周海宇,牟 航,韓 峰

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院,蘭州 730070)

引言

軌道幾何不平順是車輛振動(dòng)和輪軌動(dòng)力作用的根本原因之一[1]，它對(duì)平穩(wěn)舒適的乘車和行車安全有著重要的影響。這是直接制約列車速度的主要因素。軌道幾何不平順，特別是復(fù)合不平順對(duì)行車舒適性和安全性的危害比單軌高、低不平順的危險(xiǎn)性更大[2-3]。日本學(xué)者認(rèn)為不同類型的復(fù)合不平順對(duì)車輛安全有不利影響[4]。張向民等以青藏鐵路作為研究對(duì)象，分析了高原地區(qū)無縫線路在不同因素作用下的穩(wěn)定性[5-7]；馬旭峰[8]、胡志鵬[9]、王平[10-11]等研究了初始不平順與高墩橋梁基礎(chǔ)條件變化對(duì)無縫線路穩(wěn)定性的影響；李萌、戴齊利用模型預(yù)測(cè)出復(fù)合不平順的標(biāo)準(zhǔn)差，可用于不平順管理的研究[12]；張輝、姚林泉等研究了軌道復(fù)合不平順對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的影響[13]；馮青松等通過建立有限元模型對(duì)無縫線路穩(wěn)定性進(jìn)行了分析[14-15]。但是這些研究并未對(duì)溫度力作用下軌道復(fù)合不平順對(duì)于無縫線路穩(wěn)定性的變形影響進(jìn)行定量分析。本文建立了軌道的非線性有限元模型，分析了軌道復(fù)合不平順橫向位移的發(fā)展規(guī)律，對(duì)線路維護(hù)和無縫線路的設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。

1 力學(xué)模型及有限元計(jì)算方法

1.1 力學(xué)模型

在軌道模型中，軌道框架結(jié)構(gòu)以彈性梁?jiǎn)卧獊泶?，鋼軌被每?jī)蓚€(gè)相鄰軌枕劃分為多個(gè)鋼軌梁?jiǎn)卧每v、橫、豎向彈簧約束模擬軌枕與扣件系統(tǒng)，用轉(zhuǎn)動(dòng)約束彈簧模擬扣件對(duì)長(zhǎng)鋼軌的扭轉(zhuǎn)約束[16]。根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到，扣件縱向剛度為1.5×104N/mm，橫向剛度為3.0×104N/mm；道床的橫向剛度為1 500 N/mm，縱向剛度為2 500 N/mm，豎向剛度為3 200 N/mm。對(duì)軌道框架模型施加正弦型波型初始不平順，考慮長(zhǎng)鋼軌兩端扭轉(zhuǎn)位移與長(zhǎng)鋼軌縱橫向位移的離散型[17-18]，將模型兩端約束簡(jiǎn)化為固定約束。本文建立60 kg/m鋼軌、彈條Ⅱ型扣件、混凝土Ⅱ型軌枕、1 840根/km軌枕、曲線半徑800 m的模型。忽略軌道床的彈性扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，分別對(duì)每個(gè)軌道節(jié)點(diǎn)施加縱向、水平和垂直彈簧約束。在直線中間有一個(gè)正弦初始不平順，初始不平順矢量f0=4 mm，其中彈性初始彎曲foe=1 mm，塑性初始彎曲fop=3 mm，波長(zhǎng)L0=4 m。如圖1所示，鋼軌節(jié)點(diǎn)編號(hào)從左至右分別為1～15號(hào)節(jié)點(diǎn)，其中1號(hào)和15號(hào)節(jié)點(diǎn)為固定端約束?？奂椈珊偷来矎椈杉s束示意如圖2所示。

圖1 三維軌道框架模型

圖2 扣件、道床彈簧約束示意

1.2 非線性有限元原理

在求解非線性問題時(shí)，一般可以將荷載與非線性位移的關(guān)系看作一連串線性響應(yīng)的組合。于是，需要求出梁端力增量和梁端位移增量之間的關(guān)系，而單元切線剛度就可以表達(dá)這種關(guān)系[19]。在三維坐標(biāo)系統(tǒng)下，根據(jù)最小勢(shì)能原理，從梁的非線性幾何方程出發(fā)，即可以導(dǎo)出空間梁?jiǎn)卧膸缀畏蔷€性剛度矩陣。

1.3 無縫線路非線性有限元求解步驟

采用牛頓-拉斐遜方法求解，其迭代公式為

1)

式中，m為迭代過程中的第m步；[KT]m為第m步迭代前切線剛度；{Δδm+l}為第m步迭代后位移增量；{Δpm+l}為第m步迭代后力增量；{δm}為第m步迭代后位移值；{δm}為第m步迭代前位移。

無縫線路非線性有限元求解步驟如下。

(1)量測(cè)線路不平順，根據(jù)實(shí)測(cè)結(jié)果為梁端初始位移賦值。

(2)按線性分析得到結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的位移初值。

(3)在各梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系中構(gòu)建各梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣。

(4)將各梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣及單元節(jié)點(diǎn)力轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的切線剛度矩陣及單元節(jié)點(diǎn)力。

(5)組剛生成結(jié)構(gòu)的整體切線剛度矩陣及節(jié)點(diǎn)力向量。

(6)計(jì)算不平衡力。

(7)按式(1)求解位移增量。

(8)將位移增量疊加到結(jié)構(gòu)位移向量中。

2)

式中，e為收斂精度。

1.4 路基沉降對(duì)軌道穩(wěn)定性的影響

由于鋼軌水平不平順主要原因與路基沉降有關(guān)，文獻(xiàn)[20]對(duì)路基沉降與鋼軌橫向位移的關(guān)系做了較為詳細(xì)的分析，本文不再贅述。

2 雙軌單節(jié)點(diǎn)復(fù)合不平順

取模型內(nèi)軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)，使其分別向曲線內(nèi)側(cè)方向和曲線外側(cè)方向偏移2 mm(后文及圖表中簡(jiǎn)化為向內(nèi)側(cè)和向外側(cè)偏移)，與模型外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)分別上浮和下沉2 mm的情況結(jié)合，組成4種軌道復(fù)合不平順的工況如下。

(1)工況1：內(nèi)軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移，外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(2)工況2：內(nèi)軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(3)工況3：內(nèi)軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移，外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(4)工況4：內(nèi)軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

利用模型模擬4種工況下升溫40 ℃時(shí)的鋼軌橫向位移值，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

2.1 外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮

由圖3可知，在工況1中，內(nèi)軌橫向位移在8號(hào)節(jié)點(diǎn)處出現(xiàn)最大值，受外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮影響，除8號(hào)節(jié)點(diǎn)外，外軌橫向位移均大于內(nèi)軌。內(nèi)軌最大橫向位移值為3.80 mm，外軌橫向位移在7號(hào)節(jié)點(diǎn)取得峰值，最大橫移值為3.75 mm。

工況2中，內(nèi)外軌橫向位移均在8號(hào)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)峰值，由于內(nèi)軌向曲線內(nèi)側(cè)偏移，曲線線形突變，形成反彎，而外軌通過彈簧單元約束傳遞內(nèi)軌偏移量，但傳遞值受彈簧剛度影響而衰減，所以其最終偏移量小于內(nèi)軌。內(nèi)軌向曲線內(nèi)側(cè)最大橫向位移值為3.8 mm，向曲線外側(cè)最大橫向位移值為1.09 mm。外軌向曲線內(nèi)側(cè)最大橫移值為1.29 mm，向曲線外側(cè)最大橫向位移值為1.06 mm。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況1較為不利。

圖3 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況1、工況2)

2.2 外軌8號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉

由圖4可知，在工況3中，內(nèi)外軌橫向位移均在8號(hào)節(jié)點(diǎn)處出現(xiàn)最大值。內(nèi)軌最大橫向位移值為3.80 mm，外軌最大橫移值為3.14 mm。

在工況4中，內(nèi)外軌橫向位移均在8號(hào)節(jié)點(diǎn)處出現(xiàn)最大值。內(nèi)軌向曲線內(nèi)側(cè)最大橫向位移值為3.80 mm，內(nèi)軌向曲線外側(cè)最大橫移值為0.98 mm。外軌向曲線內(nèi)側(cè)最大橫移值為0.66 mm，向曲線外側(cè)最大橫移值為1.01 mm。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況3較為不利。

圖4 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況3、工況4)

3 雙軌雙節(jié)點(diǎn)復(fù)合不平順

當(dāng)短距離的軌道內(nèi)發(fā)生兩組復(fù)合不平順時(shí)，對(duì)行車的安全性影響更加顯著，下文對(duì)此種情況進(jìn)行具體分析。由文獻(xiàn)[20]可知，鋼軌發(fā)生下沉對(duì)無縫線路的穩(wěn)定性沒有產(chǎn)生不利影響，故不作具體分析。

3.1 單根鋼軌上兩處病害類型相同

取內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)分別發(fā)生2 mm軌向位移，取外軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)分別發(fā)生2 mm豎向位移，組成7種軌道復(fù)合不平順的工況如下。

(1)工況5：內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移，外軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(2)工況6：內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(3)工況7：內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(4)工況8：內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(5)工況9：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(6)工況10：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(7)工況11：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

利用模型模擬7種工況下升溫40 ℃的鋼軌橫向位移值，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1.1 內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移

由圖5可知，在工況5中，受外軌4號(hào)、12節(jié)點(diǎn)上浮影響，內(nèi)軌橫向位移在5、11號(hào)節(jié)點(diǎn)處取得兩次峰值，其值分別為4.23 mm和4.09 mm。外軌橫向位移在7號(hào)節(jié)點(diǎn)處取得最大值，為4.09 mm。

在工況6中，內(nèi)外軌橫向位移變化趨勢(shì)與工況5大致相同，其中內(nèi)軌在5號(hào)節(jié)點(diǎn)和11號(hào)節(jié)點(diǎn)處的橫向位移峰值分別為4.11 mm和3.81 mm，外軌橫向位移最大值為3.72 mm。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況5較為不利。

圖5 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況5、工況6)

3.1.2 內(nèi)軌4號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移

由圖6可知，在工況7中，內(nèi)外軌橫向位移值均先向曲線內(nèi)側(cè)方向變大，至4號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到峰值，隨后受溫度力影響減小至0后反向增大，至8號(hào)節(jié)點(diǎn)，隨后減小至0后再向曲線內(nèi)側(cè)方向變大，至12號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到峰值，隨后減小至0。其中，內(nèi)軌4號(hào)、8號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)橫向位移值分別為3.8，0.90，3.8 mm，外軌4號(hào)、8號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)橫向位移值分別為0.88，0.53，1.27 mm。

在工況8中，內(nèi)外軌橫向位移變化趨勢(shì)與工況7基本相同。其中，內(nèi)軌4號(hào)、8號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)橫向位移值分別為3.80，0.81，3.80 mm，外軌4號(hào)、8號(hào)、12號(hào)節(jié)點(diǎn)橫向位移值分別為0.90，0.69，0.72 mm。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況7與工況8相差不多。

圖6 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況7、工況8)

3.1.3 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移(圖7)

圖7 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況9)

由圖7可知，在工況9中，內(nèi)軌受內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)和外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)制位移影響，其橫向位移先向曲線外側(cè)方向增大，至5號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到峰值，受溫度力及內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)制位移影響，其橫向位移值先減小至0，再反向增大至12號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到峰值，隨后減小至0。外軌橫向位移值變化趨勢(shì)與內(nèi)軌大致相同，其峰值分別在6號(hào)和12號(hào)節(jié)點(diǎn)處。

在工況10和工況11中，其內(nèi)外軌變化趨勢(shì)與工況9基本相同。3種工況內(nèi)外軌橫向位移峰值見表1。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況9較為不利。

表1 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)

3.2 單根鋼軌上兩處病害類型不同時(shí)

取內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)發(fā)生2 mm軌向位移，取外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)發(fā)生2 mm豎向位移，組成7種軌道復(fù)合不平順的工況如下。

(1)工況12：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(2)工況13：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(3)工況14：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(4)工況15：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(5)工況16：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

(6)工況17：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉。

(7)工況18：內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移，外軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)下沉、內(nèi)軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)上浮。

利用模型模擬7種工況下升溫40 ℃的鋼軌橫向位移值，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

3.2.1 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移

由圖8可知，在工況12中，內(nèi)外軌橫向位移均先變大后變小，內(nèi)、外軌分別在7號(hào)、8號(hào)節(jié)點(diǎn)處達(dá)到峰值，內(nèi)軌橫向位移最大值為5.84 mm，外軌橫向位移最大值為5.76 mm。

在工況13中，內(nèi)軌橫向位移在5號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到峰值，其值為4.24 mm。外軌橫向位移分別在7號(hào)、11號(hào)節(jié)點(diǎn)處達(dá)到峰值，其值分別為4.05，4.25 mm。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況12較為不利。

圖8 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況12、工況13)

3.2.2 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移

由圖9可知，在工況14中，內(nèi)軌橫向位移先向曲線內(nèi)側(cè)方向變大至4號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到最大值，隨后受溫度力影響減小至0后反向增大，至8號(hào)節(jié)點(diǎn)處受12號(hào)節(jié)點(diǎn)橫向強(qiáng)制位移影響變小至0后，向曲線內(nèi)側(cè)方向增大至12號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到最大值，最后減小至0。外軌橫向位移變化規(guī)律與內(nèi)軌大致相同。

在工況15中，內(nèi)外軌變化趨勢(shì)與工況14基本相同。兩種工況橫向位移峰值見表2。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況14較為不利。

圖9 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況14、工況15)

表2 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)、外軌12號(hào)節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移時(shí)內(nèi)外軌橫向位移峰值 mm

3.2.3 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、外軌12節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移

由圖10可知，在工況16中，內(nèi)軌橫向位移先增大至6號(hào)節(jié)點(diǎn)，隨后減小至0后，反向增大至12節(jié)點(diǎn)，最后減小至0。外軌橫向位移變化規(guī)律與內(nèi)軌大致相同。

在工況17和工況18中，內(nèi)外軌橫向位移變化趨勢(shì)與工況16基本相同，其3種工況橫向位移峰值見表3。將內(nèi)外軌位移綜合比較，工況16較為不利。

圖10 鋼軌節(jié)點(diǎn)橫向位移(工況16、工況17)

表3 內(nèi)軌4號(hào)節(jié)點(diǎn)向外偏移、外軌12節(jié)點(diǎn)向內(nèi)偏移時(shí)內(nèi)外軌橫向位移峰值 mm

4 結(jié)論

本文研究了復(fù)合軌道不平順條件下長(zhǎng)鋼軌的變形模式。在軌道框架橫向位移和豎向位移的條件下，建立三維軌道框架的非線性有限元模型，計(jì)算鋼軌節(jié)點(diǎn)位移，對(duì)幾種不同軌向病害工況進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論。

(1)當(dāng)無縫線路出現(xiàn)軌道復(fù)合不平順病害時(shí)，鋼軌的橫向位移值增加，軌道穩(wěn)定性減弱。

(2)對(duì)比上述軌道復(fù)合不平順工況，當(dāng)在短距離內(nèi)，內(nèi)軌、外軌分別發(fā)生2處病害，且單根鋼軌上2處病害分別為軌向不平順和高低不平順，即三角坑時(shí)，其內(nèi)軌、外軌橫向位移最大值分別為5.84，5.76 mm，為幾種工況中的最大值。此時(shí)，內(nèi)軌、外軌橫向位移是初始升溫40 ℃工況時(shí)的2.7倍。鐵路線路養(yǎng)護(hù)維修中應(yīng)注意軌道復(fù)合不平順，特別是發(fā)生三角坑病害的整治與預(yù)防。