☉江蘇省海門市能仁中學 陸新鋒

幾何綜合復習階段，常常有一類探究三條線段之間數(shù)量關系的綜合題，這類問題學生往往找不準求解方向，導致思路受阻.為了幫助學生做好復習，我們圍繞專題開展了精準復習，起到了一定的效果，本文梳理這節(jié)專題復習課的教學流程，并給出教后思考，供研討.

一、“線段之間數(shù)量關系”專題復習課

教學環(huán)節(jié)（一） 經典問題，回顧性質

經典問題1：如圖1，等邊三角形ABC中，點P是邊BC上一點，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉60°到PQ位置，連接CQ，求證PC+CQ=AC.

教學預設：可以在AC上取一點H，構造等邊三角形CQH，進一步證明△AQH △PQC，可以構造AH=PC，HQ=QC=HC，于是AC=AH+HC=PC+CQ.問題獲證.證后還應引導學生“成果擴大”，認識這個問題還能得到如下一些結論或性質，比如，連接AQ，△APQ是等邊三角形，CQ是△ABC的一個外角平分線，點Q一定在該外角的平分線上，等等.

圖1

圖2

經典問題2：如圖2，過正方形ABCD的頂點引一條射線DG，過點B作BG⊥DG，垂足為點G，連接CG.探究DG、CG、BG的數(shù)量關系.

教學預設：由∠BCD、∠BGD都是直角，可確認B、C、G、D四點共圓，于是∠BGC=45°，利用這個特殊角度構造等腰直角三角形CGN，進一步證明△BCN △CDG，可以溝通.從而有.

教學環(huán)節(jié)（二） 例題探究，學會轉化

例1（北京人大附中2018年12月初三考卷）如圖3，∠MON=α（0°＜α＜90°），A為OM上一點（不與O重合），點A關于直線ON的對稱點為B，AB與ON交于點C，P為直線ON上一點（不與O、C重合），將射線PB繞點P順時針旋轉β角，其中2α+β=180°，所得到的射線與直線OM交于點Q.

這個問題中，點P的位置和角α的大小都不確定，在這里我們僅研究兩種特殊情況，更一般的情況留給同學們深入探索.

（1）如圖3，當α=45°時，β=90°，若點P在線段OC的延長線上，

①依題意補全圖形；

②求∠PQA-∠PBA的值.

（2）如圖4，當α=60°，點P在線段CO的延長線上時，用等式表示線段OC、OP、AQ之間的數(shù)量關系，并證明.

教學預設：先安排補全圖形，如圖5，探究∠PQA-∠PBA的值有兩種典型思路.思路之一，將∠PBC等量代換到∠QPO，然后就能利用△POQ的外角性質得出∠PQA-∠QPO的值為∠MON（45°）；思路之二，連接OB，確認四邊形OBPQ是對角互補的四邊形，則∠PQA=∠PBO，于是∠PQA-∠QPO轉化為∠PBO-∠QPO，再轉化為∠CBO（45°）.

在第（2）問中，當α=60°時，可得β=60°，如圖6，連接OB，可以發(fā)現(xiàn)圖形中有一個基本圖形，引導學生利用開課階段復習的“經典問題1”，可在OQ上取一點H，構造等邊三角形OPH，從而得到OQ=OB+OP，進一步利用OB=OA=2OC，可得AQ=4OC+OP.

例2（北京十一學校2018年12月初三考卷）如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，點D為AC的延長線上一點，連接BD，作AE⊥BD于點E，將射線AE繞點A逆時針旋轉α后，所得的射線與BD的延長線交于點F，連接CE.

（1）①依題意補全圖形；

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

②當∠CAB=α時，用含α的代數(shù)式表示∠AEC為_______.

（2）當AC=BC時，用等式表示線段AF、CE、BE之間的數(shù)量關系，并證明.

圖8

教學預設：先補全圖形，如圖8，容易確認點A、B、E、C共圓，于是∠AEC=∠ABC，而∠ABC=90°-α，則第（1）問獲解.第（2）問中的三條線段比較“分散”，先確定，接下來集中精力思考BE、AE、CE三條線段的數(shù)量關系，可聯(lián)想到上面的“經典問題2”，構造等腰直角三角形CEG，可得進一步可代換得

教學環(huán)節(jié)（三） 繼續(xù)前進，變式拓展

例3（北京交大附中2018年10月）如圖9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作射線CE，且∠BCE小于45°，點B關于CE的對稱點為D，連接AD、BD、CD，其中AD、BD分別交射線CE于點M、N.你發(fā)現(xiàn)線段AM與CN之間有怎樣的數(shù)量關系？證明你的發(fā)現(xiàn).

圖9

教學預設：連接BM，學生需要先證出BM⊥AD，進而確認△ABM是直角三角形，△BMD是等腰直角三角形.這樣由勾股定理可得AB2=AM2+BM2，BM2=2BN2，BC2=BN2+CN2，AB2=2BC2，這樣就可代換得AM2+BM2=2BN2+2CN2，于是，AM2+BM2=BM2+2CN2，于是AM2=2CN2，即

教學環(huán)節(jié)（四） 課堂小結，拓展思考

圍繞本課所學，安排學生小組交流學習了哪些新的內容，對幾條線段之間數(shù)量關系的探究有了哪些新的認識或理解，各小組推薦兩人到講臺前向大家匯報交流，談本課所學的收獲.然后出示如下拓展題.

拓展題：如圖10，矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，當∠EAF=∠EFC=45°時，分析線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關系.

圖10

圖11

圖12

教學預設：學生可能會有困難，這里可先出示鋪墊式問題，如圖11，等腰直角三角形ABC中，∠ECF=45°，這是一個經典問題，學生應該能想起該圖的一個經典結論于是可以想到構造圖12這樣的等腰直角三角形AGH，問題獲得有效轉化，相繼發(fā)現(xiàn)可代換得

二、教后思考

1.專題復習課需要聚焦主題與精選學材

我們知道，專題復習課在選題上呈現(xiàn)出以題型來選題，或者以知識點來選題的備課價值觀，這種選題的指導思路之下，很多習題雖然題型相同、知識點相近，但是解題策略、思路方法大相徑庭，無法做到聚焦主題.這就要求我們在研發(fā)、打磨專題復習課時，把聚焦主題作為第一追求，在此基礎上精選學材，學材的來源可以是教材上例題、習題、拓展題，也可是各地中考題中的相關素材，但這些素材選定之后，并不能簡單地直接拿來，還需要進一步整合、刪減、改編或拓展生長.本課例就是由兩道北京名校最新考題出發(fā)，“思前想后”→整合素材→生成學材.

2.專題復習課需要由淺及深與漸次推進

專題復習課在選定素材、生成學材之后，還需要由淺及深、漸次呈現(xiàn)這些學材內容.在上文課例中，我們選擇的是從兩個“經典問題”（學生在八年級就已對相關練習進行過訓練）出發(fā)，先復習確認已有性質或求解經驗，再依次給出兩道幾何綜合題，先由學生獨立探究出三條線段之間的數(shù)量關系，并且小結在黑板上，為后續(xù)探究問題提供轉化方向.本課主要教學用時花在例1、例2的研究上，這兩道習題都需要先補全圖形，再構造輔助線轉化為熟悉的“經典問題”.教學過程中，要注意向學生滲透和傳遞“回到經典問題去解題”的解題與探索方法.此外，專題復習課在預設各個教學環(huán)節(jié)中的較難習題時，還應注意鋪墊設問與適當“留白”相結合，既讓大多數(shù)學生在鋪墊設問下體驗到挑戰(zhàn)難題的自信，又讓少數(shù)優(yōu)秀學生能在適度留白式的探究中體驗到攻克較難習題的樂趣.在上文課例中的經典問題與例1、例2的探究中可體現(xiàn)出鋪墊設問的教學價值；而在最后環(huán)節(jié)的拓展題中又是“留白”式的教學安排，只適合少數(shù)優(yōu)秀學生獨立探究、實現(xiàn)問題轉化，教師在教學組織時也可根據(jù)學情相機進行適當?shù)摹敖虒W干預”（提供幫助或鋪墊式問題）.