劉 蕊，王秋萍，肖燕婷，閆海霞

(1.西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054；2. 西安理工大學(xué)高科學(xué)院，陜西西安710109)

在現(xiàn)實(shí)決策過程中，由于客觀事物的復(fù)雜性，決策信息有時(shí)以“好”、“壞”、“一般”這樣的語言術(shù)語來表達(dá)，但在以往處理語言評價(jià)信息的過程中，往往存在著信息損失和集結(jié)結(jié)果不精確的問題。為此，Herrera和Martínez[1]于2000年提出用由一個語言術(shù)語和[-0.5, 0.5)中的一個數(shù)值組成的2元組，即二元語義模型來處理語言信息，避免了語言評價(jià)信息集成和運(yùn)算過程中出現(xiàn)的信息損失和扭曲的問題[2]。2016年，Beg和Rashid[3]進(jìn)一步提出了猶豫二元語義信息模型的概念。該模型考慮到了決策者在[-0.5, 0.5)中的多個數(shù)值之間猶豫的情況，因此比二元語義模型更適合處理模糊性和不確定性。本文將研究屬性值為猶豫二元語義信息的多屬性群決策問題。

已有的大多數(shù)決策方法都是建立在承認(rèn)屬性間的完全可補(bǔ)償性的假設(shè)之上的。也就是說，方案Ai在某個屬性j1上比Ak差，而且無論差多少，都可以通過其他屬性j(j≠j1)上的Ai?jAk進(jìn)行補(bǔ)償，使方案對的總體比較結(jié)果為Ai?Ak[4]。在實(shí)際決策過程中，這種處理方法有時(shí)是不合理的。比如，過期的食品即使很便宜人們也不會購買，即食品的價(jià)格屬性不能完全補(bǔ)償質(zhì)量屬性。因此，在決策過程中考慮屬性間的部分可補(bǔ)償性是非常有必要的。ELECTRE(法文Elimination et Choice Translating Reality的縮寫)方法是一種基于級別高于關(guān)系[5-6]的多屬性決策方法，它通過不和諧性檢驗(yàn)反映決策人關(guān)于屬性間的部分可補(bǔ)償性。此外，該方法具有算理簡明、過程清晰、對決策矩陣信息利用相對充分等特點(diǎn)[7]，眾多學(xué)者對它進(jìn)行了改進(jìn)與應(yīng)用[8-12]。文獻(xiàn)[8]提出了猶豫模糊和諧集與不和諧集的概念，構(gòu)造了強(qiáng)、弱級別高于關(guān)系，從而確定了方案間的排序。文獻(xiàn)[9]提出了在區(qū)間二元語義環(huán)境下的ELECTRE和ANP的混合方法，其中，利用基于似然的偏好度定義和諧集、不和諧集和無差異集。文獻(xiàn)[10]采用一種改進(jìn)的ELECTRE方法[11]確定方案排序，以幫助消費(fèi)者決定購買哪種農(nóng)產(chǎn)品。針對決策信息為區(qū)間猶豫模糊集的決策問題，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于級別高于關(guān)系的決策新方法。

文獻(xiàn)[12]將ELECTRE方法拓展到區(qū)間猶豫模糊決策環(huán)境中，受此啟發(fā)，本文將ELECTRE方法拓展到猶豫二元語義決策環(huán)境中，提出了一種基于ELECTRE方法的猶豫二元語義多屬性群決策方法。該方法基于猶豫二元語義可能度比較公式定義了猶豫二元語義和諧指數(shù)，結(jié)合文獻(xiàn)[10-12]中的ELECTRE方法改進(jìn)思想確定綜合優(yōu)勢矩陣，并憑借凈優(yōu)勢值對方案進(jìn)行排序。最后，通過實(shí)例分析及與已有文獻(xiàn)方法的比較分析說明所提方法的可行性和有效性。

1 基礎(chǔ)知識

二元語義是基于符號轉(zhuǎn)移值的概念提出來的，通常用二元組(si,α)來表示語言評價(jià)信息，si是語言術(shù)語集S={s0,s1, …,sg}中的元素，α為符號轉(zhuǎn)換值并且α∈[-0.5, 0.5)。

定義1[1]設(shè)S={s0,s1, …,sg}為一個語言術(shù)語集，β∈[0,g]是語言術(shù)語經(jīng)集結(jié)運(yùn)算得到的實(shí)數(shù)，則與β對應(yīng)的二元語義可通過函數(shù)Δ得到：

Δ: [0,g]→S×[-0.5, 0.5)

(1)

式中，round(·)表示通常的四舍五入取整運(yùn)算。

定義2[1]設(shè)S={s0,s1, …,sg}為一個語言術(shù)語集，若(si,α)表示二元語義，則存在逆函數(shù)Δ-1將二元語義轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)值β∈[0,g]，即：

Δ-1:S×[-0.5, 0.5)→[0,g]

Δ-1(si,α)=i+α=β

(2)

為了定義猶豫二元語義元的可能度比較公式，本文首先給出兩個二元語義間的二元關(guān)系。

定義3設(shè)S= {s0,s1, …,sg}為一個語言術(shù)語集，(si,αi)和(sj,αj)為任意的兩個二元語義，二元關(guān)系p定義為：

(3)

2 猶豫二元語義術(shù)語集

定義4[3]設(shè)X為一論域，S={s0,s1, …,sg}為一個語言術(shù)語集，X上的一個猶豫語言術(shù)語集A可以表示為

A= {(x,h(x))|x∈X}

(4)

式中，h(x)= (si,αij)，x∈X。

猶豫二元語義表達(dá)模型利用一個二元組(si,αij)表達(dá)猶豫語言信息，其中，si為S上的一個語言術(shù)語，αij是[-0.5, 0.5)的一個有限子集，表示si可能的符號轉(zhuǎn)移值。

稱h(x)=(si,αij)為一個猶豫二元語義元，表示為h=(si,αij)={(si,ak)|k=1,2,…,l(h)}，h的上界為h+= max{ak|(si,ak)∈h}，下界為h-= min{ak|(si,ak)∈h}。

基于猶豫模糊語言可能度比較公式[13]的定義思想，本文將給出兩個猶豫二元語義元大小的可能度比較公式。

定義5設(shè)h1=(si,αij)={(si,ak)|k=1,2,…,l(h1)}與h2=(sl,αlm)={(sl,bn)|n=1,2,…,l(h2)}是任意的兩個猶豫二元語義元，則h1≥h2的可能度比較公式為：

P(h1≥h2)=

(5)

式中，(si,ak)∈h1，(sl,bn)∈h2，h1∩h2={(si,ak)|(si,ak)∈h1且(si,ak)∈h2}。

猶豫二元語義元的可能度比較公式具有如下性質(zhì)。

1) 規(guī)范性：0≤P(h1≥h2)≤1。

3) 互補(bǔ)性：P(h1≥h2)+P(h2≥h1)=1。

4) 自反性：若h1=h2，則P(h1≥h2)=

P(h2≥h1)=0.5。

5) 傳遞性：若P(h1≥h2)≥0.5，P(h2≥h3)≥0.5，則P(h1≥h3)≥0.5。

證明易知定義5滿足性質(zhì)1)和5)，下面就性質(zhì)2)～4)給出相應(yīng)的證明。

(6)

(7)

3)P(h1≥h2)+P(h2≥h1)

(8)

4) 若h1=h2，則P(h1≥h2)=P(h2≥h1)。又P(h1≥h2)+P(h2≥h1)=1，則P(h1≥h2)=P(h2≥h1)=0.5。

定義6[3]設(shè)(si,αij)與(sl,αlm)是兩個任意的猶豫二元語義元，且αij={ak|k=1, 2, …,l(αij)}，αlm={bn|n=1, 2, …,l(αlm)}，則(si,αij)和(sl,αlm)之間的距離被定義如下：

(9)

例2考慮例1中的猶豫二元語義元h1和h2，根據(jù)定義6可得h1和h2之間的距離為d(h1,h2) = 0+0.3=0.3。

3 基于ELECTRE的猶豫二元語義多屬性群決策方法

3.1 個體決策矩陣的集結(jié)

sij=

(10)

其中，算子的定義[3]為

表示通常的四舍五入運(yùn)算，且：

(11)

屬性分為效益型屬性和成本型屬性，本文利用式(10)構(gòu)建規(guī)范化猶豫二元語義群決策矩陣Y=(yij)m×n：

(12)

式中，neg(xij)可以根據(jù)式(13)確定。

neg(h)=

{Δ(g-(Δ-1(si,ak)))|k=1, 2, …,l(h)}

(13)

3.2 屬性權(quán)重的確定

偏差最大化法是一種根據(jù)各屬性下所有候選方案評價(jià)值之間的差異來確定屬性權(quán)重的方法，差異越大的屬性對決策的作用越大，其權(quán)重也就越大。計(jì)算第j(j=1, 2, …,n)個屬性下所有候選方案間的總偏差為Vj：

(14)

式中，d(xij,xkj)表示候選方案Ai與Ak(i,k=1, 2, …,m;j=1, 2, …,n)在屬性Cj下的距離。則第j(j=1, 2, …,n)個屬性的權(quán)重為：

(15)

3.3 猶豫二元語義和諧性指數(shù)與不和諧性指數(shù)

(16)

(17)

(18)

傳統(tǒng)ELECTRE法中的和諧指數(shù)Iik為：

(19)

(20)

傳統(tǒng)ELECTRE法中的和諧指數(shù)Iik是方案Ai不劣于方案Ak的那些屬性的權(quán)重之和在所有屬性權(quán)重的總和中所占的比例，沒有考慮方案屬性值之間的差異。因此，本文基于可能度比較公式定義猶豫二元語義和諧指數(shù)cik為方案Ai不劣于方案Ak的那些屬性下可能度的加權(quán)之和，具體為：

(21)

式中，ωj(j=1,2,…,n)為屬性Cj∈C的權(quán)重值，cik∈[0,1]表示方案Ai不劣于方案Ak的程度。cik越大，表示方案Ai不劣于方案Ak的程度越大。

不和諧性指數(shù)dik是指方案Ai與方案Ak在不和諧屬性下的相對差異，它反映了候選方案之間的有限補(bǔ)償。也就是說，當(dāng)某個屬性下的兩個候選方案之間的差異達(dá)到一定程度時(shí)，決策者將拒絕其他屬性下的收益對于該屬性下的損失的補(bǔ)償。不和諧性指數(shù)dik具體由式(22)確定。

(22)

式中，ωj(j=1, 2, …,n)為屬性Cj的權(quán)重值。dik∈[0,1]能夠反映方案Ai與方案Ak的相對劣勢程度，并且dik越大，表示方案Ai劣于方案Ak的程度越大。

根據(jù)猶豫二元語義和諧性指數(shù)與不和諧性指數(shù)分別構(gòu)建猶豫二元語義和諧性矩陣C=(cik)m×m與不和諧性矩陣D=(dik)m×m。

3.4 對候選方案排序

本文通過計(jì)算凈優(yōu)勢值實(shí)現(xiàn)候選方案的排序。為此，需要根據(jù)猶豫二元語義和諧矩陣C及不和諧矩陣D的余矩陣D′=(1-dik)m×m的Hadamard乘積確定綜合優(yōu)勢矩陣E=C°D′=(eik)m×m，其中：

eik=cik(1-dik)

(23)

eik越大，表示方案Ai不劣于方案Ak(i=1, 2, …,m;j=1, 2, …,n)的程度越大。進(jìn)一步的，根據(jù)式(24)確定方案Ai的凈優(yōu)勢值：

(24)

式中，Ni越大，說明方案Ai越優(yōu)。

將各方案的凈優(yōu)勢值按照降序的順序排列，就可以得到各方案由優(yōu)到劣的排序。

3.5 決策步驟

基于以上分析，提出一種基于ELECTRE的猶豫二元語義多屬性群決策方法。具體步驟如下：

Step1：根據(jù)3.1節(jié)集結(jié)決策者們的決策信息，得到群決策矩陣X=(xij)m×n(i=1, 2, …,m;j=1, 2,…,n)，并根據(jù)式(12)～(13)構(gòu)建規(guī)范化猶豫二元語義群決策矩陣Y=(yij)m×n。

Step2：根據(jù)式(14)～(15)確定屬性權(quán)重。

Step4：根據(jù)式(16)～(18)確定和諧集、不和諧集和無差異集。

Step5：構(gòu)建和諧性矩陣C=(cik)m×m，其中，和諧指數(shù)cik由式(21)確定。

Step6：構(gòu)建不和諧性矩陣D=(dik)m×m，其中，不和諧指數(shù)dik由式(22)確定。

Step7：根據(jù)式(23)構(gòu)建綜合優(yōu)勢矩陣E=(eik)m×m。

Step8：根據(jù)式(24)確定各方案的凈優(yōu)勢值，并按降序排序，即凈優(yōu)勢值越大的候選方案越優(yōu)。

4 算例分析

本文所提方法的決策步驟如下。

Step1：根據(jù)3.1節(jié)確定的群決策矩陣X=(xij)5×4(i=1, 2, …, 5;j=1, 2, …, 4)，見表4。根據(jù)式(12)和式(13)構(gòu)建的規(guī)范化群決策矩陣Y=(yij)5×4，見表5。

Step2：根據(jù)式(14)～(15)得到屬性權(quán)重分別為ω1=0.2401，ω2=0.2234，ω3=0.2155，ω4=0.3210。

表1 猶豫二元語義決策矩陣X(1)

表2 猶豫二元語義決策矩陣X(2)

表3 猶豫二元語義決策矩陣X(3)

表4 猶豫二元語義群決策矩陣X

表5 規(guī)范化猶豫二元語義群決策矩陣Y

P2=

P3=

Step4：根據(jù)式(16)～(18)確定和諧集、不和諧集和無差異集，其中，“-”表示不存在使得方案Ai與Ak(i,k=1, 2, …, 5且k≠i)滿足集合

Step5：構(gòu)建和諧性矩陣C=(cik)5×5。

C=

Step6：構(gòu)建不和諧性矩陣D=(dik)5×5。

D=

Step7：構(gòu)建綜合優(yōu)勢矩陣E=(eik)5×5。

E=

Step8：根據(jù)式(22)分別計(jì)算凈優(yōu)勢值，得到N1=-2.1434，N2=-0.5762，N3=-2.1946，N4=1.5189，N5=3.3953。根據(jù)凈優(yōu)勢值越大，相應(yīng)方案越優(yōu)的排序原則有N5>N4>N2>N1>N3，則A5?A4?A2?A1?A3，故A5為最佳候選企業(yè)。

為了說明本文所提和諧指數(shù)的有效性，基于本文所提方法，按式(20)計(jì)算和諧指數(shù)，可得本文算例中各方案的凈優(yōu)勢值依次為N1=-2.1793，N2=-0.5426，N3=-2.2562，N4=1.3521，N5=3.6260。比較分析見表6。由表6可知，基于兩種和諧指數(shù)的排序結(jié)果是一致的，但利用式(21)計(jì)算和諧指數(shù)所得各方案的凈優(yōu)勢值間差異比式(20)的略小，這主要是因?yàn)槭?21)的和諧指數(shù)進(jìn)一步考慮了方案兩兩比較的可能度信息。

此外，將本文所提方法與文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[14]的方法進(jìn)行比較分析，結(jié)果見表7。由表7可知，三種方法的排序結(jié)果均為A5?A4?A2?A1?A3，最佳候選企業(yè)為A5，這說明本文所提方法是可行的。

表6 基于兩種和諧指數(shù)的排序結(jié)果比較

表7 不同方法的排序結(jié)果

5 結(jié) 語

針對猶豫二元語義多屬性群決策問題，本文提出了一種基于ELECTRE的猶豫二元語義多屬性群決策方法。

該方法利用可能度比較公式確定和諧集、不和諧集與無差異集，基于加權(quán)可能度確定和諧指數(shù)，基于距離測度確定不和諧指數(shù)，并根據(jù)凈優(yōu)勢值實(shí)現(xiàn)對候選方案的排序。

所提方法對候選方案的排序是基于部分可補(bǔ)償性的條件，同時(shí)避免了根據(jù)強(qiáng)弱關(guān)系圖進(jìn)行排序的復(fù)雜過程。

最后通過一個算例及與其他方法的比較分析,說明了該方法的可行性與有效性。