□甘肅省金昌市永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 徐有彪

向量是高中數(shù)學(xué)課程的重要教學(xué)內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)解決問題的常用工具。向量最早出現(xiàn)于物理學(xué)中，多用來表示速度、位移、力等，英國(guó)科學(xué)家牛頓首次將向量和有向線段聯(lián)系起來，為向量的數(shù)學(xué)應(yīng)用鋪平了道路。18世紀(jì)末，挪威數(shù)學(xué)家威賽爾通過坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)a＋bi，并借助具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量運(yùn)算，向量正式進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視向量的解題應(yīng)用，以此作為提升學(xué)生解題能力的有效方式。

一、數(shù)列問題中的解題應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，也是考試命題的重要內(nèi)容。高考試卷多以數(shù)列作為壓軸題，且數(shù)列知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生在解題中容易出現(xiàn)誤區(qū)，犯錯(cuò)率較高。雖然平面向量與數(shù)列之間的知識(shí)聯(lián)系較少，但命題者有時(shí)將數(shù)列的性質(zhì)與向量共線的條件結(jié)合起來，這就需要學(xué)生在解題中利用向量的共線定理來解決問題。舉例而言，Sn為數(shù)列{an}的和，現(xiàn)在已知an-an＋1=d（d∈R），其果A、B、C三個(gè)點(diǎn)處在同一條直線上，且不過O（0，0），那么S200等于多少？本道題表面上是數(shù)列求和問題，本質(zhì)上考查的卻是學(xué)生對(duì)向量共線定理的掌握情況。學(xué)生在解答問題中只要意識(shí)到向量定理在本題中的應(yīng)用價(jià)值，接下來的計(jì)算難度將大為下降。根據(jù)向量共線基本定理，學(xué)生可以很快求出數(shù)列首項(xiàng)以及末項(xiàng)的和，然后再借助數(shù)列的求和公式，快速地得出問題答案，簡(jiǎn)單明了，且不易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

二、三角函數(shù)中的解題應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的常見內(nèi)容，三角函數(shù)的解題方法比較多元，最為常見的便是運(yùn)用各種公式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。三角函數(shù)在命題中常滲透平面向量的內(nèi)容，比如平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的共性及垂直的條件，使問題的呈現(xiàn)更具新穎性、綜合性。這就要求學(xué)生在解題中能夠從向量知識(shí)出發(fā)。舉例而不僅考查向量的有關(guān)概念及運(yùn)算，更考查向量與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用，學(xué)生需要借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化

三、平面幾何中的解題應(yīng)用

向量具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，借助向量，不僅可以將枯燥抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^清晰的幾何圖形，也能將幾何問題中的煩瑣求證轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬?duì)簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的目標(biāo)。就以平面幾何解題為例，不少平面幾何問題難以借助常規(guī)的解法求出，此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試著從向量的角度切入，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后再利用向量的基本運(yùn)算求解，降低題目的復(fù)雜性以及解題難度。舉例而言，已知某△ABC，其中AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，CN和BN相交于點(diǎn)E，若AB=m，AC=n，且∠BAC=60°，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)度。本題涉及的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較多，傳統(tǒng)的解題方法不僅煩瑣，而且極易出錯(cuò)，教師可以借助向量來幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思路，從而提高解題效率。比如先fffffd問題便迎刃而解。

四、立體幾何中的解題應(yīng)用

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)難度比較大的內(nèi)容。相比于平面幾何、解析幾何而言，立體結(jié)合對(duì)學(xué)生的空間思維能力有著更高的要求，學(xué)生在解題中，比如證明題中，經(jīng)常容易出錯(cuò)。立體幾何解題的常規(guī)思路為問題轉(zhuǎn)化，即將立體幾何的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為更為熟悉的平面幾何內(nèi)容，然后再借助平面幾何的知識(shí)來解決立體幾何的問題。事實(shí)上，學(xué)生在解題中大都遵循此一思路。但在實(shí)際的解題中，部分問題即便轉(zhuǎn)化后仍然比較復(fù)雜，此時(shí)，向量成為突破解題窠臼的有效方法。舉例而言，某平行六面體ABCD-A′B′C′D′的 地 面 為 菱 形ABCD，且 ∠C′CB=∠C′CD=∠BCD=60°，求證C′C與BD垂直。傳統(tǒng)的證明方式較為煩瑣，需要借助線面垂直來推導(dǎo)線線垂直，而利用向量知識(shí)可以簡(jiǎn)化問題，比如然后利用向量的基本法則可以很快推導(dǎo)

五、結(jié)語

向量作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)生數(shù)學(xué)解題的利器。高中數(shù)學(xué)中的向量兼有代數(shù)形式和幾何形式雙重特征，學(xué)生利用其代數(shù)形式來解決幾何問題，不僅可以提高學(xué)生的解題效率，在幫助學(xué)生串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中也有很好的效果。