茍向鋒，陳曉芳，朱凌云

（1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300387）

齒輪系統(tǒng)因傳動(dòng)比穩(wěn)定、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械傳動(dòng)裝置。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，為了在嚙合齒廓間形成潤滑油膜，避免因輪齒摩擦發(fā)熱膨脹而卡死，齒廓間必須留有間隙。這也導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中發(fā)生沖擊振動(dòng)，影響機(jī)械設(shè)備的性能，加劇疲勞和磨損，降低工作效率，縮短服役壽命，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致設(shè)備失效甚至產(chǎn)生安全隱患。Kahraman 等[1]建立了考慮齒側(cè)間隙和誤差激勵(lì)的單自由度單級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在次諧響應(yīng)和混沌響應(yīng)。Vaishya 等[2-3]給出了考慮摩擦力的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模策略，研究了滑動(dòng)摩擦力及相關(guān)參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。He 等[4-6]基于Floquet方法對(duì)含摩擦力函數(shù)和周期時(shí)變嚙合剛度的直齒圓柱齒輪模型進(jìn)行了半解析解分析。盧劍偉等[7]通過對(duì)隨機(jī)裝配間隙對(duì)動(dòng)力學(xué)行為影響的研究，發(fā)現(xiàn)了一定間隙匹配合適的臨界方法能保證齒輪的動(dòng)力學(xué)形態(tài)的穩(wěn)定性。蘇程等[8]建立了直齒輪副單自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，得到了齒輪嚙合沖擊狀態(tài)在非沖擊、單邊沖擊以及雙邊沖擊狀態(tài)之間變化時(shí)變化過程與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。陳代林等[9]通過建立單自由度齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)不同的Poincaré 截面，分析了齒輪嚙合-脫嚙過程。郜志英等[10-13]研究了齒輪系統(tǒng)的周期解結(jié)構(gòu)及穩(wěn)定性，并對(duì)參數(shù)平面內(nèi)的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。唐進(jìn)元等[14-16]對(duì)摩擦系數(shù)和時(shí)變剛度對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響進(jìn)行研究，基于圖胞映射法得到系統(tǒng)的全局特性，對(duì)齒輪系統(tǒng)的非線性沖擊進(jìn)行分析。

文獻(xiàn)[17-20]主要對(duì)齒輪系統(tǒng)的周期性進(jìn)行研究。齒輪的嚙合過程涉及輪齒嚙入時(shí)齒面變形、時(shí)變剛度、動(dòng)態(tài)誤差等因素，會(huì)產(chǎn)生齒面嚙合、脫嚙、齒背接觸等3 種狀態(tài)，呈現(xiàn)非線性和非光滑特性。本文通過定義不同的Poincaré 截面，利用最大Lyapunov 指數(shù)圖、分岔圖、相圖和Poincaré 映射圖等數(shù)值計(jì)算結(jié)果，研究系統(tǒng)在不同Poincaré 截面上的分岔和混沌特性，分析齒輪嚙合過程中齒面嚙合、齒背接觸、脫嚙等非光滑現(xiàn)象，為了解齒輪系統(tǒng)的非光滑特性提供思路。

1 直齒圓柱齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

圖1為含齒側(cè)間隙的單自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)簡化物理模型[1，9]。

圖1 單自由度齒輪系統(tǒng)物理模型Fig.1 Physical model of single freedom gear system

圖1中：θi（i=1，2）為兩齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；Ii（i=1，2）為兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rbi（i=1，2）為兩齒輪的基圓半徑；Ti（i = 1，2）為兩齒輪的扭矩；cg為齒輪副的嚙合阻尼；e（t）為綜合傳遞誤差；k（t）為齒輪時(shí)變嚙合剛度；b 為齒側(cè)間隙的50%。系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為[1，9]：

式中：x = rb1θ1+ rb2θ2- e（t）為相對(duì)位移；k（t）= 1 +k cos（ωt）為時(shí)變嚙合剛度[1]，k 為嚙合剛度波動(dòng)幅值；Fh=εω2cos（ωt）為時(shí)變載荷；ζ 為阻尼；ε 為嚙合誤差波動(dòng)幅值；ω 為頻率；F 為無量綱平均扭矩；t 為時(shí)間；f（x）為間隙函數(shù)：

為便于分析，本文取齒側(cè)間隙中點(diǎn)為中心，以主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较?。齒輪副在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中一般有3 種狀態(tài)：當(dāng)相對(duì)位移大于齒側(cè)間隙并且速度為正方向時(shí)，齒輪齒面嚙合，處于嚙合狀態(tài)；當(dāng)相對(duì)位移小于齒側(cè)間隙時(shí)，輪齒脫嚙；否則就發(fā)生齒背接觸。為了研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，定義4 類Poincaré 截面：

（1）時(shí)間Poincaré 映射，通過每隔一個(gè)外激勵(lì)周期2π/ω 取Poincaré 截面得到，也稱為頻閃映射。這種映射適用于周期激勵(lì)系統(tǒng)的周期解的研究，但其缺點(diǎn)是不能給出接觸和碰撞的確切次數(shù)。該截面記為

（2）嚙合面Poincaré 映射，通過相軌線每次到達(dá)嚙合面時(shí)取Poincaré 截面而得到，可以據(jù)此判斷軌線與嚙合面發(fā)生嚙合的次數(shù)。本文選擇相對(duì)位移x=b時(shí)的嚙合面為Poincaré 截面，取嚙合前瞬間建立系統(tǒng)的Poincaré 映射。該映射意味著每迭代一次映射，主動(dòng)輪與被動(dòng)輪發(fā)生一次嚙合。該截面記為

（3）接觸面Poincaré 映射，通過軌線每次到達(dá)接觸面時(shí)取Poincaré 截面而得到，其優(yōu)點(diǎn)是能知道軌線與接觸面的碰撞次數(shù)。本文選擇相對(duì)位移x=-b 時(shí)的接觸面為Poincaré 截面，取接觸前瞬間建立系統(tǒng)的Poincaré 映射。該映射意味著每迭代一次，主動(dòng)輪與被動(dòng)輪發(fā)生一次齒背接觸。該截面可記為：

（4）脫嚙瞬間Poincaré 映射，通過軌線每次離開嚙合面或者接觸面時(shí)取Poincaré 截面而得到，其優(yōu)點(diǎn)是能知道軌線離開嚙合面和接觸面的確切次數(shù)。本文選擇相對(duì)位移x = b 和相對(duì)位移x = -b 時(shí)的截面為Poincaré 截面，取嚙合或者接觸離開的瞬間建立系統(tǒng)的Poincaré 映射。該映射意味著每迭代一次，主動(dòng)輪與被動(dòng)齒輪發(fā)生一次脫嚙。該截面記為：

根據(jù)上述4 種Poincaré 映射，映射σ1可以確定在一個(gè)振動(dòng)周期T=2π/ω 內(nèi)外激勵(lì)的周期數(shù)n，映射σ2可以確定主動(dòng)輪與被動(dòng)輪發(fā)生齒面嚙合的次數(shù)p，映射σ3可以確定主動(dòng)輪與被動(dòng)輪發(fā)生接觸的次數(shù)q，映射σ4可以確定主動(dòng)輪與被動(dòng)輪發(fā)生脫嚙的次數(shù)r。通過分析不同截面中的計(jì)算結(jié)果，即可確定系統(tǒng)的n-pq-r 運(yùn)動(dòng)。

2 齒輪扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

對(duì)于公式（1），參數(shù)取值為ζ=0.05、k=0.2、F=0.1、ε=0.3、b=0.9，考察激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。選擇激勵(lì)頻率范圍ω=[0.5，2.5]，保持其他參數(shù)值不變，用變步長4 階Runge-Kutta 法計(jì)算得到系統(tǒng)隨頻率增加的σ1映射面的分岔圖及對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)（top Lyapunov exponent，TLE），如圖2所示。TLE 大于零的區(qū)域?yàn)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，TLE 小于零的區(qū)域?yàn)橹芷谶\(yùn)動(dòng)，而TLE 等于零時(shí)發(fā)生分岔或激變。由此可以判斷系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖2 隨嚙合頻率增加的σ1 截面分岔圖和TLE圖Fig.2 Bifurcation diagram and TLE spectrum in σ1 section with frequency increasing

圖3—圖5分別為隨嚙合頻率增加的σ2、σ3、σ4截面的分岔圖。

圖3 隨嚙合頻率增加的σ2 截面分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram in σ2 section with frequency increasing

圖4 隨嚙合頻率增加的σ3 截面分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram in σ3 section with frequency increasing

圖5 隨嚙合頻率增加的σ4 截面分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram in σ4 section with frequency increasing

綜合4 種運(yùn)動(dòng)可以得知，齒輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷了一系列復(fù)雜的轉(zhuǎn)遷。當(dāng)嚙合頻率ω 取得較小值時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為如圖2所示的周期1 運(yùn)動(dòng)，由圖3可知，在1個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪發(fā)生1 次嚙合，并且圖4顯示，此時(shí)沒有齒背接觸現(xiàn)象發(fā)生，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪發(fā)生1 次脫嚙，因此，此時(shí)齒輪表現(xiàn)出1-1-0-1 的運(yùn)動(dòng)形式。隨著嚙合頻率的繼續(xù)增加，當(dāng)嚙合頻率增加至ω=0.607 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔變?yōu)橹芷? 運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪發(fā)生嚙合的次數(shù)增加一倍，依然沒有齒背接觸現(xiàn)象發(fā)生，系統(tǒng)發(fā)生2 次脫嚙，表現(xiàn)為2-2-0-2 運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增加嚙合頻率，當(dāng)ω =0.675 時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生倍化分岔變?yōu)橹芷? 運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪嚙合的次數(shù)由2 次變?yōu)? 次，沒有齒背接觸發(fā)生，系統(tǒng)發(fā)生4 次脫嚙，表現(xiàn)為4-4-0-4運(yùn)動(dòng)。當(dāng)嚙合頻率增加至ω=0.691 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)一系列倍化序列通向混沌，齒背接觸開始出現(xiàn)，并且隨著嚙合頻率的增加，激勵(lì)周期、齒面嚙合、齒背接觸和脫嚙都呈現(xiàn)不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。

隨著嚙合頻率的繼續(xù)增加，當(dāng)ω=1.128 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔退化為穩(wěn)定的周期4 運(yùn)動(dòng)，由圖3、圖4和圖5可以看出主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪分別發(fā)生2 次齒面嚙合、2 次齒背接觸以及4 次脫嚙，表現(xiàn)為4-2-2-4 運(yùn)動(dòng)。當(dāng)嚙合頻率增加至ω=1.132 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，激勵(lì)周期、齒面嚙合、齒背接觸以及脫嚙的次數(shù)減半，變?yōu)?-1-1-2 運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增加嚙合頻率，當(dāng)ω=1.253 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔進(jìn)入混沌，各種運(yùn)動(dòng)都呈現(xiàn)出復(fù)雜的情況。

經(jīng)過短暫的混沌運(yùn)動(dòng)后，當(dāng)嚙合頻率ω=1.371時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔退化為周期3 運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪發(fā)生1 次齒面嚙合、2 次齒背接觸以及3 次脫嚙，呈現(xiàn)出3-1-2-3 運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增加嚙合頻率至ω =1.501，系統(tǒng)發(fā)生擦切分岔，如圖6所示，經(jīng)過擦切分岔后的系統(tǒng)齒背接觸和脫嚙的次數(shù)減少1 次，變?yōu)?-1-1-2 運(yùn)動(dòng)。隨著嚙合頻率的繼續(xù)增加，當(dāng)ω =1.596 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)。

圖6 擦切分岔相圖Fig.6 Phase portraits of grazing bifurcation

當(dāng)嚙合頻率增加至ω =1.752 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，變?yōu)榉€(wěn)定的周期6 運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪分別發(fā)生2 次齒面嚙合、2 次齒背接觸和4 次脫嚙，變?yōu)?-2-2-4 運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增加嚙合頻率至ω =1.789時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生逆倍化分岔，各種運(yùn)動(dòng)發(fā)生的次數(shù)減半，變?yōu)?-1-1-2 運(yùn)動(dòng)。隨著嚙合頻率的繼續(xù)增加，當(dāng)ω =2.12 時(shí)系統(tǒng)發(fā)生極短暫的鞍結(jié)分岔后變?yōu)榉€(wěn)定的周期1 運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪分別發(fā)生1 次齒面嚙合和1 次脫嚙，齒背接觸現(xiàn)象消失，變?yōu)?-1-0-1 運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)傳動(dòng)的平穩(wěn)性較高。

值得注意的是，一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)，齒面嚙合和齒背接觸的次數(shù)越多，接觸引起的高噪音、摩擦等不利的效果越明顯。綜上所述，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)嚙合頻率取值為[0.5，0.607]∪[2.12，2.5]時(shí)沒有齒背接觸現(xiàn)象發(fā)生，并且齒面嚙合的次數(shù)較少，對(duì)系統(tǒng)使用壽命的延長最為有利。

2.2 扭矩對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

對(duì)于公式（1），參數(shù)取值ζ=0.05、k=0.2、ω=0.5、ε=0.3、b=1.0，考察扭矩對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。選擇扭矩范圍F∈[0，0.3]，保持其他參數(shù)值不變，可以得到系統(tǒng)的σ1截面分岔圖和其對(duì)應(yīng)的TLE 圖，如圖7所示。

圖7 隨扭矩增加的σ1 截面分岔圖和TLE 圖Fig.7 Bifurcation diagram and TLE spectrum of σ1 section with torque increasing

圖8—圖10分別為隨扭矩增加的σ2、σ3、σ4截面的分岔圖。

圖8 隨扭矩增加的σ2 截面分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of σ2 section with torque increasing

圖9 隨扭矩增加的σ3 截面的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of σ3 section with torque increasing

圖10 隨扭矩增加的σ4 截面的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram of σ4 section with torque increasing

綜合4 種運(yùn)動(dòng)可以得知，隨著扭矩值的增加，齒輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷了一系列復(fù)雜的轉(zhuǎn)遷。當(dāng)扭矩值取得較小值時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)。隨著扭矩值的增加，當(dāng)F=0.05 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過逆倍化分岔，從混沌中退化出來，變?yōu)榉€(wěn)定的周期4 運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)齒輪與被動(dòng)齒輪分別發(fā)生4次齒面嚙合和4 次脫嚙，沒有齒背接觸現(xiàn)象發(fā)生，呈現(xiàn)出4-4-0-4 運(yùn)動(dòng)。隨著扭矩值的繼續(xù)增加，當(dāng)F=0.052 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，所有運(yùn)動(dòng)發(fā)生的次數(shù)均減半，變?yōu)?-2-0-2 運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增加扭矩的值，當(dāng)F =0.064 時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生逆倍化分岔，各種運(yùn)動(dòng)發(fā)生的次數(shù)也隨之減半，由2-2-0-2 運(yùn)動(dòng)變?yōu)?-1-0-1運(yùn)動(dòng)。

圖11為B 點(diǎn)C 點(diǎn)擦切分岔相圖。圖11（a）所示為當(dāng)扭矩值增加至F=0.164 7 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生擦切分岔，擦切分岔會(huì)使齒面嚙合或者齒背接觸的次數(shù)增加一次或者減少一次，經(jīng)過此次擦切分岔，齒背接觸次數(shù)增加1次，變?yōu)?-1-1-2 運(yùn)動(dòng)。隨著扭矩值的繼續(xù)增加，圖11（b）所示為當(dāng)F=0.236 4 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)擦切分岔后齒背接觸現(xiàn)象消失，變?yōu)?-1-0-1 運(yùn)動(dòng)。

圖12為F=0.03 時(shí)不同截面的Poincaré 映射圖，同一個(gè)扭矩在不同截面上，混沌吸引子的形態(tài)大小并不相同。這說明在不同截面上觀察系統(tǒng)，能夠發(fā)現(xiàn)更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為，有利于從更多方面了解齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

圖11 B 點(diǎn)C 點(diǎn)擦切分岔相圖Fig.11 Phase portraits of grazing bifurcation point at B and C

圖12 不同截面的Poincaré 映射圖Fig.12 Poincaré map in different sections

綜上所述，當(dāng)扭矩的取值為[0.064，0.164 7]時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期1 運(yùn)動(dòng)，并且沒有齒背接觸現(xiàn)象發(fā)生，此時(shí)系統(tǒng)的傳動(dòng)比較穩(wěn)定，有利于延長齒輪系統(tǒng)的使用壽命。

3 結(jié) 語

以往在研究齒輪系統(tǒng)的非線性特性時(shí)，一般都采用時(shí)間Poincaré 截面，這樣的選擇能研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)關(guān)于激勵(lì)周期的周期性，但同時(shí)也掩蓋了系統(tǒng)的非光滑特性。本文通過定義齒面嚙合、齒背接觸和脫嚙面的Poincaré 映射，在不同的截面上研究齒輪的運(yùn)動(dòng)特性：

（1）分析系統(tǒng)在不同參數(shù)下的動(dòng)力學(xué)特性，得到系統(tǒng)關(guān)于齒面、齒背和脫嚙面的周期性，即周期激勵(lì)-齒面嚙合-齒背接觸-脫嚙的周期性，發(fā)現(xiàn)了齒輪從周期性和非周期性的相互轉(zhuǎn)換過程中，出現(xiàn)倍化分岔、逆倍化分岔、鞍結(jié)、擦邊分岔等非光滑現(xiàn)象。

（2）將不同截面的分岔圖和Poincaré 截面圖進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)表現(xiàn)出更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

（3）當(dāng)嚙合頻率取值為[0.5，0.607]∪[2.12，2.5]，扭矩的取值為[0.064，0.164 7]時(shí)，齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)比較平穩(wěn)。