王博豪 張 勇 徐偉程 郭 錦

(1.南京航空航天大學自動化學院，南京 210016；2.南京航空航天大學無人機研究院，南京 210016；3.中小型無人機先進技術(shù)工業(yè)和信息化部重點實驗室，南京 210016)

1 引 言

當下無人機發(fā)展勢頭迅猛，無人機按照飛行平臺機構(gòu)可分為固定翼無人機、旋翼無人機、無人飛艇、傘翼無人機、撲翼無人機等[1]。其中近年來固定翼無人機和旋翼無人機因飛行特性好、穩(wěn)定性高發(fā)展尤為迅速。多旋翼無人機前飛速度較慢，而且由于現(xiàn)有電池容量有限，航程和航時受到限制。固定翼無人機擁有較快的前飛速度，固定翼無人機航時和航程是多旋翼無人機的二到三倍，但是起飛和降落一般采用滑跑起飛的方式，在應(yīng)用時往往會受到場地的影響而無法使用。

為解決固定翼無人機和旋翼無人機的缺點，混合翼垂直起降無人機應(yīng)運而生?；旌弦泶怪逼鸾禑o人機相對傾轉(zhuǎn)旋翼無人機具有結(jié)構(gòu)簡單的特點，只需要在原來固定翼結(jié)構(gòu)上加裝旋翼部分即可。對復合式垂直起降無人機過渡過程定性的建立了六自由度動力學方程，提出了一種過渡方案，對一些典型的技術(shù)問題，提出了相應(yīng)的對策；對旋翼和固定翼分別建模，采用旋翼只提供升力不產(chǎn)生力矩的控制策略，為保證無人機姿態(tài)讓無人機總升力與重力相等，僅通過控制固定翼的舵面控制無人機姿態(tài)，但由于轉(zhuǎn)換初期速度較低，機翼尾翼調(diào)整能力有限，旋翼提供升力不產(chǎn)生力矩，導致前期姿態(tài)波動較大；對垂直起降模式和固定翼模式分別建模，在過渡過程起始階段僅依靠旋翼部分提供前飛和保持姿態(tài)穩(wěn)定，在達到合理的速度后直接切換為固定翼模式，但旋翼和固定翼為兩個完全不同的模型，直接切換會使系統(tǒng)輸入和狀態(tài)量產(chǎn)生突變，無法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文在過渡過程中旋翼部分和固定翼部分同時對無人機施加力和力矩，將旋翼部分和固定翼部分進行整體建模，建立了過渡過程旋翼和固定翼共同控制無人機狀態(tài)的六自由度模型，然后對縱向運動模型進行配平和小擾動線性化，并對得到的縱向過渡過程模型進行穩(wěn)定性分析，最后設(shè)計了基于增益調(diào)度的LQR全狀態(tài)反饋控制器。通過仿真驗證，所設(shè)計的控制器能夠滿足設(shè)計要求。

2 數(shù)學建模

由于旋翼部分和固定翼部分的控制面和系統(tǒng)輸入均不同，導致兩模型差異較大。在前飛速度增大的轉(zhuǎn)換過程中，切換兩個模型會使無人機狀態(tài)發(fā)生突變，無法保證無人機的穩(wěn)定性。將旋翼和固定翼整體建模，讓旋翼和固定翼共同控制無人機姿態(tài)，使過渡過程更加平緩，并保證過渡過程的穩(wěn)定性。

混合翼垂直飛降無人機試驗樣機如圖1所示。

圖1 混合翼垂直起降無人機試驗樣機Fig.1 Hybrid wing vertical take-off and landing unmanned aircraft test prototype

對于無人機平動有

(1)

將上式展開得

(2)

式中：Fx、Fy、Fz——分別為無人機在機體坐標系下沿機體軸方向受力的分量；u、v、w——分別為沿機體坐標軸方向上的速度分量；p、q、r——分別為沿機體坐標軸各方向上的角度分量。

(3)

式中：Ffx、Ffy、Ffz——分別為固定翼在機體軸三個方向上的分力；Fxz、Fyz、Frz——分別為旋翼在機體軸三個方向上產(chǎn)生的升力[6]。

對于無人機繞質(zhì)心的運動有

(4)

(5)

式中：L、M、N——無人機受力矩在機體坐標軸上的投影；J——慣性矩陣。

(6)

式中：lf、mf、nf——分別為固定翼產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩；lr、mr、nr——分別為旋翼產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩。

過渡過程縱向運動方程組為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：T——固定翼推力；D——無人機所受阻力；α——迎角;θ——俯仰角;V——慣性坐標系前飛速度。

復合式垂直起降無人機的前飛速度是過渡過程中的重要特征參數(shù)，無人機過渡過程前飛速度由0加速，加速到固定翼起飛速度即18m/s，隨著速度的增大，固定翼機翼產(chǎn)生的升力越來越大，需要給定相應(yīng)的旋翼油門保持合理的飛行姿態(tài)。將縱向運動方程組在速度V=[0,18]m/s范圍內(nèi)進行配平，并對配平狀態(tài)進行線性化，線性擬合得到關(guān)于前飛速度V的狀態(tài)空間表達式

(12)

系統(tǒng)狀態(tài)X=[Vαqhθ],輸入U=[teT1T2]。其中t為固定翼油門，e為升降舵輸入，T1、T2分別為前邊一對和后邊一對的旋翼油門。

由圖2可以看出，在前飛速度V=[0,18]m/s范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在實部大于0的特征根，即在速度變化過程中存在不穩(wěn)定狀態(tài)。不同前飛速度系統(tǒng)狀態(tài)相差較大，傳統(tǒng)的線性時不變控制器無法得到滿意的控制效果。

圖2 不同狀態(tài)下系統(tǒng)特征根在復平面分布Fig.2 Distribution of the eigenvalues of the system in the complex plane under different states

3 控制器設(shè)計

由以上對系統(tǒng)特征值分析可知，單一的線性控制器無法使系統(tǒng)在參數(shù)進行大范圍變化時得到良好的跟蹤效果。采用基于LQR的增益調(diào)度策略設(shè)計控制器，將系統(tǒng)參數(shù)變化較大的非線性系統(tǒng)分成多個部分，降低系統(tǒng)參數(shù)的變化范圍，然后在各部分進行配平和線性化，得到相應(yīng)的線性時不變系統(tǒng)，針對各個線性時不變系統(tǒng)設(shè)計LQR控制器。線性時不變控制器能夠在一定范圍內(nèi)對非線性系統(tǒng)進行良好的控制，根據(jù)非線性系統(tǒng)的參數(shù)變化，來切換相應(yīng)的線性控制器，從而控制整個非線性系統(tǒng)[7～10]。

對于各部分能控能觀線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程有如下形式

(13)

式中：X∈Rn——n維狀態(tài)向量;Y∈Rm——m維輸出向量;U∈Rr——r維控制向量;A0，B0，C0，D0——分別為n×n維，n×m維，m×n維，m×r維常數(shù)矩陣[11]。

為使前飛速度和高度跟蹤指令信號，令前飛速度和高度輸出y=(V,h)和指令信號yr=(Vr,hr)的誤差為

e=yr-y

(14)

設(shè)計能量函數(shù)J

(15)

式中:Q、R——分別為n×n維，m×m維對角矩陣;Q——半正定矩陣;R——正定矩陣。目標函數(shù)的意義在于使用較小的輸入量使得系統(tǒng)的狀態(tài)量有盡可能小的誤差，所以當取得能量函數(shù)J最小時，目標成立[12～14]。

為了讓能量函數(shù)最小，需要引入λ構(gòu)造Hamilton函數(shù)

(16)

通過解Riccati方程和n維向量得

(17)

(18)

系統(tǒng)的輸入為

(19)

則狀態(tài)反饋增益矩陣可以表示為

(20)

系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤軌跡線是以下微分方程的解

(21)

以前飛速度V=15m/s，高度h=10m為例，對系統(tǒng)進行配平和小擾動線性化，得到無人機在該狀態(tài)下的縱向系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣

選取控制系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的權(quán)重矩陣Q=diag(1,1,1,1,1)，和系統(tǒng)輸入有關(guān)的權(quán)重矩陣R=diag(1,1,1,1)，通過計算得到系統(tǒng)的反饋增益K

同理，為使過渡過程相對平滑，在定高狀態(tài)下，選取前飛速度為3m/s，6m/s，9m/s，12m/s，15m/s，作為無人機工作點進行配平。在各配平點采用設(shè)計相應(yīng)的控制器。通過切換控制器來實現(xiàn)以前飛速度為參考的增益調(diào)度?？刂平Y(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Controller structure

系統(tǒng)初始狀態(tài)X=[0;0;0;10;0]。前飛速度設(shè)定為斜率為3的斜坡信號，達到18m/s時保持。系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。由下圖可以看出，在加速階段無人機前飛速度可以在各速度下得到不錯的跟蹤效果，在8s和10s時加入階躍輸入，同樣可以得到良好的跟蹤效果。無人機縱向高度在加速階段會出現(xiàn)掉高，在第12s加入階躍信號，無人機高度有一定的超調(diào)，沒有靜態(tài)誤差。

圖4 混合翼無人機過渡過程速度隨時間響應(yīng)曲線Fig.4 Velocity response curve of hybrid wing UAV in transition process

圖5 混合翼無人機過渡過程高度隨時間響應(yīng)曲線Fig.5 Height response curve of hybrid wing UAV in transient process

圖6 混合翼無人機過渡過程俯仰角隨時間響應(yīng)曲線Fig.6 Pitch angle Height response curve of hybrid wing UAV in transient process

4 結(jié)束語

本文對小型混合翼垂直起降無人機的過渡過程進行了一體化整體建模，推導了六自由度非線性動力學方程，進行配平和小擾動線性化，對得到的數(shù)學模型進行穩(wěn)定性分析。采用基于LQR的增益調(diào)度控制，對無人機的速度和高度進行跟蹤控制，有仿真結(jié)果可知前飛速度在加速和勻速階段都有良好的跟蹤效果。無人機在前飛加速過程高度有約0.2m的掉高，且在跟蹤過程中存在超調(diào)。俯仰角在加速階段波動較大，需要改進控制方法，改善高度和俯仰角的控制效果。