t）dt+cr（（T-t0）D-S）+PLτ2-（B-A）τQ]= （K+cp（ + dx）+ +cs ）dx+PLτ2-（B-A）τ（ + dx））（7）

因此零售商庫存最小成本可表示為：

minC（t0，T，τ） s.t. 0≤t0≤T，0≤τ≤1

運用Mathematica 9.0進(jìn)行計算，得到如下定理。

訂貨周期內(nèi)，在庫產(chǎn)品數(shù)量影響的銷售收入遠(yuǎn)高于缺貨影響銷售的沉沒成本，回收收益大于回收成本和投入，因此在訂貨周期內(nèi)，存貨越少，零售商單位成本越低，即零售商最小庫存成本不存在。

定理1：對？坌T>0，minC（t0，T，τ）沒有最優(yōu)解。

證明：對？坌T>0，式（7）關(guān)于t0求偏導(dǎo)，得：

=

+ + +（ +2e Log[e]）cp-

（8）

a∈[0，1]，lolg[a]≤0，所以， ≤0， <0；，B-A>0，τ∈[0，1]，τ（A-B）<0，（（T-t0）2δ+2e （1+（T-t0）δ）2Log[e]-2t0）>（（T-t0）2δ+ （1+（T-t0）δ）2-2t0）

τ（A-B）（（T-t0）2δ+2e （1+（T-t0）δ）2log[e]-2t0）<0， +2e log[e]<δ（T-t0）2-t0<-2t0<0，（2t0（t0-T）δ-3t0-T）<0，t0-T<0，故 <0在T>0恒成立，則C（t0，T，τ）關(guān)于t0遞減，C（t0，T，τ）最小值為C（T，T，τ）= ，M= >0，N= >0，W= <0。C（T，T，τ）對T求偏導(dǎo)數(shù)，對？坌T∈（0，+∞），下式成立： = - <0，故C（T，T，τ）關(guān)于T遞減，minC（t0，T，τ）無最優(yōu)解。證畢

回收率越高，每個訂貨周期回收收益高于回收成本，產(chǎn)品回收數(shù)量取決于訂貨周期內(nèi)訂貨數(shù)量，由定理1知：訂貨周期內(nèi)，存貨量越低，零售商平均成本越低，購買量增加。

定理2：對？坌T>0，單位時間平均成本函數(shù)C（t0，T，τ）是關(guān)于回收率τ的凹函數(shù)，且單調(diào)遞減。

證明：對？坌T>0，式（8）關(guān)于τ求偏導(dǎo)，可得：

=

+ + （9）

對式（9）關(guān)于τ求二階偏導(dǎo)數(shù)，可得： = （10）

P >0，式（11）得到的結(jié)果恒為正，二階偏導(dǎo)大于0，式（10）在τ∈[0，1]遞增，τ∈[0，1]原函數(shù)C（t0，T，τ）在τ∈[0，1]上為凹函數(shù)。

以下證明（7）單調(diào)性。a，？鄣∈[0，1]， >0，所以 在τ=1處取最大值，有 <1，所以 < （ + ），又B>A，所以 <0恒成立，由此可得 最大值仍小于0，零售商單位時間平均成本函數(shù)C（t0，T，τ）在τ∈[0，1]單調(diào)遞減。故：對？坌T>0，C（t0，T，τ）為單調(diào)遞減凹函數(shù)。證畢

定理3 若K+PLτ2

證明：已知t0是關(guān)于T的函數(shù)，單位時間平均成本函數(shù)可表示為：

C（t0（T），T，τ）= [K+cpQ+h I（t）dt+cs S（t）dt+cr（（T-t0（T））D-S）+PLτ2-

（B-A）τQ（11）

C（t0（T），T，τ）關(guān)于T可導(dǎo)，最優(yōu)值點滿足 =0，由式（11）得到如下：

=- P（T）（12）

P（T，τ）=K-τ（B-A） + +

+PLτ2+cp

+ +

csD （13）

求 =0即求 =0，對P（T，τ）關(guān)于求偏導(dǎo)得：

=

（14）

式（14）小于0恒成立，因此函數(shù)P（T，τ）關(guān)于T嚴(yán)格遞減。又 t0（T）=0，因此 P（T，τ）=K+PLτ2>0。T→∞時，有：

P（T，τ）=K-τ（B-A） - + +PLτ2。

若K+PLτ2

四、算例分析

（一）數(shù)值算例

D（t）=800+0.4I（t），I（t）≥0800，I（t）<0，K，=1200，cp=10元，h=3元，cs=2元，PL=2000，a=0.4。A=4元/單位，B=10元/單位，τ為34.32%，缺貨影響因子？鄣=2.3。

得出零售商最佳購買周期T*=14.4天，最佳缺貨點t0*=8.6天，經(jīng)濟(jì)訂購量Q=64095單位，單位時間零售商平均成本C*=24323元。

（二）靈敏度分析

1. 購買周期的敏感性分析

隨著T的增加，零售商平均成本先下降至最優(yōu)購買周期T*處，由產(chǎn)品變質(zhì)等原因，平均成本短時間內(nèi)激增，但顧客愿意等待補(bǔ)貨，收益流失尚可控，成本隨后繼續(xù)下降。建議如下：零售商延長購買周期，降低持貨和購買成本，同時增強(qiáng)消費者忠誠度，以保證機(jī)會成本不會激增，同時延長回收周期，回收收益也可調(diào)和零售商在這段期間內(nèi)需要支付的成本。

2. 缺貨時間點的敏感性分析

隨著的增加，缺貨時間點延后，庫存量滿足部分市場需求，由缺貨帶來損失成本也降低，一段采購周期內(nèi)采購產(chǎn)品數(shù)量減少，零售商購買產(chǎn)品的采購成本也降低。

（3）回收率的敏感性分析

隨著回收率的增加，采購周期內(nèi)回收產(chǎn)品數(shù)量增加，回收收益增加，調(diào)和零售商成本，零售商平均成本會隨回收率增加而降低。建議如下：零售商可通過宣傳、優(yōu)惠等激勵策略提升回收率，增加回收環(huán)節(jié)收入，降低零售商成本。

五、結(jié)論

本文探究回收率不確定情境下零售商的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)訂購問題和庫存策略問題，以降低零售商單位時間成本。通過分析零售商采購周期、缺貨時間點及回收率對零售商平均成本的影響，建立存在回收環(huán)節(jié)的零售商成本模型，提出零售商庫存管控策略，確定了產(chǎn)品最優(yōu)購買周期、缺貨時間點及零售商回收率，從而解決了零售商經(jīng)濟(jì)購買量、單位平均成本的優(yōu)化問題。

參考文獻(xiàn)：

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[5]Chen C， Weng T， Lo C， et al. Optimal replenishment quantity for new products and return rate of used products for a retailer[J]. Applied Mathematical Modelling， 2016（23）.

*基金項目：國家自然科學(xué)基金“學(xué)習(xí)效應(yīng)嵌入下動態(tài)決策單元DEA效率評價與管理目標(biāo)設(shè)定的研究及應(yīng)用”（71771126）；江蘇省社會科學(xué)基金資助項目（14HQ005）；江蘇省研究生科研與實踐創(chuàng)新計劃項目“回收不確定的閉環(huán)供應(yīng)鏈雙源庫存控制策略”（KYCX17_0807）。

（作者單位：南京郵電大學(xué)）