☉江蘇省江陰初級中學(xué) 陸 兵

進(jìn)入中考復(fù)習(xí)階段，涉及幾何圖形的習(xí)題往往與特殊直角三角形有關(guān)，而一類邊長為“3，4，5”的特殊三角形更是經(jīng)常見到.為了幫助學(xué)生深入理解這種三角形的相關(guān)性質(zhì)，我們預(yù)設(shè)一節(jié)“特殊直角三角形的再認(rèn)識”中考微專題復(fù)習(xí)課.本文梳理該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、“特殊直角三角形再認(rèn)識”微專題復(fù)習(xí)課教學(xué)流程

活動(dòng)1：從邊長為“3，4，5”的三角形出發(fā)

問題：如圖1，大家都很熟悉邊長為“3，4，5”的三角形，你們想一想，這種形狀的三角形有哪些特殊的性質(zhì)？組內(nèi)先交流一下，然后全班匯報(bào).

預(yù)設(shè)：學(xué)生很快能確認(rèn)這是一個(gè)直角三角形，如何證明？要引導(dǎo)學(xué)生概述一下勾股定理逆定理的證明思路.當(dāng)然，如果學(xué)生的思路比較開闊，可能還會(huì)提及這種三角形的兩個(gè)銳角的三角函數(shù)值可以求解出來，還有這種直角三角形斜邊上的高為等等.在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，重要的是引導(dǎo)學(xué)生全員思考，把目光聚焦到這種特殊三角形上來，為后續(xù)解題與研究起到“熱身”作用.

活動(dòng)2：例題求解與反思深入

例1如圖2，有一張直角三角形紙片，兩直角邊BC=6，AC=8，點(diǎn)D在AC邊上，現(xiàn)將△ABC沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，求BD的長.

圖1

圖2

教學(xué)預(yù)設(shè)：先安排學(xué)生獨(dú)立探究，然后小組交流、全班展示、教師評析.學(xué)生根據(jù)翻折性質(zhì)，想到設(shè)CD=DE=x，則AD=8-x.由BE=BC=6，可得AE=10-6=4，于是把目光投向直角三角形ADE，可利用勾股定理得關(guān)于x的方程：x2+42=（8-x）2，解得x=3，于是在直角三角形BCD中，求出BD=3

解后反思：為了避免“入寶山而空返”，讓我們深入思考，進(jìn)一步想清這個(gè)問題的結(jié)構(gòu)，對于邊長為“3，4，5”的直角三角形，邊長4所對銳角的角平分線BD將對邊分成兩部分之比恰為3∶5，也就是圖3中進(jìn)一步還可得到特別是后者可以“一般化”，成為三角形角平分線的一個(gè)重要性質(zhì).再從銳角三角函數(shù)的角度看，圖3中體現(xiàn)著一個(gè)重要性質(zhì)：若tan2α=則tanα=反之也成立.

圖3

成果擴(kuò)大：研究了“3，4，5”直角三角形中一個(gè)較大銳角角平分線的性質(zhì)，那么較小銳角角平分線有怎樣類似的性質(zhì)？

（安排學(xué)生獨(dú)立探究3~5分鐘）

變式思考：如圖4，直角三角形ABC中，BC=3，AC=4，AE平分∠BAC，求證：AC=3CE.

學(xué)生可以模仿例1的思路，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，利用勾股定理構(gòu)造方程求出CE的長，從而獲得證明.

圖4

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生“走向一般”，小結(jié)提煉出銳角三角函數(shù)的性質(zhì)：若，則反之也成立.限于課堂時(shí)間，可安排學(xué)生課后進(jìn)行演算證明.

多題歸一：如圖5，Rt△ABC中，BC=3，AC=4，角平分線AE、BD交于點(diǎn)G，求∠AGD的度數(shù).

圖5

圖6

思路預(yù)設(shè)：可以先利用圖6來想清三角函數(shù)又一性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，有tan（α+β）=1，即α+β=45°”，于是∠AGD為45°.

活動(dòng)3：挑戰(zhàn)高中“自招”考題

例2如圖7，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC的延長線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD的延長線于點(diǎn)G，連接AG，當(dāng)CE=BC=4時(shí)，作FH⊥AG于點(diǎn)G，連接DH，則DH的長為______.

圖7

思路預(yù)設(shè)：由上文例1深入反思后的一些經(jīng)驗(yàn)積累，可得△CEG是“3，4，5”的直角三角形.可求得，相應(yīng)的DG為于是可在Rt△ADG中求出；進(jìn)一步識別出A、F、D、H四點(diǎn)共圓后可證△GDH △GAF.從而根據(jù)相似比易求得，所以

回顧反思：引導(dǎo)學(xué)生梳理概述本題的解題思路，并跟進(jìn)追問哪幾步是關(guān)鍵步驟，關(guān)鍵步驟是如何貫通思路的，以便強(qiáng)化學(xué)生對性質(zhì)“若”的理解與運(yùn)用.

例3 如圖9，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)，將△ADF沿AF翻折，點(diǎn)D恰落在邊BC上.當(dāng)∠DAF=時(shí)的值為______.

思路預(yù)設(shè)：由例1反思得到的另一性質(zhì)“若則可得到于是構(gòu)造直角三角形AGE，確認(rèn)該直角三角形是“3，4，5”直角三角形，于是再結(jié)合特殊直角三角形ABG（易求∠ABG=60°），可溝通AG、AB的關(guān)系為于是，即

圖9

圖10

活動(dòng)4：課堂小結(jié)，布置作業(yè)

本課是對“3，4，5”直角三角形的再認(rèn)識，特別是深化了這種三角形兩條銳角角平分線帶來的特殊性質(zhì)，并從銳角三角函數(shù)的角度深刻理解它們.學(xué)生在小組內(nèi)再互相交流一下學(xué)習(xí)心得，建議通過畫出圖形互相講解一下對本課所學(xué)性質(zhì)的理解.小組長可抽查組員對本課例題是否掌握，讓組員講解思路.

最后布置一道拓展題，供課后繼續(xù)思考挑戰(zhàn).

拓展題：如圖11，△ABC是⊙O（的內(nèi)接三角形，AB=AC，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接PA、PB、PC.若，求tan∠PAB的值.（提示：作BC邊上的高AD，將問題轉(zhuǎn)化為求tan∠DCQ的值）

圖11

二、教學(xué)思考

1.值得重視的微專題復(fù)習(xí)課型

當(dāng)前初中一些刊物上出現(xiàn)一類新的教研視角，即倡導(dǎo)開展中考微專題的復(fù)習(xí)課型研究，并且出現(xiàn)了一些精彩的微專題課例，這些課例選定一個(gè)聚焦主題，選題圍繞這個(gè)主題由淺及深，對一個(gè)圖形或某個(gè)性質(zhì)或某種解題策略進(jìn)行了較有深度的研究，使得學(xué)生對這個(gè)專題達(dá)到了深刻理解的層次，是值得我們重視的.本文中的課例以特殊直角三角形為研究主題，重點(diǎn)關(guān)注的是邊長為“3，4，5”的特殊直角三角形，也可看成一次微專題復(fù)習(xí)課型的實(shí)踐研究.

2.較難題講評要重視鋪墊設(shè)問

中考復(fù)習(xí)期間，會(huì)有大量的較難試題，這類較難題如果就題講題，核對答案，有時(shí)具有相同結(jié)構(gòu)的較難題會(huì)過一段時(shí)間又出現(xiàn)一次，但是“零散”出現(xiàn)，學(xué)生容易遺忘，常常是題海中出現(xiàn)過的試題過一段時(shí)間又不會(huì)求解了.這時(shí)需要我們研發(fā)同一主題的微專題復(fù)習(xí)課，并對這些較難題預(yù)設(shè)鋪墊式問題.事實(shí)上，本文課例的研究緣起主要是講評例2、例3后發(fā)現(xiàn)效果不好，才想起可以借助微專題課型的啟發(fā)，先預(yù)設(shè)一些鋪墊式問題，像本文中的例1求解后深入思考，提煉、總結(jié)一些性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)快速突破較難的例2、例3.在這個(gè)意義上說，教學(xué)即研究，解題教學(xué)即研究.