黃傳金，雷文平，李凌均，孟雅俊，趙 靜

(1.鄭州工程技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，鄭州 450044；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310007；3.鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，鄭州 450052)

基于振動(dòng)信號(hào)監(jiān)測(cè)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷是研究熱點(diǎn)[1-2]。由于振動(dòng)信號(hào)的非線性，一些先進(jìn)信號(hào)處理方法如小波變換[3]、局部均值分解(Local Mean Decomposition,LMD)[4]、局部特征尺度分解(Local Characteristic Decomposition,LCD)[5]、變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition,VMD)[6]和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)及其改進(jìn)方法[7-8]等被用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷。

這些方法促進(jìn)了旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷技術(shù)的進(jìn)步，但也存在不足之處。如小波變換需預(yù)置與故障波形相匹配的基函數(shù)，不同的旋轉(zhuǎn)機(jī)械可能存在不同的故障波形特征，即使是同一機(jī)械，隨其故障的發(fā)展相應(yīng)的故障波形也可能會(huì)變化，從而導(dǎo)致小波變換缺少自適應(yīng)。另外，小波變換受Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理的制約，難以同時(shí)獲得最好的時(shí)頻分析結(jié)果。LMD、LCD和EMD均根據(jù)信號(hào)的極值點(diǎn)擬合信號(hào)包絡(luò)線，從而將信號(hào)分解成固有模態(tài)函數(shù)，它們均具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，但均缺少數(shù)學(xué)理論支撐，而且也存在模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題。VMD通過(guò)較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出，具有完備的數(shù)學(xué)體系支撐，但其分解尺度的選擇還需人工經(jīng)驗(yàn)。

另外，由于故障位置、旋轉(zhuǎn)機(jī)械各向異性、多軸系標(biāo)高不一致等原因，旋轉(zhuǎn)機(jī)械不同方向信號(hào)強(qiáng)度可能存在差異，導(dǎo)致基于單通道的信號(hào)分析方法提取的故障特征可能不準(zhǔn)確。因此，一些同源信息融合技術(shù)被提出。如Bently提出的全頻譜[9]，孟建等首創(chuàng)的全息譜[10]和韓捷等提出的全矢譜[11]。這些融合技術(shù)基于傅立葉變換基礎(chǔ)之上，分析靜態(tài)信號(hào)取得較好的效果。為融合非平穩(wěn)信號(hào)特征，一些和EMD、LMD等相聯(lián)合的同源信息技術(shù)被提出[12-13]。但由于EMD或LMD各自分解兩個(gè)方向的信號(hào)，可能存在尺度不統(tǒng)一的問(wèn)題，給信息融合帶來(lái)難題[14]。

為了直接處理雙通道和多通道信號(hào)，近年來(lái)有學(xué)者將LMD、EMD向二元、三元獲多元領(lǐng)域做了擴(kuò)展。比如復(fù)局部均值分解(Complex Local Mean Decomposition,CLMD)[15]、二元經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Bivariate EMD,BEMD)[16]、三元經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(TEMD)[17]、多元經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Multivariate EMD,MEMD)[18]等。由于多通道信號(hào)提供了更多的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障特征信息(如軸心軌跡、進(jìn)動(dòng)方向等)，基于多通道信號(hào)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷方法也成為一個(gè)熱點(diǎn)。比如文獻(xiàn)[14]提出了基于BEMD的旋轉(zhuǎn)機(jī)械電氣和機(jī)械故障診斷，文獻(xiàn)[19]提出了基于CLMD全矢包絡(luò)譜的轉(zhuǎn)碰摩故障特征提取方法，但它們均不能判斷旋轉(zhuǎn)機(jī)械進(jìn)動(dòng)方向。為獲取轉(zhuǎn)子的進(jìn)動(dòng)方向信息，文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[20]分別將MEMD和全頻譜、全息譜結(jié)合進(jìn)行故障診斷。在二元領(lǐng)域即可判斷進(jìn)動(dòng)方向，多元方法將原始信號(hào)投影到球面，增加了計(jì)算的復(fù)雜性。另外，全頻譜基于正圓半徑振動(dòng)強(qiáng)度評(píng)價(jià)難于準(zhǔn)確表達(dá)振動(dòng)強(qiáng)度，全息譜的圖譜直接用橢圓表示，其分辨率低且難以進(jìn)行能量分析。

試驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的分解方法會(huì)發(fā)生模態(tài)混疊或模態(tài)分裂，既存在兩種情況：①一個(gè)IMF包含不同的頻率信號(hào)；②同一頻率成分的信號(hào)被分解到不同的IMF。對(duì)于情況①，雖有模態(tài)混疊，但同一個(gè)信號(hào)相位、強(qiáng)度信息被完整保留；當(dāng)發(fā)生模態(tài)分裂時(shí)(情況②)信號(hào)的相位和強(qiáng)度信息將被破壞。

基于以上原因，本文提出了全矢BEMD的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障特征提取新方法。將正交方向的振動(dòng)信號(hào)作為一個(gè)整體分解成系列CIMFs(Complex Intrisic Mode Functions)，為防止模態(tài)分裂情況發(fā)生，提出了基于相關(guān)系數(shù)的CIMFs組和方法獲取新的CIMFs，然后運(yùn)用全矢譜技術(shù)融合兩個(gè)方向上振動(dòng)信號(hào)的特征信息，獲取的特征更為全面、清晰，可便捷的判斷進(jìn)動(dòng)方向，并解決了一元信號(hào)分析方法(如EMD、LMD)處理二元信號(hào)容易遇到的尺度不統(tǒng)一問(wèn)題。

1 全矢譜技術(shù)和BEMD原理

1.1 全矢譜技術(shù)

穩(wěn)態(tài)時(shí)各諧波的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓，而在運(yùn)動(dòng)學(xué)上轉(zhuǎn)子的橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡可以看成兩個(gè)頻率相同而進(jìn)動(dòng)方向相反的正圓軌跡分運(yùn)動(dòng)的合成，如圖1所示。全頻譜分別取兩個(gè)圓的半徑，分別按正、負(fù)頻率軸展現(xiàn)出來(lái)，再通過(guò)比較同一諧波下正、負(fù)頻率下的幅度大小，來(lái)判定該橢圓的進(jìn)動(dòng)方向以及定性的振動(dòng)強(qiáng)度。由于全頻譜的圖譜直接用正圓半徑表示，圖譜中難以準(zhǔn)確表達(dá)各諧波下的振動(dòng)強(qiáng)度。

圖1 兩圓合成軸心軌跡圖Fig.1 Schematic diagram of orbit composed by two circular

(1)

式中

xp=xpc+j×xpsxr=xrc+j×xrs

(2)

假定{zn}構(gòu)成的復(fù)序列為

{zn}={xn}+j×{yn}

(3)

對(duì)其做傅里葉變換，可以得到{zn}的離散傅里葉變換{Zk},利用傅里葉變換性質(zhì)和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得：

(4)

式中，k=0,1,2,…,N/2-1,φpk、φrk分別是諧波ωk的正進(jìn)動(dòng)圓和反進(jìn)動(dòng)圓的初始相位角；RLk、RSk分別表示諧波ωk橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸；α表示RLk與x-軸的夾角，稱為主振矢角；φαk是圓盤中心沿橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的相位角。

當(dāng)Xpk>Xrk時(shí)合成后得到的盤心運(yùn)動(dòng)軌跡將與Xpk為半徑的圓的進(jìn)動(dòng)方向一致，稱為正進(jìn)動(dòng)；當(dāng)Xpk

1.2 BEMD原理

BEMD認(rèn)為二元信號(hào)為快速旋轉(zhuǎn)信號(hào)和慢速旋轉(zhuǎn)信號(hào)的疊加，對(duì)復(fù)信號(hào)z(t)，基于BEMD的分解過(guò)程如下[21]

步驟1 將每個(gè)復(fù)數(shù)信號(hào)投影到N個(gè)方向，并將同一時(shí)刻t內(nèi)同一方向所有復(fù)數(shù)信號(hào)的投影值相加，形成N個(gè)隨時(shí)間變化的信號(hào)，第k個(gè)方向的投影值可用公式(5)表示

pφk(t)=Re(e-jφ(k)×z(t)); 1≤k≤N

(5)

其中，φ(k)=2πk/N，N為投影方向的個(gè)數(shù)。

步驟4 計(jì)算所有切線均值

(6)

步驟5 從原始信號(hào)中減去均值信號(hào)獲得

h(t)=z(t)-m(t)

(7)

理想情況下，h(t)滿足復(fù)CIMF條件，認(rèn)為h(t)是第一個(gè)復(fù)旋轉(zhuǎn)分量c1。通常h(t)不滿足，對(duì)h(t)重復(fù)以上過(guò)程，假設(shè)經(jīng)過(guò)L次迭代得到hL(t)滿足CIMF條件，則hL(t)為第一個(gè)復(fù)旋轉(zhuǎn)分量c1。

步驟6 用原始信號(hào)z(t)減去c1得到一個(gè)剩余信號(hào)r(t)

r1(t)=z(t)-c1(t)

(8)

看r1(t)是否是旋轉(zhuǎn)分量，如不是，則對(duì)其重復(fù)以上步驟，直到剩余信號(hào)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)分量為止。

經(jīng)過(guò)BEMD算法分解，一個(gè)復(fù)數(shù)z(t)可用下式表達(dá)

(9)

ci(t)為復(fù)數(shù)形式的旋轉(zhuǎn)分量;M為旋轉(zhuǎn)分量的個(gè)數(shù)，rk為剩余信號(hào)。

2 復(fù)旋轉(zhuǎn)分量的相關(guān)系數(shù)和全矢BEMD

2.1 復(fù)旋轉(zhuǎn)分量的相關(guān)系數(shù)

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)運(yùn)用BEMD分解復(fù)數(shù)信號(hào)時(shí)，同一頻率信號(hào)容易分解到不同的CIMF中。本文定義了復(fù)旋轉(zhuǎn)分量相關(guān)系數(shù)以便將同一成分信號(hào)分解到一個(gè)CIMF。

假設(shè)第i階復(fù)旋轉(zhuǎn)分量

ci(t)=cix(t)+j×ciy(t)

(10)

cix(t)、ciy(t)分別是ci(t)的實(shí)部和虛部。

相關(guān)系數(shù)是用以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，可以表征X和Y之間線性關(guān)系緊密程度的量。當(dāng)相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，X和Y相關(guān)程度較好；當(dāng)相關(guān)系數(shù)較小時(shí)，X和Y相關(guān)程度較差。對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)而言，因不同方向的信號(hào)可能存在差異，因此可定義ci(t)的相關(guān)系數(shù)

ρi,i+1=max{|ρix|,|ρiy|}

(11)

其中

(12)

式中:1≤i≤M-1,ρix為相鄰CIMFs實(shí)部的相關(guān)系數(shù)；ρiy為相鄰CIMFs虛部的相關(guān)系數(shù)；Real為求實(shí)部；Imag為求虛部；Cov為求協(xié)方差；Var為求方差。

當(dāng)同一頻率信號(hào)分解到相鄰的CIMF中，則相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)較大；相關(guān)系數(shù)較小時(shí)，則兩個(gè)相鄰CIMFs不存在頻率相同的信號(hào)。

2.2 全矢BEMD

為防止同一頻率信號(hào)被分解到不同的CIMF中，完整提取相應(yīng)橢圓長(zhǎng)、短軸信息、角度信息和進(jìn)動(dòng)方向，提出了全矢BEMD方法。步驟如下：

步驟1 運(yùn)用BEMD算法將復(fù)數(shù)z(t)分解成系列復(fù)旋轉(zhuǎn)分量ci(t)與一個(gè)剩余函數(shù)之和，如式(9)表示；

步驟2 用式(11)計(jì)算相鄰復(fù)旋轉(zhuǎn)分量的相關(guān)系數(shù)ρi,i+1；

步驟3 設(shè)置一閾值λ，當(dāng)ρi<λ，原旋轉(zhuǎn)分量不變，當(dāng)ρi≥λ時(shí)將相鄰的復(fù)旋轉(zhuǎn)分量相加，得到一個(gè)新的復(fù)旋轉(zhuǎn)分量；

步驟4 重新對(duì)復(fù)旋轉(zhuǎn)分量排序，得到新的復(fù)旋轉(zhuǎn)分量序列，即：

(13)

式中，W為重排后的復(fù)旋轉(zhuǎn)分量的個(gè)數(shù)，W≤M。

步驟5 運(yùn)用式(4)對(duì)重排后的復(fù)旋轉(zhuǎn)分量ci的實(shí)部和虛部進(jìn)行信息融合，得到相應(yīng)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸和角度信息，進(jìn)而判斷進(jìn)動(dòng)方向和提取故障特征信息。

運(yùn)用全矢BEMD可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度的自適應(yīng)地分解，無(wú)需預(yù)設(shè)基函數(shù)，可以考察信號(hào)的局部信息；在全矢BEMD中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)得到的新的復(fù)旋轉(zhuǎn)分量克服了模態(tài)分裂現(xiàn)象，完整地表述了信號(hào)的相位和強(qiáng)度信息。

3 案例分析

3.1 松動(dòng)故障

在北京東方所柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)INV1602上模擬松動(dòng)故障(轉(zhuǎn)速為2 400 r/min，基頻X=40 Hz)；采用正交采樣技術(shù)獲取的水平方向和垂直方向的振動(dòng)信號(hào)分別為x和y(采樣頻率為2 048 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)0.5 s)以及頻譜如圖2所示。從圖2可知，水平方向與垂直方向的振動(dòng)信號(hào)頻譜存在差異，而且高頻信號(hào)和分頻信號(hào)不太清晰。

圖2 柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)模擬的松動(dòng)故障信號(hào)及其頻譜Fig.2 The looseness fault signals and its spectrums

運(yùn)用G.Riling等[22]編寫的EMD程序，條件為默認(rèn)值，分別對(duì)水平和垂直方向的松動(dòng)信號(hào)x和y進(jìn)行分解，分解結(jié)果如圖3所示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)信號(hào)x被分解成10個(gè)IMF分量和一個(gè)剩余信號(hào)，y被分解成9個(gè)IMF分量和一個(gè)剩余信號(hào)，分解得到的IMF分量個(gè)數(shù)不同。而全矢譜根據(jù)式(3)按一一對(duì)應(yīng)原則得到復(fù)數(shù)序列，因此IMF分量個(gè)數(shù)不同將會(huì)給后續(xù)的基于全矢譜的信息融合帶來(lái)難題。

圖3 松動(dòng)信號(hào)基于BEMD的分解結(jié)果Fig.3 The result of looseness signal based on BEMD

將水平和垂直方向的松動(dòng)信號(hào)x、y組成一個(gè)復(fù)數(shù)z，即z=x+j×y。運(yùn)用BEMD(投影方向N=8)分解復(fù)數(shù)信號(hào)，得到5個(gè)CIMFs，如圖4所示。CIMFs的實(shí)部和虛部頻譜如圖5所示。從圖5可知，c1和c2頻率有重疊；c4與c3、c5均有頻率重疊。頻率重疊意味著同一頻率信號(hào)被分解到不同的CIMFs中，此時(shí)用全矢譜獲取的振幅強(qiáng)度和角度信息以及進(jìn)動(dòng)方向不能表示真實(shí)情況。

圖4 松動(dòng)信號(hào)基于EMD的分解結(jié)果Fig.4 The result of looseness signal based on EMD

圖5 前5階復(fù)旋轉(zhuǎn)分量的頻譜Fig.5 The first 5 order spectrum of complex rotational components

前5階CIMFs的復(fù)相關(guān)系數(shù)如表1所示。從表1可知,ρ1，2、ρ3，4和ρ4，5較大，而ρ2，3可較??；設(shè)閾值λ=0.05。對(duì)復(fù)數(shù)z(t)進(jìn)行全矢BEMD分解，則獲得CIMF分量有c11、c22(c11=c1+c2;c22=c3+c4+c5)。松動(dòng)信號(hào)基于全矢BEMD的分析結(jié)果和全頻譜、傅里葉譜的對(duì)比圖如圖6所示。對(duì)比圖6中同一頻率下的長(zhǎng)半軸RL1、RL2和c11、c12實(shí)部(c11x、c22x)與虛部(c11y、c22y)的幅值發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)半軸幅值較大；觀察長(zhǎng)半軸RL1、RL2與相應(yīng)全頻譜可知同一頻率下在長(zhǎng)半軸的幅值遠(yuǎn)大于全頻譜的，如在長(zhǎng)半軸中2.6X、3.6X對(duì)應(yīng)的幅值分別為10.73、11.8，而在全頻譜中分別為5.86、6.62。全頻譜中通過(guò)比較正負(fù)頻率下的幅值判斷某一頻率的合成軌跡的運(yùn)動(dòng)方向，比如2.6X、3.6X對(duì)應(yīng)的幅值分別為5.86、6.62，-2.6X、-3.6X對(duì)應(yīng)的幅值分別為4.86、5.18，可判定2.6X、3.6X合成的軌跡運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎M(jìn)動(dòng)。而在橢圓短半軸中2.6X、3.6X的幅值分別為0.997、1.43，它們均大于零，則它們合成的軌跡運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎M(jìn)動(dòng)，與采用全頻譜的判定結(jié)果一致。分析c11的長(zhǎng)半軸可發(fā)現(xiàn)存在分頻，且兩個(gè)相鄰成分相差X，存在較弱的調(diào)幅現(xiàn)象，有沖擊故障特征，但沒(méi)有二倍頻；觀察c22可知0.45X～0.55X的分頻幅值較大，與基頻的比值在40.4%～50.5%之間，可確定發(fā)生了松動(dòng)故障。另外，全矢BEMD還提供了主振矢的角度信息。

表1 前5階CIMFs的相關(guān)系數(shù)Tab.1 Correlation coefficient of the first 5 order CIMFs

圖6 松動(dòng)信號(hào)基于全矢BEMD的分析結(jié)果Fig.6 The result of loose signals based on full vector BEMD

3.2 碰摩故障

在北京東方所柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)INV1602上模擬碰摩故障(轉(zhuǎn)速、基頻、采樣頻率同上)。水平和垂直方向的信號(hào)x、y及其頻譜如圖7所示。

圖7 柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)模擬的松動(dòng)故障信號(hào)及其頻譜Fig.7 The rub impact signals and its spectrums

從圖7可知，信號(hào)x與y的頻譜強(qiáng)度存在較大差異，為融合二者包含的故障特征信息，運(yùn)用全矢BEMD對(duì)其分析，分析結(jié)果與全頻譜、傅里葉譜的對(duì)比圖如圖8所示。通過(guò)全矢BEMD，得到三個(gè)分量c11、c22和c33及其幅值、運(yùn)轉(zhuǎn)方向和角度信息。圖8中c11是高頻帶信號(hào)，c22是基頻和2倍頻信號(hào)，c33主要是0.5X的低頻信號(hào)。分別與之對(duì)應(yīng)得實(shí)部、虛部和全頻譜比較，發(fā)現(xiàn)同一頻率信號(hào)在長(zhǎng)半軸中的幅值大于其它任何一個(gè)；通過(guò)短半軸判斷的各諧波合成后的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)動(dòng)方向和基于全頻譜的判斷結(jié)果一致。全矢BEMD還可得到各主振矢角。

圖8 碰摩故障信號(hào)基于全矢BEMD的分析結(jié)果Fig.8 The result of rub impact signals based on full vector BEMD

觀察圖8中的RL1、RL2和RL3，可知RL1中存在以(13.55X，10.34)和(21.55X，11.64)為中心的兩個(gè)調(diào)幅信號(hào)，相鄰兩信號(hào)間的頻率差為X；與松動(dòng)信號(hào)的長(zhǎng)半軸相比，調(diào)幅特性更為明顯；RL2中2X的幅值占基頻信號(hào)的28.05%；RL3中0.5X的幅值占基頻信號(hào)的13.25%。

4 結(jié) 論

本文提出了基于全矢BEMD的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障特征提取新方法和復(fù)相關(guān)系數(shù)概念，解決了直接運(yùn)用BEMD分析信號(hào)時(shí)易發(fā)生的模態(tài)分裂難題，同時(shí)也確保了兩個(gè)通道信號(hào)分解尺度的統(tǒng)一。與全頻譜、單個(gè)通道的傅里葉譜相比，信號(hào)在長(zhǎng)半軸中的幅值更大、更清晰。另外，全矢BEMD可以確定合成軌跡進(jìn)動(dòng)方向和主振矢角。

在全矢BEMD算法中，信號(hào)的分解效果、運(yùn)算速度均與信號(hào)投影方向的個(gè)數(shù)N有關(guān)(本文N=8)，N越大分解效果越好，但會(huì)降低運(yùn)算速度，如何確定合適的投影個(gè)數(shù)需進(jìn)一步研究。