相對失控翻滾目標(biāo)懸停的自適應(yīng)模糊滑?？刂?/h1>
2019-05-24 09:43:28劉將輝李海陽張政李曉超
航空學(xué)報(bào) 2019年5期
劉將輝，李海陽，張政，李曉超
國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073
在軌航天器價(jià)值大、造價(jià)高，當(dāng)其在空間中發(fā)生失效時(shí)，如果能對其進(jìn)行在軌修復(fù)、部件更換和燃料加注，則可以大幅降低任務(wù)成本，因此受到了研究人員的極大關(guān)注[1-7]。相對懸停，通常表示一個(gè)航天器在另一個(gè)航天器的體坐標(biāo)系中具有不變的位置和不變的姿態(tài)。實(shí)現(xiàn)相對懸停，可以對目標(biāo)航天器實(shí)施空間監(jiān)視或檢查[8]。
歷史上，相關(guān)研究主要集中在相對小行星的懸停。1999年，Scheeres首次提出了航天器相對小行星懸停軌道的概念[9]。一般而言，圍繞小行星懸停的方式主要有慣性懸停和目標(biāo)體坐標(biāo)系懸停[8,10]。Broschart和Scheeres對小引力作用下的小行星的懸停控制問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，確定了慣性懸停的穩(wěn)定區(qū)域[8]。在相對小行星的懸?？刂浦?，為了維持所期望的位置，航天器需要連續(xù)使用控制推力以抵消重力和旋轉(zhuǎn)加速度[10-11]。由于航天器的標(biāo)稱加速度很小，這種方法在小行星上是可行的[8-9,12]。Zeng等提出了利用太陽帆航天器對小行星進(jìn)行懸停，由于沒有燃料消耗，大幅度延長了懸停時(shí)間和擴(kuò)大了懸停位置范圍[13]。應(yīng)該指出的是，前期航天器相對小行星懸停的研究主要集中在航天器與小行星的相對位置控制，而無考慮相對姿態(tài)的控制[8-10,12,14-16]。Lee等在幾何力學(xué)的框架中提出了相對小行星懸停的相對位置和相對姿態(tài)的無源跟蹤控制[17]。針對低速旋轉(zhuǎn)小行星懸停的軌道和姿態(tài)控制問題，Lee等設(shè)計(jì)了一個(gè)連續(xù)的有限時(shí)間收斂的控制方案[18-19]。
嚴(yán)格來說，航天器相對小行星的懸停問題不同于相對目標(biāo)航天器的懸停問題。這是因?yàn)榍罢咝枰瑫r(shí)考慮小行星和太陽的引力影響，而后者只需考慮地球引力的影響，因此這兩種情況下的動(dòng)力學(xué)控制方程也各不相同。
在本文中，主要研究一個(gè)航天器相對另一個(gè)航天器的懸停控制問題。最近，一些研究人員在兩航天器間的懸?？刂品矫嬉舶l(fā)表了許多研究成果。譚天樂對兩航天器在近圓、橢圓軌道上的相對運(yùn)動(dòng)分別進(jìn)行了解析求解，采用矩陣廣義逆變換的方法設(shè)計(jì)控制器，通過模型預(yù)測的方法獲得制導(dǎo)偏差[20-21]。薛白等建立了兩航天器間懸停的混雜系統(tǒng)模型[22]。程博等基于航天器間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述，采用多脈沖控制方法研究相對懸停運(yùn)動(dòng)[23]。徐帷針對超近距離的兩航天器間的懸停問題，在相對軌道控制的基礎(chǔ)上，提出了視線指向跟蹤的控制方法，實(shí)現(xiàn)了相對軌道、姿態(tài)的聯(lián)合控制[24]。宋旭民等基于Hill方程研究了懸停閉環(huán)控制方法[25]。Dang等建立了兩航天器間懸停的精確解析解模型，推導(dǎo)了軌道周期內(nèi)的最小推力和最小燃料位置[26]。Sun和Huo研究了航天器間姿軌耦合和考慮模型不確定的位姿控制[27]。
然而，前面有關(guān)懸停控制的研究主要關(guān)注兩航天器間相對位置的控制，相對姿態(tài)控制方面的研究不多，懸停控制方式也以開環(huán)的形式居多。即使有考慮相對姿態(tài)控制問題，也只是考慮目標(biāo)姿態(tài)穩(wěn)定或姿態(tài)變化緩慢的情況?？紤]到前面研究的局限性，有必要進(jìn)一步對兩航天器間懸?？刂茊栴}進(jìn)行研究，本文針對追蹤器相對空間中姿態(tài)變化較快的目標(biāo)器的懸?？刂茊栴}進(jìn)行了研究。在追蹤器本體坐標(biāo)系中建立了非線性的六自由度耦合的一體化動(dòng)力學(xué)模型，基于模糊逼近原理設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)的模糊滑?？刂破?，該控制器能夠有效地克服系統(tǒng)不確定性和外部干擾的影響，并能消除傳統(tǒng)的抖振問題。最后，通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)了自適應(yīng)模糊滑模控制器的有效性。
1 動(dòng)力學(xué)模型
(1)
滿足：ζTS(ζ)=0，對于任意向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]T有，ξTS(ζ)ξ=0。
(2)
1.1 位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型
追蹤器相對于慣性系FE的位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為[27]
(3)
式中：υc和ωc分別為追蹤器體坐標(biāo)系FC描述的追蹤器的速度矢量和角速度矢量；σc為用修正的羅德里格斯參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters，MRP)描述的追蹤器體坐標(biāo)系FC相對于慣性系FE的姿態(tài)；mc為追蹤器的質(zhì)量；Jc為追蹤器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；Fc和τc分別為追蹤器的控
圖1 相對位姿運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Relative position and attitude motion coordinate system
制力和控制力矩；Fcd和τcd分別為追蹤器所受的未知有界干擾力和未知有界干擾力矩;δ為作用在追蹤器的推力到追蹤器質(zhì)心的偏心矢量。
類似地，失控翻滾目標(biāo)器相對于慣性系FE的位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為[27]
(4)
式中：υt和ωt分別為目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT描述的目標(biāo)器的速度矢量和角速度矢量；σt為目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT相對于慣性系FE的姿態(tài)；Jt為目標(biāo)器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；Ftd和τtd分別為目標(biāo)器所受的未知有界干擾力和未知有界干擾力矩。
1.2 相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型
通過MRP描述的追蹤器體坐標(biāo)系FC相對于目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT的姿態(tài)為[28]
(5)
對應(yīng)的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為
(6)
由圖1可知，懸停點(diǎn)H相對于FE的位置矢量和速度矢量在目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT中的描述分別為
rd=rt+hf
(7)
υd=υt+S(ωt)hf
(8)
在追蹤器體坐標(biāo)系FC中描述的兩航天器相對角速度矢量、相對位置矢量和相對速度矢量分別為
ωe=ωc-Meωt
(9)
re=rc-Merd
(10)
υe=υc-Meυd
(11)
(12)
-S(Meωt)[Meυd-MeS(ωt)hf]+
[υc-υe-S(ωc-ωe)Mehf]+
(13)
(ωc-ωe)-τtd}
(14)
因此，式(12)可以改寫為
(15)
式中：
1.3 一體化動(dòng)力學(xué)模型
(16)
(17)
式中：
注1模型(16)中的A1和模型(17)中的B1和B2都反映出了兩航天器間的相對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響相對位置運(yùn)動(dòng)，這說明兩航天器間的相對姿態(tài)和相對位置運(yùn)動(dòng)存在強(qiáng)烈的耦合效應(yīng)。
本文對模型(16)和(17)給出如下假設(shè)條件：
1) 整個(gè)懸停過程中，由于燃料消耗較少，mc和Jc保持不變，δ為未知常向量。
2) 追蹤器可以通過自身的測量裝置獲取自身的運(yùn)動(dòng)信息{rc,υc,σc,ωc}和相對運(yùn)動(dòng)信息{re,υe,σe,ωe}。
2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析
2.1 滑模函數(shù)
考慮系統(tǒng)的模型不確定性，式(17)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為
(18)
(19)
(20)
(21)
式中:M-1為M的廣義逆矩陣；f(X)為未知函數(shù)。跟蹤誤差矢量e及de分別定義為
e=X1
(22)
de=X2
(23)
滑模函數(shù)設(shè)計(jì)為
s=de+ce
(24)
式中：c為滑模函數(shù)系數(shù)，c=diag(c1,c2,…,c6),ci>0,i=1,2,…,6。則
(25)
由式(24)可知，如果s→0，則e→0且de→0。
2.2 模糊逼近原理
j=1,2,…,25
(26)
式中:則第1條和第25條模糊規(guī)則表示為
(27)
模糊推理過程采用如下4個(gè)步驟[29]：
4) 采用平均解模糊器，得到模糊系統(tǒng)的輸出為
(28)
(29)
(30)
2.3 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析
(31)
(32)
(33)
定義Lyapunov函數(shù)為
(34)
式中:γ>0。對V求導(dǎo)可得
(35)
將式(25)代入式(35)可得
(36)
設(shè)計(jì)控制律為
(37)
(38)
自適應(yīng)律為
(39)
3 仿真分析
在本節(jié)中，以追蹤器對失控翻滾目標(biāo)的近距離懸停為例，通過仿真來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。為了便于對比分析，本文仿真參數(shù)采用文獻(xiàn)[27]的數(shù)據(jù)。hf=[0, 5, 0]Tm,σe0=[0, 0, 0]T,δ=[0.02, 0.03, 0.02]Tm。追蹤器的初始位置為rc(t0)，初始速度為υc(t0)，初始姿態(tài)為σc(t0)，初始角速度為ωc(t0)；目標(biāo)器的初始姿態(tài)為σt(t0)，初始角速度為ωt(t0)；初始相對位置為re(t0)，初始相對速度為υe(t0)，初始相對姿態(tài)為σe(t0)，初始相對角速度為ωe(t0)。以上各參數(shù)數(shù)值詳見表1。
表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters
追蹤器的質(zhì)量為mc=58.2 kg,
干擾力矩τcd、τtd和干擾力Fcd、Ftd分別為
取以下5種隸屬度函數(shù)對模糊系統(tǒng)輸入xk=[x1,x2],k=1,2,…,6,進(jìn)行模糊化
(40)
根據(jù)式(40)可以得到xi的隸屬函數(shù)如圖2所示。
圖3為目標(biāo)器的姿態(tài)和角速度變化曲線，從圖中可以得出，目標(biāo)航天器在空間中做自由翻滾運(yùn)動(dòng)，其姿態(tài)σt和角速度ωt按照一定的規(guī)律進(jìn)行變化，變化情況由其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分布和初始角速度共同決定。
圖4為追蹤器和目標(biāo)器的相對姿態(tài)和相對角速度變化曲線。經(jīng)過58 s，相對姿態(tài)從[0.5, -0.6, 0.7]T降到03×1，相對角速度從[0.02,
圖2 xi的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership function degree of xi
圖3 目標(biāo)器的姿態(tài)和角速度變化Fig.3 Attitude and angular velocity of target
-0.02, 0.02]Trad/s開始迅速增大，到了峰值后又逐漸降到03×1rad/s。說明追蹤器對失控翻滾目標(biāo)完成了姿態(tài)捕獲并在之后與目標(biāo)器保持姿態(tài)同步。文獻(xiàn)[27]完成相應(yīng)的姿態(tài)同步需要80 s，本文比文獻(xiàn)[27]少22 s。
圖6為追蹤器的控制力矩和控制力隨時(shí)間變化曲線。在初始時(shí)刻，為了捕獲目標(biāo)器的姿態(tài)，追蹤器需要輸出較大的控制力矩，為[-16.03, 15.58, -9.73]TN·m，經(jīng)過52 s，追蹤器所需的控制力矩極小，各方向最大的控制力矩不超過0.15 N·m，初始時(shí)刻，追蹤器需要較大的控制力，為[18.79, -15.20, -28.95]TN，經(jīng)過76 s，追蹤器所需的控制力極小，各方向的最大的控制力不超過0.5 N。整個(gè)過程追蹤器的控制力矩和控制力曲線光滑平緩，無抖振現(xiàn)象發(fā)生。文獻(xiàn)[27]中各方向所需的最大控制力矩幅值為60 N·m，最大控制力幅值為40 N，本文方法所需各方向的控制力矩幅值和控制力幅值與文獻(xiàn)[27]相比均較小，更具有實(shí)際操作性。
為了驗(yàn)證所提的自適應(yīng)模糊滑模控制器的有效性，有必要與傳統(tǒng)滑?？刂破鬟M(jìn)行對照。在沒有模糊自適應(yīng)條件下，式(37)在傳統(tǒng)的滑?？刂平Y(jié)構(gòu)中可以表示為
(41)
圖4 相對姿態(tài)和相對角速度Fig.4 Relative attitude and angular velocity
圖5 相對位置和相對速度Fig.5 Relative position and velocity
圖6 追蹤器的控制力矩和控制力Fig.6 Control torque and control force of the chaser
其他各仿真參數(shù)均與自適應(yīng)模糊滑?？刂破飨嗤?，仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。通過將圖7～圖9 與圖4～圖6對比可以得出，傳統(tǒng)滑?？刂破髯饔孟拢粉櫰髋c目標(biāo)器完成姿態(tài)同步和位置同步分別需要64 s和67 s，比自適應(yīng)模糊滑?？刂破鏖L6 s和8 s。傳統(tǒng)滑?？刂破鬏敵龅目刂屏睾涂刂屏霈F(xiàn)了抖振現(xiàn)象?；？刂破鞯腗PE2=1.809 9。很顯然，自適應(yīng)模糊滑模控制器有效的改善了閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。
為了研究自適應(yīng)模糊滑?？刂破鞯聂敯粜?，將外部有界攝動(dòng)力Fd和外部有界攝動(dòng)力矩τd分
圖7 滑?？刂葡碌南鄬ψ藨B(tài)和相對角速度Fig.7 Relative attitude and angular velocity under sliding mode control
圖8 滑?？刂葡碌南鄬ξ恢煤拖鄬λ俣菷ig.8 Relative position and velocity under sliding mode control
圖9 滑?？刂葡伦粉櫰鞯目刂屏睾涂刂屏ig.9 Control torque and control force of chaser under sliding mode control
別擴(kuò)大到100Fd和100τd，其他仿真參數(shù)均不變，仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。通過將圖10～圖12與圖4～圖6相對比，可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)過58 s追蹤器完成了對逼近點(diǎn)的位置同步。經(jīng)過59 s追蹤完成了對目標(biāo)器的姿態(tài)同步。控制力矩和控制力曲線均光滑平緩，無抖振現(xiàn)象，平均性能誤差指數(shù)MPE3=1.567 9。與小干擾情況下的控制性能一樣，說明所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊滑?？刂破骶哂休^強(qiáng)的魯棒性。
圖10 大擾動(dòng)下的相對姿態(tài)和相對角速度Fig.10 Relative attitude and angular velocity under large disturbance
圖11 大擾動(dòng)下的相對位置和相對速度Fig.11 Relative position and velocity under large disturbance
圖12 大擾動(dòng)下追蹤器的控制力矩和控制力Fig.12 Control torque and control force of chaser under large disturbance
4 結(jié) 論
1) 本文利用追蹤器相對失控翻滾目標(biāo)懸停時(shí)的可測信息設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)了六自由度耦合的相對位置與相對姿態(tài)控制。
2) 基于模糊系統(tǒng)的萬能逼近原理設(shè)計(jì)的模糊滑?？刂破髂苡行У貙?shí)現(xiàn)對系統(tǒng)未知部分的自適應(yīng)逼近。該控制器能夠有效克服系統(tǒng)的模型不確定性和外部干擾因素的影響。
3) 追蹤器快速到達(dá)了翻滾目標(biāo)器的懸停位置，懸停位置誤差和懸停速度誤差均收斂到較小的范圍內(nèi)。所需的控制力矩和控制力極小、連續(xù)平滑，無抖振現(xiàn)象發(fā)生。
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在軌航天器價(jià)值大、造價(jià)高，當(dāng)其在空間中發(fā)生失效時(shí)，如果能對其進(jìn)行在軌修復(fù)、部件更換和燃料加注，則可以大幅降低任務(wù)成本，因此受到了研究人員的極大關(guān)注[1-7]。相對懸停，通常表示一個(gè)航天器在另一個(gè)航天器的體坐標(biāo)系中具有不變的位置和不變的姿態(tài)。實(shí)現(xiàn)相對懸停，可以對目標(biāo)航天器實(shí)施空間監(jiān)視或檢查[8]。
歷史上，相關(guān)研究主要集中在相對小行星的懸停。1999年，Scheeres首次提出了航天器相對小行星懸停軌道的概念[9]。一般而言，圍繞小行星懸停的方式主要有慣性懸停和目標(biāo)體坐標(biāo)系懸停[8,10]。Broschart和Scheeres對小引力作用下的小行星的懸停控制問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，確定了慣性懸停的穩(wěn)定區(qū)域[8]。在相對小行星的懸?？刂浦?，為了維持所期望的位置，航天器需要連續(xù)使用控制推力以抵消重力和旋轉(zhuǎn)加速度[10-11]。由于航天器的標(biāo)稱加速度很小，這種方法在小行星上是可行的[8-9,12]。Zeng等提出了利用太陽帆航天器對小行星進(jìn)行懸停，由于沒有燃料消耗，大幅度延長了懸停時(shí)間和擴(kuò)大了懸停位置范圍[13]。應(yīng)該指出的是，前期航天器相對小行星懸停的研究主要集中在航天器與小行星的相對位置控制，而無考慮相對姿態(tài)的控制[8-10,12,14-16]。Lee等在幾何力學(xué)的框架中提出了相對小行星懸停的相對位置和相對姿態(tài)的無源跟蹤控制[17]。針對低速旋轉(zhuǎn)小行星懸停的軌道和姿態(tài)控制問題，Lee等設(shè)計(jì)了一個(gè)連續(xù)的有限時(shí)間收斂的控制方案[18-19]。
嚴(yán)格來說，航天器相對小行星的懸停問題不同于相對目標(biāo)航天器的懸停問題。這是因?yàn)榍罢咝枰瑫r(shí)考慮小行星和太陽的引力影響，而后者只需考慮地球引力的影響，因此這兩種情況下的動(dòng)力學(xué)控制方程也各不相同。
在本文中，主要研究一個(gè)航天器相對另一個(gè)航天器的懸停控制問題。最近，一些研究人員在兩航天器間的懸?？刂品矫嬉舶l(fā)表了許多研究成果。譚天樂對兩航天器在近圓、橢圓軌道上的相對運(yùn)動(dòng)分別進(jìn)行了解析求解，采用矩陣廣義逆變換的方法設(shè)計(jì)控制器，通過模型預(yù)測的方法獲得制導(dǎo)偏差[20-21]。薛白等建立了兩航天器間懸停的混雜系統(tǒng)模型[22]。程博等基于航天器間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述，采用多脈沖控制方法研究相對懸停運(yùn)動(dòng)[23]。徐帷針對超近距離的兩航天器間的懸停問題，在相對軌道控制的基礎(chǔ)上，提出了視線指向跟蹤的控制方法，實(shí)現(xiàn)了相對軌道、姿態(tài)的聯(lián)合控制[24]。宋旭民等基于Hill方程研究了懸停閉環(huán)控制方法[25]。Dang等建立了兩航天器間懸停的精確解析解模型，推導(dǎo)了軌道周期內(nèi)的最小推力和最小燃料位置[26]。Sun和Huo研究了航天器間姿軌耦合和考慮模型不確定的位姿控制[27]。
然而，前面有關(guān)懸停控制的研究主要關(guān)注兩航天器間相對位置的控制，相對姿態(tài)控制方面的研究不多，懸停控制方式也以開環(huán)的形式居多。即使有考慮相對姿態(tài)控制問題，也只是考慮目標(biāo)姿態(tài)穩(wěn)定或姿態(tài)變化緩慢的情況?？紤]到前面研究的局限性，有必要進(jìn)一步對兩航天器間懸?？刂茊栴}進(jìn)行研究，本文針對追蹤器相對空間中姿態(tài)變化較快的目標(biāo)器的懸?？刂茊栴}進(jìn)行了研究。在追蹤器本體坐標(biāo)系中建立了非線性的六自由度耦合的一體化動(dòng)力學(xué)模型，基于模糊逼近原理設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)的模糊滑?？刂破?，該控制器能夠有效地克服系統(tǒng)不確定性和外部干擾的影響，并能消除傳統(tǒng)的抖振問題。最后，通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)了自適應(yīng)模糊滑模控制器的有效性。
1 動(dòng)力學(xué)模型
(1)
滿足：ζTS(ζ)=0，對于任意向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]T有，ξTS(ζ)ξ=0。
(2)
1.1 位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型
追蹤器相對于慣性系FE的位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為[27]
(3)
式中：υc和ωc分別為追蹤器體坐標(biāo)系FC描述的追蹤器的速度矢量和角速度矢量；σc為用修正的羅德里格斯參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters，MRP)描述的追蹤器體坐標(biāo)系FC相對于慣性系FE的姿態(tài)；mc為追蹤器的質(zhì)量；Jc為追蹤器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；Fc和τc分別為追蹤器的控
圖1 相對位姿運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Relative position and attitude motion coordinate system
制力和控制力矩；Fcd和τcd分別為追蹤器所受的未知有界干擾力和未知有界干擾力矩;δ為作用在追蹤器的推力到追蹤器質(zhì)心的偏心矢量。
類似地，失控翻滾目標(biāo)器相對于慣性系FE的位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為[27]
(4)
式中：υt和ωt分別為目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT描述的目標(biāo)器的速度矢量和角速度矢量；σt為目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT相對于慣性系FE的姿態(tài)；Jt為目標(biāo)器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；Ftd和τtd分別為目標(biāo)器所受的未知有界干擾力和未知有界干擾力矩。
1.2 相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型
通過MRP描述的追蹤器體坐標(biāo)系FC相對于目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT的姿態(tài)為[28]
(5)
對應(yīng)的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為
(6)
由圖1可知，懸停點(diǎn)H相對于FE的位置矢量和速度矢量在目標(biāo)器體坐標(biāo)系FT中的描述分別為
rd=rt+hf
(7)
υd=υt+S(ωt)hf
(8)
在追蹤器體坐標(biāo)系FC中描述的兩航天器相對角速度矢量、相對位置矢量和相對速度矢量分別為
ωe=ωc-Meωt
(9)
re=rc-Merd
(10)
υe=υc-Meυd
(11)
(12)
-S(Meωt)[Meυd-MeS(ωt)hf]+
[υc-υe-S(ωc-ωe)Mehf]+
(13)
(ωc-ωe)-τtd}
(14)
因此，式(12)可以改寫為
(15)
式中：
1.3 一體化動(dòng)力學(xué)模型
(16)
(17)
式中：
注1模型(16)中的A1和模型(17)中的B1和B2都反映出了兩航天器間的相對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響相對位置運(yùn)動(dòng)，這說明兩航天器間的相對姿態(tài)和相對位置運(yùn)動(dòng)存在強(qiáng)烈的耦合效應(yīng)。
本文對模型(16)和(17)給出如下假設(shè)條件：
1) 整個(gè)懸停過程中，由于燃料消耗較少，mc和Jc保持不變，δ為未知常向量。
2) 追蹤器可以通過自身的測量裝置獲取自身的運(yùn)動(dòng)信息{rc,υc,σc,ωc}和相對運(yùn)動(dòng)信息{re,υe,σe,ωe}。
2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析
2.1 滑模函數(shù)
考慮系統(tǒng)的模型不確定性，式(17)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為
(18)
(19)
(20)
(21)
式中:M-1為M的廣義逆矩陣；f(X)為未知函數(shù)。跟蹤誤差矢量e及de分別定義為
e=X1
(22)
de=X2
(23)
滑模函數(shù)設(shè)計(jì)為
s=de+ce
(24)
式中：c為滑模函數(shù)系數(shù)，c=diag(c1,c2,…,c6),ci>0,i=1,2,…,6。則
(25)
由式(24)可知，如果s→0，則e→0且de→0。
2.2 模糊逼近原理
j=1,2,…,25
(26)
式中:則第1條和第25條模糊規(guī)則表示為
(27)
模糊推理過程采用如下4個(gè)步驟[29]：
4) 采用平均解模糊器，得到模糊系統(tǒng)的輸出為
(28)
(29)
(30)
2.3 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析
(31)
(32)
(33)
定義Lyapunov函數(shù)為
(34)
式中:γ>0。對V求導(dǎo)可得
(35)
將式(25)代入式(35)可得
(36)
設(shè)計(jì)控制律為
(37)
(38)
自適應(yīng)律為
(39)
3 仿真分析
在本節(jié)中，以追蹤器對失控翻滾目標(biāo)的近距離懸停為例，通過仿真來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。為了便于對比分析，本文仿真參數(shù)采用文獻(xiàn)[27]的數(shù)據(jù)。hf=[0, 5, 0]Tm,σe0=[0, 0, 0]T,δ=[0.02, 0.03, 0.02]Tm。追蹤器的初始位置為rc(t0)，初始速度為υc(t0)，初始姿態(tài)為σc(t0)，初始角速度為ωc(t0)；目標(biāo)器的初始姿態(tài)為σt(t0)，初始角速度為ωt(t0)；初始相對位置為re(t0)，初始相對速度為υe(t0)，初始相對姿態(tài)為σe(t0)，初始相對角速度為ωe(t0)。以上各參數(shù)數(shù)值詳見表1。
表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters
追蹤器的質(zhì)量為mc=58.2 kg,
干擾力矩τcd、τtd和干擾力Fcd、Ftd分別為
取以下5種隸屬度函數(shù)對模糊系統(tǒng)輸入xk=[x1,x2],k=1,2,…,6,進(jìn)行模糊化
(40)
根據(jù)式(40)可以得到xi的隸屬函數(shù)如圖2所示。
圖3為目標(biāo)器的姿態(tài)和角速度變化曲線，從圖中可以得出，目標(biāo)航天器在空間中做自由翻滾運(yùn)動(dòng)，其姿態(tài)σt和角速度ωt按照一定的規(guī)律進(jìn)行變化，變化情況由其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分布和初始角速度共同決定。
圖4為追蹤器和目標(biāo)器的相對姿態(tài)和相對角速度變化曲線。經(jīng)過58 s，相對姿態(tài)從[0.5, -0.6, 0.7]T降到03×1，相對角速度從[0.02,
圖2 xi的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership function degree of xi
圖3 目標(biāo)器的姿態(tài)和角速度變化Fig.3 Attitude and angular velocity of target
-0.02, 0.02]Trad/s開始迅速增大，到了峰值后又逐漸降到03×1rad/s。說明追蹤器對失控翻滾目標(biāo)完成了姿態(tài)捕獲并在之后與目標(biāo)器保持姿態(tài)同步。文獻(xiàn)[27]完成相應(yīng)的姿態(tài)同步需要80 s，本文比文獻(xiàn)[27]少22 s。
圖6為追蹤器的控制力矩和控制力隨時(shí)間變化曲線。在初始時(shí)刻，為了捕獲目標(biāo)器的姿態(tài)，追蹤器需要輸出較大的控制力矩，為[-16.03, 15.58, -9.73]TN·m，經(jīng)過52 s，追蹤器所需的控制力矩極小，各方向最大的控制力矩不超過0.15 N·m，初始時(shí)刻，追蹤器需要較大的控制力，為[18.79, -15.20, -28.95]TN，經(jīng)過76 s，追蹤器所需的控制力極小，各方向的最大的控制力不超過0.5 N。整個(gè)過程追蹤器的控制力矩和控制力曲線光滑平緩，無抖振現(xiàn)象發(fā)生。文獻(xiàn)[27]中各方向所需的最大控制力矩幅值為60 N·m，最大控制力幅值為40 N，本文方法所需各方向的控制力矩幅值和控制力幅值與文獻(xiàn)[27]相比均較小，更具有實(shí)際操作性。
為了驗(yàn)證所提的自適應(yīng)模糊滑模控制器的有效性，有必要與傳統(tǒng)滑?？刂破鬟M(jìn)行對照。在沒有模糊自適應(yīng)條件下，式(37)在傳統(tǒng)的滑?？刂平Y(jié)構(gòu)中可以表示為
(41)
圖4 相對姿態(tài)和相對角速度Fig.4 Relative attitude and angular velocity
圖5 相對位置和相對速度Fig.5 Relative position and velocity
圖6 追蹤器的控制力矩和控制力Fig.6 Control torque and control force of the chaser
其他各仿真參數(shù)均與自適應(yīng)模糊滑?？刂破飨嗤?，仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。通過將圖7～圖9 與圖4～圖6對比可以得出，傳統(tǒng)滑?？刂破髯饔孟拢粉櫰髋c目標(biāo)器完成姿態(tài)同步和位置同步分別需要64 s和67 s，比自適應(yīng)模糊滑?？刂破鏖L6 s和8 s。傳統(tǒng)滑?？刂破鬏敵龅目刂屏睾涂刂屏霈F(xiàn)了抖振現(xiàn)象?；？刂破鞯腗PE2=1.809 9。很顯然，自適應(yīng)模糊滑模控制器有效的改善了閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。
為了研究自適應(yīng)模糊滑?？刂破鞯聂敯粜?，將外部有界攝動(dòng)力Fd和外部有界攝動(dòng)力矩τd分
圖7 滑?？刂葡碌南鄬ψ藨B(tài)和相對角速度Fig.7 Relative attitude and angular velocity under sliding mode control
圖8 滑?？刂葡碌南鄬ξ恢煤拖鄬λ俣菷ig.8 Relative position and velocity under sliding mode control
圖9 滑?？刂葡伦粉櫰鞯目刂屏睾涂刂屏ig.9 Control torque and control force of chaser under sliding mode control
別擴(kuò)大到100Fd和100τd，其他仿真參數(shù)均不變，仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。通過將圖10～圖12與圖4～圖6相對比，可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)過58 s追蹤器完成了對逼近點(diǎn)的位置同步。經(jīng)過59 s追蹤完成了對目標(biāo)器的姿態(tài)同步。控制力矩和控制力曲線均光滑平緩，無抖振現(xiàn)象，平均性能誤差指數(shù)MPE3=1.567 9。與小干擾情況下的控制性能一樣，說明所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊滑?？刂破骶哂休^強(qiáng)的魯棒性。
圖10 大擾動(dòng)下的相對姿態(tài)和相對角速度Fig.10 Relative attitude and angular velocity under large disturbance
圖11 大擾動(dòng)下的相對位置和相對速度Fig.11 Relative position and velocity under large disturbance
圖12 大擾動(dòng)下追蹤器的控制力矩和控制力Fig.12 Control torque and control force of chaser under large disturbance
4 結(jié) 論
1) 本文利用追蹤器相對失控翻滾目標(biāo)懸停時(shí)的可測信息設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)了六自由度耦合的相對位置與相對姿態(tài)控制。
2) 基于模糊系統(tǒng)的萬能逼近原理設(shè)計(jì)的模糊滑?？刂破髂苡行У貙?shí)現(xiàn)對系統(tǒng)未知部分的自適應(yīng)逼近。該控制器能夠有效克服系統(tǒng)的模型不確定性和外部干擾因素的影響。
3) 追蹤器快速到達(dá)了翻滾目標(biāo)器的懸停位置，懸停位置誤差和懸停速度誤差均收斂到較小的范圍內(nèi)。所需的控制力矩和控制力極小、連續(xù)平滑，無抖振現(xiàn)象發(fā)生。
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