程和祥，楊迎瑩

（西南政法大學(xué) 行政法學(xué)院＆監(jiān)察法學(xué)院，重慶 401120）

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。第一個有明確文獻(xiàn)記載的概率論研究者是意大利的卡爾達(dá)諾，他在研究賭博中擲骰子的各種可能情況時提出了概率問題。到了18、19世紀(jì)，隨著自然科學(xué)的發(fā)展，學(xué)者們注意到某些自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象類似于機(jī)會游戲，從而概率論也被嘗試應(yīng)用到自然科學(xué)和社會科學(xué)中。概率論真正成為一門學(xué)科，歸功于瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利，正是他建立了概率論中的第一個極限定理，概率論才正式成為數(shù)學(xué)的一個分支學(xué)科。隨后棣莫弗和拉普拉斯又導(dǎo)出了第二個基本極限定理的原始形式，概率論也由此迎來了新的發(fā)展階段。19世紀(jì)末，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式。20世紀(jì)初，受物理學(xué)的影響，柯爾莫哥洛夫、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費勒等人開始研究隨機(jī)過程，取得了一些成果。盡管如此，關(guān)于概率的定義，學(xué)者們?nèi)员娬f紛紜。梳理歷史上不同學(xué)派的觀點，可以得到五種概率定義［1］，它們大致可以分為兩大類：面向人的認(rèn)知能力的認(rèn)識論解釋和適用于自然科學(xué)或數(shù)理科學(xué)的客觀解釋。認(rèn)識論的概率解釋適用于研究人際互動的社會科學(xué)，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、法學(xué)和社會學(xué)等——這些學(xué)科刻畫了人的認(rèn)知能力差異；客觀的概率解釋適用于自然科學(xué)，如物理、化學(xué)和生物學(xué)等——這些學(xué)科研究自然界的客觀規(guī)律。實際上，在實踐中運用概率時，我們還需要根據(jù)具體情況總結(jié)一些經(jīng)驗法則，如概率均等原理、偏態(tài)原理和慣性原理。本文將利用2008年中國福利彩票開獎數(shù)據(jù)，說明這些原理的具體應(yīng)用。當(dāng)然，即使如此，我們也還是無法得出必然性的開獎結(jié)果；因此，在實際的博彩游戲中，投注仍需講究策略。

一、 概率的五種解釋

（一）概率的古典解釋

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出了概率的古典定義，即不進(jìn)行任何統(tǒng)計試驗，僅僅根據(jù)演繹法就可事前計算隨機(jī)事件中各種可能發(fā)生的結(jié)果及其出現(xiàn)的次數(shù)。在古典概率的定義中，有一個假設(shè)，即隨機(jī)事件中各種可能的情況是有限互斥的，并且每個基本事件發(fā)生的可能性相等。這個假設(shè)其實是值得懷疑的：基本事件的概率真的具有精確的相同的概率值？通俗地說，硬幣真的是完美的嗎？骰子制造的是均勻的嗎？骰子的重心一定位于正中心？輪盤真的不具有傾向性（不會傾向于某一個數(shù)字）？對于這種質(zhì)疑，古典的概率論者提出了“不充分理由原則”：如果沒有直接的證據(jù)來證明A事件的概率大于B事件的概率，那么可以假定A、B兩事件的概率等值。這個辯護(hù)同樣適用于輪盤賭游戲中的輪盤，也適用于一切賭博游戲中的“賭具”，如撲克牌。顯然，“不充分理由原則”確實是不充分的，在實踐中應(yīng)用范圍大大受限。

（二）概率的邏輯解釋

20世紀(jì)20年代，英國著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯出版了《論概率》（1921）一書，對帕斯卡概率做了邏輯解釋，建立了第一個概率邏輯系統(tǒng)，后來卡爾納普等人繼續(xù)發(fā)展了這一理論。該理論假定，對于相同的證據(jù)，所有理智正常的成年人都會對某一假說持有相同的置信度。凱恩斯認(rèn)為：如果h以α的程度部分地衍推a，那么給定h，以α的程度相信a是合理的。因此，概率關(guān)系可以刻畫合理信念的程度。

在概率的邏輯解釋中，凱恩斯與卡爾納普都采用了無差別原則。由于無差別原則是基于“不充分”理由之上的，因而不可避免地會導(dǎo)致荒謬的結(jié)論［2-5］，如酒 - 水悖論［6］和伯特蘭悖論［7-8］，為了克服這些悖論，概率的主觀解釋應(yīng)運而生。

（三）概率的主觀解釋

拉姆齊和德·芬內(nèi)蒂大約在同一時期（20世紀(jì)20年代中期）獨立地發(fā)現(xiàn)了概率的主觀理論，即將概率解釋為主觀置信度。薩維奇在《統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)》（1954年）中拓展了這個思想。概率的主觀解釋通常又稱為貝葉斯概率解釋，但有些貝葉斯主義者宣稱他們的概率解釋不僅僅是主觀的，不具有客觀性，如耶納斯、杰方斯以及伯格。

概率的主觀主義者認(rèn)為，不同的正常成年個體，盡管都被假定為是理性的，但由于他們的天賦不同以及后天受教育的狀況、生活環(huán)境和個人運氣等因素的影響，他們對浩瀚的宇宙、對復(fù)雜社會的認(rèn)知能力和認(rèn)知水平并不相同。即使給定同樣的證據(jù)e，小張和小王對假說h也會有不同的信念度。因而，概率被定義為特定個體的信念度。這不可避免使得初始概率或先驗概率具有主觀任意性。拉姆齊也承認(rèn)這種主觀任意性，在他看來，先驗概率或初始概率只需要滿足概率公理即可，而這顯然與現(xiàn)實不符合。因為在現(xiàn)實生活中，專家與業(yè)余人員的意見和判斷顯然具有不同的概率。因此，先驗概率的隨意性遭受了許多的批評。面對批評，德·芬內(nèi)蒂提出了著名的“意見收斂定理”，為證明意見收斂定理，他又提出了“事件的可換性”，而事件的可換性并不具有說服力，使得德·芬內(nèi)蒂的觀點歸于失敗。另外，主觀主義者在用打賭測量個體信念度時，只討論了兩個主體。然而實際上，目前地球上有70多億人，僅中國就有13億～14億。對于無窮多個主體，主觀主義者提出了主體交互解釋。

（四）概率的頻率解釋

19世紀(jì)中期，劍橋?qū)W派的埃利斯和約翰·文恩提出了概率的頻率解釋。隨后，頻率解釋被漢斯·萊欣巴赫和馮·米塞斯進(jìn)一步發(fā)展。萊欣巴赫和馮·米塞斯根據(jù)極限頻率來定義概率：在事件的無窮序列中，某一事件或某一屬性出現(xiàn)的相對頻率的極限。概率的頻率定義，非常適合自然科學(xué)領(lǐng)域，因而在自然科學(xué)領(lǐng)域中被當(dāng)作重要的認(rèn)知工具。但事實上，人的壽命是有限的，人們不能觀察到所有事物的極限頻率，有些事物的極限頻率，人們是無法在有生之年觀察到的，人們只能觀察到無窮序列中的某一段。另外，單稱事件的概率和極限頻率的經(jīng)驗確證問題也是頻率解釋的概率陳述無法解釋的。因此，波普爾提出了新的概率解釋理論。

（五）概率的傾向解釋

1957 年，波普爾發(fā)表論文《概率演算與量子論的傾向解釋》。在這篇論文中，他提出了概率的傾向解釋。隨后，他在《科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯》（1959）、《猜想與反駁：科學(xué)知識的增長》（1963）和《客觀知識：一個進(jìn)化論的研究》（1972）以及《開放的宇宙》（1982）等一系列著作中，對這一理論進(jìn)行了詳細(xì)的闡釋和發(fā)展。傾向解釋認(rèn)為，概率在某些解釋中是一種物理的傾向，這一點與頻率的概念是完全不同的。根據(jù)波普爾的傾向解釋，當(dāng)相關(guān)條件僅僅被重復(fù)幾次時，我們可以假定概率存在。因而，相較概率的頻率解釋，波普爾的傾向解釋對概率論應(yīng)用的情形提供了一種在具體的科學(xué)實踐中可以接受的理論。雖然后期波普爾的單個事例傾向解釋面臨檢驗的困難，但吉利斯的長趨勢傾向解釋能夠很好地克服這一困境。

二、 多元主義的概率觀：從主觀到客觀的譜系

總的說來，根據(jù)概率解釋的多元論觀點，不同的解釋適合不同的領(lǐng)域，對應(yīng)于不同的學(xué)科。古典解釋是適用于機(jī)會游戲的，如拋硬幣和擲骰子，但對于概率的所有現(xiàn)代應(yīng)用都不適合；邏輯解釋因為無差別原則而面臨一些困境；概率的主觀解釋和主體間解釋在社會科學(xué)領(lǐng)域是有效的，但顯然不適合具有客觀性的自然科學(xué)——主觀解釋本身就是用來刻畫人的認(rèn)知差異的，并不描述宇宙的客觀性；頻率解釋適用于經(jīng)典數(shù)學(xué)；概率的傾向解釋比頻率理論能更好地說明自然科學(xué)中的概念創(chuàng)新。因此，五種概率解釋中，較具有可行性的是主觀解釋與傾向解釋。盡管主體交互解釋與主觀解釋一樣都具有一定的局限性，但考慮到現(xiàn)實生活中千千萬萬個體的認(rèn)知能力千差萬別，因而它們在社會科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。目前，人們將概率的主觀解釋和貝葉斯定理結(jié)合起來，對不確定的信息進(jìn)行推理，這種概率推理系統(tǒng)中最著名的當(dāng)屬朱迪·佩爾于1988年提出的貝葉斯概率網(wǎng)絡(luò)模型；除此之外，英國南安普頓大學(xué)的蘇基·芬恩基于貝葉斯概率推理給出了愛情方程式Cr updated（p）=Cr initial（p|e）。在當(dāng)前可利用的客觀解釋之中，傾向解釋已經(jīng)替代了頻率解釋。由于在自然科學(xué)中要找到一系列獨立的可重復(fù)條件是有可能的，因而客觀解釋在自然科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如當(dāng)前最熱門的大數(shù)據(jù)推理。

回顧概率論幾百年的發(fā)展歷史，從16世紀(jì)的古典概率到20世紀(jì)概率的傾向解釋，人們對概率的認(rèn)識構(gòu)成一個從古典到主觀、從主觀到客觀的解釋譜系。古典階段，人們對隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的認(rèn)識停留在抽象的可能階段；邏輯階段，概率學(xué)者基于正常成年人的理性來定義概率；主觀階段，概率學(xué)者從現(xiàn)實生活中人的理性認(rèn)知能力千差萬別出發(fā)，來討論一個個具體的概率；客觀階段，人類的思維對象開始向大自然擴(kuò)展。這樣一個從古典到主觀，從主觀到客觀的認(rèn)識過程，反映了人類對隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的認(rèn)識不斷加深，不斷清晰的過程。

三、 實踐中的“概率”——以“機(jī)會游戲”為例

當(dāng)我們討論概率解釋的譜系的時候，也提及了每種概率的具體應(yīng)用領(lǐng)域。但事實上，在實際應(yīng)用中，上述說明是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。如20世紀(jì)80年代美國電視游戲節(jié)目“Let’s Make a Deal”的主持人提出的三門問題，即蒙提·霍爾悖論［9］，并不是用我們上述的概率論知識就能輕易解決的。另外，古典概率當(dāng)然適用于機(jī)會游戲，但顯然難以找到一種機(jī)會游戲完全符合古典概率。拋擲錢幣、骰子和輪盤賭這些當(dāng)然都屬于機(jī)會游戲。在這些機(jī)會游戲中，投注的技巧和策略是不可缺少的：一是資金要合理分配，不要孤注一擲；二是要定一個“止損點”，到點主動出局。但除此之外，這些機(jī)會性游戲又涉及另一個重要概念，即隨機(jī)數(shù)——也就是數(shù)字和數(shù)字之間毫無關(guān)系。真正的隨機(jī)數(shù)是使用物理性隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的，而物理性隨機(jī)數(shù)發(fā)生器技術(shù)要求比較高。在實際的生產(chǎn)和日常生活中，大多數(shù)場合僅僅使用偽隨機(jī)數(shù)就能滿足需要。這種偽隨機(jī)數(shù)不是完全隨機(jī)的數(shù)列，而是表現(xiàn)出一定的周期性，但是在統(tǒng)計特征上類似于隨機(jī)數(shù)。偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生相對簡單，通常通過計算機(jī)或計算器產(chǎn)生。我們?nèi)粘Ｉ钪械臄?shù)字型彩票，它的中獎號碼就是隨機(jī)數(shù)字生成器產(chǎn)生的［10］。即使不考慮人為（操縱）因素，由于受到各種條件的限制，比如機(jī)器的機(jī)械性能、機(jī)電配合等因素的影響，電腦彩票產(chǎn)生的中獎號碼其實是一種偽隨機(jī)數(shù)——盡管它的隨機(jī)性很強(qiáng)。一方面，由于隨機(jī)性強(qiáng)，因而試圖采用某種算法準(zhǔn)確算出每一期的中獎號碼是不可能的；另一方面，由于是偽隨機(jī)數(shù)，那么中獎號碼不可避免就會表現(xiàn)出一些特征或規(guī)律，利用這些規(guī)律將中獎號碼壓縮到一個很小的范圍，再采取適當(dāng)?shù)耐蹲⒉呗?，確保盈利是完全可能的。當(dāng)前的博彩業(yè)已經(jīng)是高科技行業(yè)，每一個賭場都擁有較多數(shù)學(xué)工程師和計算機(jī)程序員?，F(xiàn)代搖獎機(jī)程序的設(shè)計，匯集了一系列數(shù)學(xué)大師的智慧——高斯的概率論、泰勒的級數(shù)論和著名的凱利公式都有應(yīng)用。但是在長期的彩票游戲中，人們根據(jù)實際經(jīng)驗，總結(jié)出了如下三個實用的結(jié)論：

第一，概率均等原理。這里的概率可以理解為頻率（在事件的無窮序列中，某一事件或某一屬性出現(xiàn)的相對頻率的極限），是一種大的整體的趨勢與規(guī)律；幾率，是指在已經(jīng)發(fā)生的隨機(jī)事件中，某一種隨機(jī)事件所占的比例，是較少數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，表明階段性的趨勢和規(guī)律。以前由于技術(shù)所限，人們難以獲得開獎的歷史數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在，由于計算機(jī)技術(shù)和移動互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，人們獲得這些數(shù)據(jù)并不特別困難，甚至輕而易舉。

第二，偏態(tài)原理。所謂偏態(tài)，指的是某個指標(biāo)未開出的期數(shù)與開出期數(shù)的百分比。彩票搖獎的開獎號碼在長期趨勢中表現(xiàn)出來的是隨機(jī)性，就有限期次來說，在不考慮人為因素的情況下，開獎數(shù)據(jù)表現(xiàn)的恰恰是一種偽隨機(jī)性。由于搖獎機(jī)的構(gòu)造、彩球的制作等人們無法確知的因素，使各個備選獎球被搖出的概率在一定時期內(nèi)表現(xiàn)的并不完全均等，在某個相對短暫的時期內(nèi)恰恰表現(xiàn)出一種或明或隱的偏態(tài)。不管是福利彩票（3D、新3D和雙色球以及刮刮樂等），還是體育彩票（排列3、排列5和超級大樂透以及七星彩），我們都能發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象。下文將有實例，此處暫且不表。

第三，慣性原理。由于備選獎球在質(zhì)量、 形狀方面的差異以及彩票搖獎機(jī)的固有特性，使某些獎球在短期內(nèi)中出現(xiàn)的次數(shù)多于其他的獎球，從而出現(xiàn)“強(qiáng)者恒強(qiáng)”的情況。

這三大原理是彩民在實際的博彩游戲中，根據(jù)經(jīng)驗做出的總結(jié)，有極強(qiáng)的實用性。當(dāng)然，在具體的應(yīng)用過程中，對三大原理都可作適當(dāng)修正和延伸。例如，彩民們在中國福利彩票和中國體育彩票中針對數(shù)字型和樂透型彩票使用的遺漏分析技術(shù)，就是基于概率均等原理和偏態(tài)原理。慣性原理本意是指某些獎球在短期內(nèi)中出現(xiàn)的次數(shù)多于其他的獎球，而在博彩實踐中，有時候我們需要考慮的不僅僅是一個個獎球，而是獎球和獎球構(gòu)成的號碼組合，考察號碼組合之間的依賴關(guān)系，最經(jīng)典的莫過于2008年的案例。在2008年年初，中國福利彩票3D的開獎數(shù)據(jù)有一些值得研究的現(xiàn)象［11-12］。例如，2008007 期、2008008 期、2008036 期、2008037期、2008043期、2008044期共6期，開獎數(shù)據(jù)用表1展示如下：

從表1可以看出，號碼組合320和號碼組合149之間表現(xiàn)出很強(qiáng)的依賴性，且奇跡般地在短時間之內(nèi)（45天之內(nèi)）出現(xiàn)三次。

根據(jù)概率的古典定義，2008年2月20日開獎號碼為149的概率是1/1000；根據(jù)概率的頻率解釋，開獎號碼為149的概率依舊很低；而如果我們采用傾向解釋，根據(jù)上一期的開獎號碼320，可以得出下一次開獎號碼傾向于149。通過福彩中心的數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)2008年2月20日，不少職業(yè)彩民抓住了這次機(jī)遇，這一點可以從中獎注數(shù)79291注看出來——當(dāng)期中獎注數(shù)明顯偏高，返獎比例高達(dá)200.18%。出現(xiàn)這種情況的原因，有可能是搖獎機(jī)的程序陷入某種死循環(huán)，在一系列“天時地利人和”的綜合作用下，出現(xiàn)這種巧合。因此，這種情況屬于小概率事件，不是必然規(guī)律。因此，不能把這種現(xiàn)象當(dāng)作長期的投注依據(jù)，更不能“孤注一擲”。事實上，在整個2008年的359期中，除了剛才討論的6期，320和149之間再也沒有這樣相鄰出現(xiàn)過。而其他號碼組合，也僅僅發(fā)生過一例：064與028。具體情況，如表2所示：

表1 2008年1—2月中國福利彩票部分開獎狀況

從表2可見，064與028之間的依賴性顯然不如320與149，因而看出這種特征的人并不多，中獎注數(shù)能很好地說明這一點。

號碼組合之間的依賴性只是我們的一種分析方法，在實際的3D博彩游戲中，職業(yè)彩民還會從多個角度分析開獎號碼的屬性，如開獎號碼的和值、和尾、跨度、大小、奇偶以及質(zhì)合等屬性。有的彩民還會從試機(jī)號入手，也有的彩民采用012路分析方法。總之，在彩票游戲當(dāng)中，中獎號碼的產(chǎn)生是偽隨機(jī)的，時間一長，這些中獎號碼就會形成某種可以預(yù)測的模式。因此，在“數(shù)字型”彩票游戲當(dāng)中，我們可以對歷年的中獎號碼進(jìn)行分析，從而預(yù)測未來趨勢，以便正確地估計最有可能在下次開獎中出現(xiàn)的號碼。將這種思路貫穿于雙色球游戲之中，我們可以得到如下結(jié)論：（1）不要選擇過去的中獎號碼；（2）不要選擇6個連續(xù)的數(shù)字；（3）不要選擇屬于同一個數(shù)字區(qū)間的數(shù)字；（4）不要選擇01-02-03-04-05-06-07型號碼組合；（5）不要選擇模式化的號碼；（6）不要選擇倍數(shù)型號碼；（7）運用智慧和技巧投注，而不是讓機(jī)器來選擇。一句話，我們應(yīng)該跳出概率解釋的框架，從模式的角度來理解。除了這些技術(shù)分析外，在真實的博彩游戲中，彩民還需要考慮賠率問題，需要考慮投注的策略。還是以福彩3D為例，它的投注方式就有十三種：“單選”“組選”“1D”“2D”“通選”“和數(shù)”“包選”“猜大小”“猜1D”“猜2D”“猜三同”“拖拉機(jī)”“猜奇偶”等。因而，彩民，尤其是職業(yè)彩民，需要根據(jù)自己的經(jīng)驗和博彩技術(shù)，選擇相應(yīng)的投注方式，在確保不輸?shù)那闆r下，贏取盡可能多的利潤。尤其是時時彩這種高頻彩票，策略選擇得當(dāng)，并且技巧高超，有可能在短期內(nèi)賺取豐厚的利潤。概率起源于賭博，因而在人類的一切賭博活動中皆有滲透。例如，在21點和橋牌游戲中，皆有概率論的應(yīng)用。和博彩業(yè)相比，這些活動表現(xiàn)為人與人之間的競技，因而“概率”也處于不斷的運動變化和調(diào)整之中。

表2 2008年5—8月中國福利彩票部分開獎狀況

所有的賭場游戲，從數(shù)學(xué)上講，一開始就是對賭徒不公平的游戲。根據(jù)大數(shù)定律，賭徒下注賭博的次數(shù)越多，輸?shù)母怕试酱?，破產(chǎn)的概率也越高。因此，進(jìn)入賭場之前，掌握一定程度的概率知識是十分必要的［13］。因為你不僅僅是在和機(jī)器較量，你同時也在和數(shù)學(xué)家對決——這是一場智力游戲。當(dāng)然，在中國博彩，你還需要了解中國的國情。正因為這種機(jī)會游戲本身的不公平以及中國國情的復(fù)雜性，越是發(fā)達(dá)地區(qū)，越是受教育程度高的人群，寄希望于運氣的人越少。