王仲鋒,劉 凱,初鳳婷

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院 勘查與測(cè)繪工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130021;2.中水東北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司,吉林 長(zhǎng)春 130021)

目前，測(cè)量上用于地面點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型主要有平面四參數(shù)模型、布爾沙(Bursa)模型、三維七參數(shù)模型、二維七參數(shù)模型和多元回歸模型等[1-2]。平面四參數(shù)模型是一種平面相似變換模型，當(dāng)重合點(diǎn)所在坐標(biāo)系的橢球長(zhǎng)半軸和扁率差異不大、轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的區(qū)域不大且不存在跨帶問題時(shí)使用。

Bursa模型也是一種相似變換模型，需要知道重合點(diǎn)在源坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系中的大地高。但是目前使用的1954年北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系和2000國(guó)家大地坐標(biāo)系中，只有2000國(guó)家大地坐標(biāo)系中的點(diǎn)可以精確獲得大地高。王解先研究認(rèn)為，對(duì)于地面上100 km×100 km的范圍，即使公共點(diǎn)中地方坐標(biāo)的高程存在誤差，在求得轉(zhuǎn)換參數(shù)后，轉(zhuǎn)換出來的點(diǎn)平面坐標(biāo)仍基本不變，當(dāng)多個(gè)公共點(diǎn)地方坐標(biāo)高程有誤差時(shí)，該結(jié)論仍然成立[3]。張銳研究認(rèn)為：在應(yīng)用“大地高不確定性主要表現(xiàn)在對(duì)高程的影響，而對(duì)平面坐標(biāo)影響較小”這一結(jié)論時(shí)還是有一定的局限性[4]。張勤和王利研究認(rèn)為，高程異常誤差對(duì)坐標(biāo)的影響隨經(jīng)度減小而增大；區(qū)域平均高程面的高度對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度隨高度增大而降低[5]。針對(duì)三維空間和高程未知的二維空間之間的七參數(shù)的求解問題，謝鳴宇、姚宜斌提出高程趨近法[6],甄佳寧、吳瓊、康靖玉、楊國(guó)東提出基于曲面逼近的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法[7]。

高程趨近法和曲面逼近法的思路基本相似，前者取公共點(diǎn)源坐標(biāo)的大地高初值與目標(biāo)坐標(biāo)的初值一致，后者取源坐標(biāo)與目標(biāo)坐標(biāo)的大地高初值均為0。高程趨近法和曲面逼近法均認(rèn)為通過迭代可求解高精度參數(shù)，但在多次迭代后發(fā)現(xiàn)，每次迭代后所求參數(shù)并無明顯變化。劉根友、朱耀仲、朱才連為解決三維空間和大地高未知(但高程已知)的二維空間之間的七參數(shù)的求解問題，提出用高程加高程異常代替大地高，帶入Bursa模型，將高程異常作為未知參數(shù)和七參數(shù)一并求解的方法[8]。該方法忽略將高程異常作為未知參數(shù)和七參數(shù)一并求解帶來的另一個(gè)問題，即病態(tài)方程問題，使得解算結(jié)果極不穩(wěn)定、極不可靠，有時(shí)可能無解。

二維七參數(shù)模型是在大地微分公式(三維七參數(shù)模型)基礎(chǔ)上，舍棄其中的大地高和大地高微分式而得來的一種用于不同坐標(biāo)系下經(jīng)緯度之間轉(zhuǎn)換的模型[1-2]。該理論極其不嚴(yán)密，存在用較大的增量代替微分的問題(相關(guān)研究成果將專文發(fā)表)。在實(shí)踐上，該公式也較為復(fù)雜，誤差方程呈病態(tài)現(xiàn)象也很嚴(yán)重。

多元回歸模型分為以平面坐標(biāo)為變量的多元回歸模型和以經(jīng)緯度為變量的多元回歸模型，前者適用于小區(qū)域不跨帶的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，后者適用于省級(jí)及全國(guó)區(qū)域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。從實(shí)踐來看，多元回歸坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型是高精度的轉(zhuǎn)換模型，但并未較好地被接受。

本研究將通過推導(dǎo)，證明不同坐標(biāo)系下的同名橢球點(diǎn)之三維空間直角坐標(biāo)之間，利用“布爾沙”模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并敘述轉(zhuǎn)換的方法步驟及應(yīng)用實(shí)例。

1 轉(zhuǎn)換原理

由地面點(diǎn)的經(jīng)度L、緯度B和大地高H可算得該點(diǎn)在三維空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)X，Y，Z，即:

(1)

當(dāng)H=0時(shí)，即為地面點(diǎn)沿著橢球法線方向在橢球面上的投影點(diǎn)(簡(jiǎn)稱橢球點(diǎn))的空間直角坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱橢球點(diǎn)空間直角坐標(biāo)，記為標(biāo)X0，Y0，Z0，即有：

(2)

其中：

(3)

e2=(a2-b2)/a2.

(4)

根據(jù)空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的“布爾沙”模型，點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系“1”中的空間直角坐標(biāo)通過3個(gè)平移參數(shù)ΔX0，ΔY0，ΔZ0，3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)ωX，ωY，ωZ和1個(gè)尺度比參數(shù)m可轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)系“2”中的空間直角坐標(biāo)，即有：

(5)

或：

(6)

利用n個(gè)公共點(diǎn)的三維空間直角坐標(biāo)公式(6)，列出3n個(gè)誤差方程，即可利用最小二乘法解出7個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。但是，當(dāng)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系“1”和“2”中的大地高均未知時(shí)，通常認(rèn)為“布爾沙”模型不再適用，因此有學(xué)者推導(dǎo)出了所謂“二維七參數(shù)模型”，用于同名點(diǎn)不同坐標(biāo)系之間經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換。其中，“二維七參數(shù)模型”在理論上是不嚴(yán)密的，一是存在用較大的增量代替微分的問題，二是存在舍棄大地高的問題。

以下討論當(dāng)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系“1”和“2”中的大地高均未知時(shí)如何利用“布爾沙”模型求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，實(shí)現(xiàn)同名點(diǎn)在不同坐標(biāo)系之間經(jīng)緯度的轉(zhuǎn)換問題。在以下的推導(dǎo)中，假定同名點(diǎn)在“1”和“2”坐標(biāo)系中的經(jīng)度和緯度差極小(實(shí)際上均在10秒以下)。

由式(1)，(2)知：

(7)

記：

(8)

或

(9)

則：

(ΔX12)2+(ΔY12)2+(ΔZ12)2=(H2cosB2cosL2-H1cosB1cosL1)2+

(H2cosB2sinL2-H1cosB1sinL1)2+(H2sinB2-H1sinB1)2=

而：

(cosB2cosL2cosB1cosL1+cosB2sinL2cosB1sinL1+sinB2sinB1)=

cosB2cosB1(cosL2cosL1+sinL2sinL1)+sinB2sinB1=

cosB2cosB1cos(L2-L1)+sinB2sinB1≈cosB2cosB1+sinB2sinB1=

cos(B2-B1)≈1.

故有：

(ΔX12)2+(ΔY12)2+(ΔZ12)2=(H2-H1)2.

(10)

取H1=H2=0時(shí)，式(6)可改寫為：

(11)

顯然，利用n個(gè)公共點(diǎn)在“1”、“2”空間直角坐標(biāo)系中于橢球面上的投影點(diǎn)的三維空間直角坐標(biāo)和式(11)，列出3n個(gè)方程，如果不考慮觀測(cè)誤差的話，利用最小原理求解的7個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)為滿足[ΔXΔX+ΔYΔY+ΔZΔZ]=min=0的解。實(shí)際上，由于H1=H2=0時(shí)已經(jīng)使得ΔX12=ΔY12=ΔZ12=0，故利用最小二乘原理求解的7個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)實(shí)際上就是滿足誤差平方和等于最小的解。

由此可見，同名點(diǎn)在不同空間直角坐標(biāo)系下沿法線方向投影到橢球面上的點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，同樣可使用“布爾沙”模型。

當(dāng)H1=H2≠0時(shí)，如果不考慮觀測(cè)誤差的話，利用最小二乘原理求解的7個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)為滿足[ΔXΔX+ΔYΔY+ΔZΔZ]≈0的解。

由式(2)知，橢球點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)，求出點(diǎn)的經(jīng)度和緯度，即：

(12)

因此，同名點(diǎn)在不同空間直角坐標(biāo)系下，沿法線方向投影到橢球面上的點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)際上也是同名點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的經(jīng)緯度之間的轉(zhuǎn)換。

2 轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算步驟

1)選取n個(gè)公共點(diǎn)，要求點(diǎn)位均勻分布地覆蓋測(cè)區(qū)，且點(diǎn)數(shù)不少于6個(gè)；

2)計(jì)算公共點(diǎn)在“1”，“2”空間直角坐標(biāo)系中的橢球點(diǎn)坐標(biāo)，即：

(i=1,2,…,n).

3)列誤差方程：

(12)

(13)

解式(13)，便可得要解算的7個(gè)參數(shù)。

(14)

3 算 例

如圖1所示，香港地區(qū)74個(gè)點(diǎn)(覆蓋面積月1 000 km2)，其在HK80坐標(biāo)系和WGS84坐標(biāo)系下的橢球點(diǎn)三維空間直角坐標(biāo)見表1(根據(jù)香港地政署測(cè)繪處網(wǎng)站下載資料計(jì)算與整理)，試求HK80坐標(biāo)系下的橢球點(diǎn)三維空間直角坐標(biāo)向和WGS84坐標(biāo)系下的橢球點(diǎn)三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的7個(gè)參數(shù)。

圖1 香港地區(qū)74個(gè)控制點(diǎn)分布示意圖

表1 香港地區(qū)74個(gè)控制點(diǎn)的橢球點(diǎn)之三維空間直角坐標(biāo)(節(jié)選)

解：為了證明本文所述方法的可行性，取表中63-74號(hào)點(diǎn)作為建模點(diǎn)(如圖1中“口”形符號(hào)所示)，1-62號(hào)點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)(如圖1中“◇”形符號(hào)所示)。

1)解算結(jié)果。利用中心化坐標(biāo)求解，得3個(gè)平移參數(shù)-157.095 6 m、-267.509 8 m和-187.720 0 m；3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)分別為2.863 667 s、7.079 517 s、-6.658 663 s；尺度比為-0.604 489 ppm。

2)內(nèi)符合精度。反應(yīng)建模內(nèi)符合精度的點(diǎn)位殘差見圖2。其中空間點(diǎn)位差最小者為70號(hào)點(diǎn)，差值為0.10 cm，最大者為64號(hào)點(diǎn)，差值為0.64 cm，平均為0.38 cm。

圖2 內(nèi)符合檢驗(yàn)空間點(diǎn)位差散點(diǎn)

3)外符合精度。利用61個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行外符合檢驗(yàn)，相應(yīng)的空間點(diǎn)位差分布情況見圖3。其中空間點(diǎn)位差最小者為49號(hào)點(diǎn)，差值為0.07 cm，最大者為53號(hào)點(diǎn)，差值為1.26 cm，平均為0.46 cm。

圖3 外符合檢驗(yàn)空間點(diǎn)位差散點(diǎn)

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)不同坐標(biāo)系下同名橢球點(diǎn)的三維坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)換的原理，敘述轉(zhuǎn)換的步驟和方法，并用實(shí)例驗(yàn)證了其可行性。通過研究分析可得如下結(jié)論：

1)用“布爾沙”模型進(jìn)行橢球點(diǎn)的三維坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換理論嚴(yán)密、方法可行，適用于任何大小的區(qū)域，可代替“二維七參數(shù)模型”通過橢球點(diǎn)的三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來間接實(shí)現(xiàn)不同坐標(biāo)系下地面點(diǎn)的經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換；

2)取同名點(diǎn)在“1”、“2”坐標(biāo)系下的大地高H1=H2時(shí)(如H1代表北京54或西安80坐標(biāo)系下的大地高(通常為未知值)，H2代表CGCS2000坐標(biāo)系下的大地高(為已知值)，可取H54 or 80=H2 000)，其三維空間直角坐標(biāo)也可用“布爾沙”模型進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，但如此轉(zhuǎn)換帶有一點(diǎn)“近似”的性質(zhì)。