于 淼，劉新星

(長(zhǎng)春大學(xué) 機(jī)械與車輛工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022)

自由曲面的拋磨，極具復(fù)雜性和困難性。既要求效率，又要求精度。而傳統(tǒng)的拋磨方法，一種是人工拋磨，工人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)完成加工工件的精度要求，其加工的工件隨機(jī)性大，精度往往不能一致，效率不高[1-2]。另一種是半自動(dòng)加工，機(jī)器通過(guò)拋磨工具，來(lái)完成對(duì)工件的拋磨。但自由曲面的形狀復(fù)雜，凹凸性大，曲率變化也較大[3]，導(dǎo)致用磨拋工具來(lái)拋磨的工件精度低。由此，為了提高拋磨自由曲面的加工效率和加工精度，作者提出基于曲率和加工工藝相結(jié)合的復(fù)雜自由曲面的二次分片規(guī)劃技術(shù)。

1 自由曲面分片拋磨原理

當(dāng)拋磨自由曲面時(shí)，由于自由曲面的曲率變化大，且大小不確定，從而使拋磨工具在進(jìn)行拋磨時(shí)，速度發(fā)生變化，磨削力也發(fā)生變化，最終導(dǎo)致拋磨工件的精度降低，所以要求劃分拋磨加工區(qū)域[4]，使工具在加工工件時(shí)，加工區(qū)域的工件曲率變化在一定范圍內(nèi)，磨削力較均衡，從而使拋磨精度更高。分片拋磨就是根據(jù)自由曲面的幾何性質(zhì)和加工工藝，將自由曲面分成若干子曲面片，在不同的子曲面片使用不同的工具，來(lái)提高拋磨精度。

2 自由曲面分片規(guī)劃

2.1 建模

對(duì)于一個(gè)自由曲面，NURBS能很好地表達(dá)其特性，故用NURBS來(lái)建模[5-8]。

被拋磨自由曲面的有理式表達(dá)式為：

(1)

式中：di,j(i=0,1,...,n;j=0,1,...,m)為控制頂點(diǎn)；ωi,j(i=0,1,...,n;j=0,1,...,m)為與頂點(diǎn)di,j對(duì)應(yīng)的權(quán)因子；P(u,v)為曲面上與參變量u,v相對(duì)應(yīng)的值；Ni,k(u)、Nj,l(v)分別為u向k次和v向l次的規(guī)范B樣條基，它們由de Boor Cox遞推公式(2)決定[9]。

(2)

2.2 自由曲面分片

2.2.1 曲率計(jì)算

曲面上法曲率的最大值和最小值稱為主曲率，用kn表示，求取主曲率及其方向可用法曲率對(duì)表示方向的比值求導(dǎo)并使其等于零[10]，方程如下：

(3)

(4)

式中：E、F、G為第1基本量；L、M、N為第2基本量。

求解方程(3)、(4)可得到曲面上的一點(diǎn)s(u,v)的主曲率k1、k2：

(5)

式中：高斯曲率K和平均曲率H為：

(6)

根據(jù)求得的H和K可得曲面分片的基本曲率基礎(chǔ)。

2.2.2 依據(jù)曲率的一次曲面分片

2.2.3 根據(jù)加工工藝的二次曲面分片

機(jī)器人拋磨的路徑規(guī)劃中，其軌跡是等間距矩形時(shí)的路徑規(guī)劃效率最高。根據(jù)曲率分成的子曲面片形狀不規(guī)則，而機(jī)器人的最佳路徑卻是等間距矩形，所以在以曲率分成子曲面片的前提下，再把不規(guī)則形狀的子曲面片進(jìn)一步分成矩形子曲面片。以最邊角的不規(guī)則形狀為起始，以x軸和y軸為長(zhǎng)和寬的基邊構(gòu)建矩形。把子曲面片分別投影到x軸和y軸的最大長(zhǎng)度作為x軸和y軸方向上的邊，構(gòu)建矩形。相鄰的兩個(gè)矩形若有重合，則求差。依次投影、構(gòu)建矩形、求差，直到把所有的子曲面片完成為止。從而得到基于曲率和加工工藝的二次曲面分片。

3 仿真研究

構(gòu)造自由曲面，如圖1所示。

圖1 自由曲面三維圖

對(duì)自由曲面進(jìn)行曲率計(jì)算，曲率圖如圖2所示。

圖2 自由曲面的曲率圖

提取自由曲面的曲率信息，依據(jù)曲率的某一范圍，劃分自由曲面，如圖3所示。

圖3 按曲率范圍劃分的子曲面片平面圖

在曲率劃分的子曲面片基礎(chǔ)上，綜合加工工藝，即機(jī)器人在拋磨的過(guò)程中，受靈活運(yùn)動(dòng)空間、拋磨力、位姿等的約束，軌跡是等間距矩形時(shí)，拋磨的效率最高，精度最高，所以進(jìn)一步劃分成矩形子曲面片，如圖4所示。

圖4 二次分片圖

通過(guò)計(jì)算機(jī)Matlab仿真，經(jīng)過(guò)二次分片，把一塊復(fù)雜的、非規(guī)則的自由曲面，分成21塊曲率相近、便于機(jī)器人拋磨的矩形子曲面片，每個(gè)子曲面片的曲率在0.02mm左右，保證了機(jī)器人在拋磨時(shí)不會(huì)產(chǎn)生干涉。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)NURBS、自由曲面的理論研究，結(jié)合機(jī)器人拋磨自由曲面的加工工藝，提出自由曲面通過(guò)曲面曲率和機(jī)器人拋磨加工工藝相結(jié)合的二次分片理論，由一個(gè)復(fù)雜的、非規(guī)則的曲面分成若干個(gè)曲率相近的矩形子曲面片，使拋磨工具和工件能最大限度的相互適應(yīng)，提高拋磨加工精度。同時(shí)，在此理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)Matlab仿真軟件，作出了計(jì)算機(jī)仿真，給出了具體的方法和確定的程序算法，為進(jìn)一步的工業(yè)機(jī)器人拋磨自由曲面提供了理論基礎(chǔ)和方法。