潘桂超,田石柱, 2
(1.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院,江蘇蘇州215011; 2.江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇蘇州215011)
近些年來,我國(guó)橋梁工程發(fā)展迅速,在地勢(shì)險(xiǎn)峻的山區(qū),在城市高速公路連接之間,以及在廣闊的海面上,建成了一批結(jié)構(gòu)新穎、技術(shù)復(fù)雜、設(shè)計(jì)和施工難度大、科技含量高的高墩橋梁。為實(shí)現(xiàn)低碳經(jīng)濟(jì),節(jié)約高墩的成本,目前大部分工程都采用空心橋墩[1]254。相同尺寸的空心橋墩與實(shí)心橋墩相比,大大減少了材料用量,具有較高的性價(jià)比[2]??招母叨盏恼駝?dòng)情況與實(shí)體高墩差異較大,對(duì)于鋼筋混凝土空心高墩的振動(dòng)特性的研究,具有重大實(shí)際意義。
目前國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)高墩橋梁的抗震性能進(jìn)行了許多研究,比如: Mander[3]分別以矩形和圓形截面的空心橋墩為研究對(duì)象,通過擬靜力實(shí)驗(yàn)對(duì)其抗震性能進(jìn)行研究。Zahn[4]為了研究鋼筋混土空心橋墩的強(qiáng)度和延性,進(jìn)行了大量的恒軸向力下的橋墩擬靜力實(shí)驗(yàn)。杜修力、Lehman等[1,5]對(duì)12個(gè)鋼筋混凝土空心橋墩進(jìn)行了低周反復(fù)荷載作用下的抗震實(shí)驗(yàn)研究。眾多研究表明,空心橋墩具有良好的抗震能力[6]。
本文從理論公式推導(dǎo)入手,引入壁厚系數(shù)β,推導(dǎo)出模態(tài)頻率fn與壁厚系數(shù)β的函數(shù)關(guān)系,并對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究,探索壁厚對(duì)鋼筋混凝土空心橋墩振動(dòng)特性影響的規(guī)律。通過Abaqus軟件的Lanczos算法對(duì)不同橫截面形式、不同壁厚系數(shù)β的鋼筋混凝土空心高墩實(shí)體模型、線單元模型進(jìn)行模態(tài)分析,提取前三階自振頻率與理論計(jì)算值對(duì)比分析,驗(yàn)證其振動(dòng)特性變化規(guī)律的準(zhǔn)確性。
模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性一種常用方法,在工程振動(dòng)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。模態(tài)是指工程結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性,每一個(gè)模態(tài)都有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型[7—8]。分析這些模態(tài)參數(shù)的過程稱為模態(tài)分析。
對(duì)于不考慮阻尼影響下的一般結(jié)構(gòu)而言,其基本運(yùn)動(dòng)方程[9]可表示為
(1)
式中:x為位移向量,[M]、[K]分別為結(jié)構(gòu)固有的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。
鋼筋混凝土空心墩可以近似簡(jiǎn)化為一個(gè)具有相當(dāng)彈性模量的均勻等效的彈性結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析。相當(dāng)彈性模量[10]為
(2)
式中:ES、IS分別為鋼筋對(duì)中性軸的彈性模量、慣性矩;EC、IC分別為混凝土對(duì)原點(diǎn)的彈性模量、慣性矩;I為均勻材料對(duì)中性軸的慣性矩。
本文研究的鋼筋混凝土空心高墩結(jié)構(gòu)是一個(gè)高柔的結(jié)構(gòu),其邊界條件為一端固結(jié),一端自由。若只考慮其水平方向的位移和截面轉(zhuǎn)角變形,忽略剪切變形的影響,則鋼筋混凝土空心高墩的運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化成
(3)
根據(jù)懸臂梁的邊界條件(固接端x=0;自由端x=L,L為墩高),求得懸臂梁的自振圓頻率:
(4)
式中:a1L=1.875;a2L=4.694;a3L=7.855;
基于前面的均勻等效的假定,將鋼筋混凝土橋墩視為一個(gè)具有相當(dāng)彈性模量的均勻等效的彈性結(jié)構(gòu),由式(4)知anL是常數(shù),若橋墩的高度、材料再確定,則E、L以及密度ρ也是常數(shù),式(4)可簡(jiǎn)化為
(5)
以圓形為例,令壁厚系數(shù)
式中:D為大圓直徑;d為小圓直徑;B為壁厚。
將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(5),化簡(jiǎn)得
(6)
(7)
以矩形為例,本文只考慮提取順橋向(即X方向)前三階自振頻率。
令壁厚系數(shù)
式中:b、h分別為大矩形的底長(zhǎng)、高;b′、h′分別為小矩形的底長(zhǎng)、高;Bb為矩形底長(zhǎng)方向(即X方向)的壁厚;Bh為矩形高方向的壁厚。
將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(7),并化簡(jiǎn)得
(8)
(9)
當(dāng)b=h時(shí),矩形為正方形,式(8)、(9)仍成立。
自振頻率
(10)
綜上所述:當(dāng)β<1時(shí),圓形、矩形兩種截面形式的空心高墩的自振頻率fn也是關(guān)于壁厚系數(shù)β的單調(diào)遞減函數(shù);當(dāng)β=1時(shí),fn=0。
本文利用Abaqus軟件建立了24組不同截面形式、不同壁厚系數(shù)β的鋼筋混凝土空心高墩實(shí)體單元模型,并加以相同的邊界條件(一端固結(jié)、一端自由)進(jìn)行模態(tài)分析。模型截面類型分別為圓形(R=2 m)、正方形(4 m×4 m)、長(zhǎng)方形(3 m×5 m)。各截面有限元模型橋墩特性詳細(xì)數(shù)據(jù)如下:墩高為50 m;配筋率為1.5%;配箍率為1.20%;壁厚系數(shù)β分別為0.2、0.25、0.35、0.4、0.45、0.6、0.8、1。各截面形式空心高墩配筋如圖1所示。
(a)圓形
(b)正方形
(c)長(zhǎng)方形
(d)墩身
圖1 各截面形式空心墩配筋圖(單位:cm)
空心橋墩的質(zhì)量和剛度會(huì)影響其自振頻率和振型。本文中所有的空心高墩均采用C40混凝土和SOLID65單元,混凝土的材料參數(shù)為密度2.5×103kg·m-3、彈性模量3.25×1010Pa、泊松比0.2。鋼筋材料屬性見表1。
表1 鋼筋材料屬性
在模態(tài)分析中,因振動(dòng)被假定為自由振動(dòng),所以只有邊界條件起作用,其他荷載對(duì)結(jié)構(gòu)分析結(jié)果沒有影響。在Abaqus中具體實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單,設(shè)置分析步為線性攝動(dòng)步(liner perturbation)中的頻率提取分析步(frequency extraction)。本文這里只提取前三階順橋向的自振頻率[11—12]。具體數(shù)據(jù)見表2。
由于鋼筋混凝土空心高墩是一個(gè)長(zhǎng)細(xì)比較大的結(jié)構(gòu),如果截面方向上應(yīng)力影響可以忽略,采用線單元模型將會(huì)避免實(shí)體模型網(wǎng)格劃分過程中發(fā)生畸變的問題,并且在計(jì)算速度上有較大的提高。本文在實(shí)體單元模型的基礎(chǔ)上建立對(duì)應(yīng)的線單元模型進(jìn)行計(jì)算分析,具體數(shù)據(jù)見表3。
表3 線單元模型前三階自振頻率
基于前面假定,將鋼筋混凝土空心高墩視作均勻等效的彈性結(jié)構(gòu),其相當(dāng)彈性模量E≈3.57×1010Pa。運(yùn)用公式(4),計(jì)算各截面形式的空心高墩順橋向的前三階自振圓頻率,換算成自振頻率。詳細(xì)數(shù)據(jù)見表4。
表4 理論計(jì)算模型前三階自振頻率
針對(duì)上述不同截面形式鋼筋混凝土空心高墩實(shí)體結(jié)構(gòu)模型,本文對(duì)其前三階順橋向自振頻率進(jìn)行研究分析。由表2可見,前三階自振頻率隨著壁厚系數(shù)β減小而增大。這驗(yàn)證了前面理論推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確性。另外,研究發(fā)現(xiàn),隨著壁厚系數(shù)β減小,空心高墩的質(zhì)量也大幅度減小,并且自振頻率f增幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不過質(zhì)量的降幅,如圖2所示。
(a)圓形實(shí)體模型
(b)正方形實(shí)體模型
(c)長(zhǎng)方形實(shí)體模型圖2 不同截面實(shí)體模型自振頻率及墩身質(zhì)量變化
以質(zhì)量變化差異較大的正方形截面空心高墩模型為例,壁厚系數(shù)β從1.0降到0.2時(shí),第一階頻率f1從0.153 Hz增至0.188 Hz,僅增加了0.035 Hz,增幅約為22.8%,但是質(zhì)量卻從2 000 t降到720 t,下降了1 280 t,降幅達(dá)到了64%。這在工程設(shè)計(jì)中有比較大的指導(dǎo)意義,當(dāng)橋墩的墩高、截面尺寸確定,在滿足安全承載力的前提下,可以通過縮減壁厚的方式,大幅度降低混凝土用量,并且保證高墩前幾階主頻率變化不大,達(dá)到降低成本的目的。
線單元模型是在忽略截面方向的應(yīng)力、應(yīng)變影響的前提下,對(duì)實(shí)體模型的一種簡(jiǎn)化,以便快速得到結(jié)構(gòu)的主頻率。各截面形式空心高墩的線單元模型相對(duì)于實(shí)體模型的前三階自振頻率誤差如表5所示。可以發(fā)現(xiàn)絕大部分誤差都控制在6%以內(nèi),但是有小部分?jǐn)?shù)據(jù)誤差在14%左右,這小部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在壁厚系數(shù)β為0.8至1之間,再進(jìn)一步分析表4,發(fā)現(xiàn)當(dāng)壁厚系數(shù)β為1.0時(shí),結(jié)構(gòu)的自振頻率卻增大,不符合自振頻率隨壁厚系數(shù)增大而降低這一變化規(guī)律。分析原因,當(dāng)壁厚系數(shù)β在0.8至1之間時(shí),壁厚約占高度的3/50,截面面積甚至達(dá)到10 m2至16 m2,截面方向的應(yīng)力、應(yīng)變影響無法忽略,所以這2組數(shù)據(jù)的誤差較大。除去壁厚系數(shù)β為0.8和1.0這2組不太準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),整體上線單元模型也反映出前三階自振頻率隨著壁厚系數(shù)β增大而降低這一變化規(guī)律。雖然線單元模型在壁厚系數(shù)β為0.8和1的2組誤差較大,但是相對(duì)于薄壁空心高墩而言,采用線單元模型可以快速計(jì)算結(jié)構(gòu)的前幾階自振頻率,誤差也在允許范圍內(nèi)。
理論計(jì)算模型是基于這樣的假定:鋼筋混凝土空心高墩可以視作一個(gè)具有相當(dāng)彈性模量的均勻等效的彈性結(jié)構(gòu),并且可以忽略剪切變形,只考慮其水平方向的位移和截面轉(zhuǎn)角變形,其運(yùn)動(dòng)為平面彎曲,符合平截面假定。因此,理論計(jì)算值與有限元實(shí)體模型存在一定的誤差(見表6)。
表5 線單元模型前三階自振頻率誤差
表6 理論計(jì)算模型前三階自振頻率誤差
表6中數(shù)據(jù)顯示:第一階頻率f1的理論計(jì)算值誤差均為負(fù)值,即有限元實(shí)體模型的第一階頻率高于理論計(jì)算值。這主要是由于有限元實(shí)體模型計(jì)算結(jié)果是基于Abaqus軟件的Lanczos算法。Lanczos算法本質(zhì)上是向量反迭代法和Rayleigh-Ritz法結(jié)合的一種方法[13],而理論計(jì)算模型的計(jì)算方法是基于歐拉-伯努利梁理論。相關(guān)研究表明:Rayleigh-Ritz法求得懸臂梁的一階固有頻率要比歐拉-伯努利梁理論求得的一階固有頻率偏大,這與本文得到的結(jié)果相一致。從誤差角度分析,第一階頻率誤差最小的是長(zhǎng)方形截面形式、壁厚系數(shù)β為0.6的有限元實(shí)體模型,其f1為0.117 Hz,而理論計(jì)算值為0.112 Hz,比前者減少了0.005 Hz。第一階頻率誤差最大的是正方形截面形式、壁厚系數(shù)β為1的有限元實(shí)體模型,其f1為0.153 Hz,而理論計(jì)算值為0.138 Hz,比前者減少了0.015 Hz。總體看來,誤差都在允許范圍內(nèi)。
從表4可以看出,3種不同截面形式鋼筋混凝土空心墩理論計(jì)算模型的前三階頻率隨著壁厚系數(shù)的增大而降低。這驗(yàn)證了前面的理論推導(dǎo)結(jié)論。
本文研究了壁厚因素對(duì)鋼筋混凝土空心高墩振動(dòng)特性的影響。通過對(duì)不同壁厚系數(shù)β的鋼筋混凝土空心高墩實(shí)體模型、線單元模型、理論模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析,得出以下結(jié)論。
1)當(dāng)墩高、截面形式確定時(shí),通過理論公式推導(dǎo)出,鋼筋混凝土空心墩的模態(tài)頻率fn是關(guān)于壁厚系數(shù)β的一元函數(shù),且該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),即隨著壁厚系數(shù)β的增大,鋼筋混凝土空心墩的模態(tài)頻率fn降低。
2)隨著壁厚系數(shù)β降低,空心高墩的質(zhì)量大幅度降低,自振頻率fn卻微小幅度提高。這在工程設(shè)計(jì)中有比較大的指導(dǎo)意義,在滿足安全承載力的前提下,減少壁厚,不僅節(jié)省材料,而且對(duì)結(jié)構(gòu)的整體剛度影響不大,這也是目前高墩大跨橋梁多采用薄壁空心墩的原因之一。
3)通過對(duì)比實(shí)體模型和線單元模型計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn):薄壁空心高墩結(jié)構(gòu)可以采用線單元模型計(jì)算其前幾階自振頻率,不僅可以避免實(shí)體模型建立復(fù)雜、網(wǎng)格劃分容易出現(xiàn)畸變的問題,還可以大幅度縮短計(jì)算時(shí)間,誤差也在允許范圍內(nèi)。
4)通過對(duì)比實(shí)體模型和理論模型計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn):基于歐拉-伯努利梁理論的理論計(jì)算模型可以簡(jiǎn)化的計(jì)算薄壁空心高墩結(jié)構(gòu)前幾階自振頻率,其計(jì)算的第一頻率一般低于實(shí)體模型數(shù)值模擬的計(jì)算值,但是誤差在允許范圍內(nèi)。