楊 碩 楊柳慶 張 勇 郭 錦

(1.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 無(wú)人機(jī)研究院，長(zhǎng)空科技集團(tuán)，南京 210016)

1 引 言

尾坐式飛行器的由于其特殊的起降方式，使得其控制器設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)固定翼飛機(jī)存在一定差異，控制器設(shè)計(jì)的挑戰(zhàn)主要是在于垂直起飛和水平飛行之間的過(guò)渡段控制器設(shè)計(jì)。因?yàn)轱w行轉(zhuǎn)換過(guò)程中的大范圍非線性段的劇烈變動(dòng)，單一的控制器難以做到有效控制。

在尾坐式垂直起降的過(guò)渡轉(zhuǎn)換控制策略上，可以將整個(gè)過(guò)程視作一個(gè)動(dòng)態(tài)的非線性模型，通過(guò)分別使用總能量控制達(dá)到緩慢平穩(wěn)的跟蹤響應(yīng)[2～4]。T-wing尾坐式飛行器針對(duì)其數(shù)學(xué)建模，以及其動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行反饋線性化，設(shè)計(jì)線性控制器[5]。在以普通單旋翼固定翼飛行器為對(duì)象，研究并設(shè)計(jì)這種飛行器在垂直起飛和垂平過(guò)渡這兩個(gè)階段的數(shù)學(xué)模型和控制器設(shè)計(jì)，分別以LQR和H∞進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)和驗(yàn)證[6,7]。文獻(xiàn)8中，作者針對(duì)尾坐式飛行的垂平過(guò)渡過(guò)程，對(duì)其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了二維平面的簡(jiǎn)化，推導(dǎo)出了一個(gè)簡(jiǎn)化的二維物理模型，并在此基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)了一個(gè)基于對(duì)飛行器高度和位置變化進(jìn)行跟蹤的過(guò)渡控制器[8]。文獻(xiàn)9中，使用基于梯度的算法來(lái)產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)渡的最優(yōu)軌跡，將轉(zhuǎn)換飛行過(guò)渡過(guò)程建模為具有不同目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問(wèn)題[9]。文獻(xiàn)10中，在控制器設(shè)計(jì)中使用了增益調(diào)度技術(shù)，針對(duì)飛行器轉(zhuǎn)換過(guò)渡飛行過(guò)程中的工作點(diǎn)進(jìn)行線性化分析，針對(duì)每個(gè)點(diǎn)設(shè)計(jì)LQR線性反饋控制律增益調(diào)度策略[10]。文獻(xiàn)11中，針對(duì)LPV模型中包含的各個(gè)LTI對(duì)象使用變化的參數(shù)ρ來(lái)導(dǎo)出，針對(duì)LTI設(shè)計(jì)線性控制器，設(shè)計(jì)增益調(diào)度策略進(jìn)行縱向過(guò)渡控制[11]。文獻(xiàn)9～10的仿真由于使用的是基于模型的LQ調(diào)節(jié)策略對(duì)跟蹤指令總是存在一定誤差。

本文主要針對(duì)尾坐式飛行器處于過(guò)渡過(guò)程中的縱向模型進(jìn)行研究，結(jié)合增益調(diào)度方法和LQR、H∞控制器設(shè)計(jì)其轉(zhuǎn)換過(guò)渡過(guò)程的縱向控制器，同時(shí)討論和研究尾坐式飛行器轉(zhuǎn)換過(guò)程中的數(shù)學(xué)模型和轉(zhuǎn)換策略。在基于增益調(diào)度的LQR和H∞控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在更接近尾坐式飛行器物理特性的情況下進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和驗(yàn)證。通過(guò)LQR的控制器和H∞控制器的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證控制器的有效性和控制效果。

2 增益調(diào)度LQR控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)飛行器模型提取其縱向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，進(jìn)行過(guò)渡控制器設(shè)計(jì)。以機(jī)體坐標(biāo)系作為參考，飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)方程組表示如公式(1)所示。

(1)

式中:T——發(fā)動(dòng)機(jī)推力;D——飛行器所受阻力;L——飛行器升力;M——俯仰力矩。

針對(duì)整個(gè)過(guò)度轉(zhuǎn)換過(guò)程中大范圍非線性過(guò)程，采用了基于多線性系統(tǒng)的增益調(diào)度技術(shù)，其主要過(guò)程為：

(1)在各個(gè)離散點(diǎn)配平線性化，建立其LPV模型。

(2)在每個(gè)點(diǎn)上，計(jì)算線性反饋控制器K。

(3)增益調(diào)度每個(gè)線性控制器。

對(duì)飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)過(guò)程配平線性化并用狀態(tài)空間矩陣表示，根據(jù)航跡傾斜角γ=ρ中，確定所有狀態(tài)的初始條件和狀態(tài)空間矩陣，可以創(chuàng)建一組狀態(tài)空間模型[A(ρ),B(ρ),C(ρ),D(ρ)]，在每一個(gè)γ=ρ的點(diǎn)中，為了穩(wěn)定控制系統(tǒng)，計(jì)算其控制器K(ρ)，以使系統(tǒng)在γ=ρ的所有取值范圍內(nèi)保持穩(wěn)定控制。根據(jù)系統(tǒng)γ的變化，對(duì)所有控制器進(jìn)行內(nèi)插和排序，根據(jù)飛行器的航跡傾斜角對(duì)各個(gè)線性控制器進(jìn)行選取。針對(duì)飛行器的縱向數(shù)學(xué)模型的控制問(wèn)題，首先針對(duì)已有的的非線性數(shù)學(xué)模型利用小擾動(dòng)原理將其線性化，可以得到飛行器在給定平衡點(diǎn)配平后LTI模型，根據(jù)配平得到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行下一步的控制器設(shè)計(jì)工作。

線性二次型調(diào)節(jié)器控制技術(shù)(Linear Quadratic Reglator，簡(jiǎn)稱LQR)問(wèn)題是現(xiàn)代控制理論中的一個(gè)具有重要地位的問(wèn)題。由于這種控制器的設(shè)計(jì)方法和控制性能指標(biāo)易于處理和分析，在控制諸如小型飛行器，機(jī)器人，倒立擺等方面廣為應(yīng)用。尤其因?yàn)檫@種控制器因?yàn)樵诠潭ㄒ頍o(wú)人機(jī)和多軸飛行器上的廣泛使用，同時(shí)還能達(dá)到良好的控制效果，使用LQR結(jié)合增益調(diào)度技術(shù)設(shè)計(jì)尾坐式飛行器的轉(zhuǎn)換過(guò)渡飛行縱向控制器。

(2)

式中：Q——半正定矩陣;R——正定矩陣;x——狀態(tài)變量;u——輸入變量；積分項(xiàng)xTQx代表系統(tǒng)的控制精度，這一項(xiàng)的積分值越小，代表控制的精度越高；積分項(xiàng)uTRu這一項(xiàng)代表系統(tǒng)所消耗的控制能

量。在具體的設(shè)計(jì)時(shí)，首先分析飛行器縱向模型的幾個(gè)參數(shù)，初步選取Q和R，通過(guò)計(jì)算得到反饋控制器K，驗(yàn)證其在對(duì)應(yīng)參數(shù)的非線性模型中是否符合設(shè)計(jì)要求，如果符合則記錄進(jìn)對(duì)應(yīng)參數(shù)的增益調(diào)度表1中，如果不符合則重新設(shè)計(jì)，直到完成選取的增益調(diào)度參數(shù)配平點(diǎn)的所有控制器設(shè)計(jì)完成后，將整個(gè)增益調(diào)度控制器代入飛行器縱向模型中進(jìn)行轉(zhuǎn)換過(guò)程的仿真驗(yàn)證。

針對(duì)飛行器的縱向數(shù)學(xué)模型的控制問(wèn)題，首先針對(duì)已有的的非線性數(shù)學(xué)模型利用小擾動(dòng)原理將其線性化，可以得到飛行器在給定平衡點(diǎn)配平后的小擾動(dòng)線性化狀態(tài)空間矩陣。

表1 過(guò)渡飛行切換配平工作點(diǎn)Tab.1 Transition flight switching trimming work point

以航跡角γ=0°的時(shí)候?yàn)槔?，根?jù)相關(guān)氣動(dòng)參數(shù)帶入非線性模型中進(jìn)行數(shù)值仿真，通過(guò)使用matlab中自帶的linmod()函數(shù)和trim()函數(shù)選取相應(yīng)的配平點(diǎn)進(jìn)行配平線性化操作，得到如下飛行器的縱向狀態(tài)空間矩陣用以控制器設(shè)計(jì)參考。

在LQR控制器設(shè)計(jì)中同樣使用matlab軟件中的LQR()函數(shù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，選取合適的Q、R和

飛行器縱向狀態(tài)空間矩陣作為函數(shù)參數(shù)得到以下LQR控制器

同樣的方式針對(duì)選取配平點(diǎn)進(jìn)行配平線性化和設(shè)計(jì)控制器，并將控制器記錄進(jìn)增益調(diào)度表中，直到獲得完整轉(zhuǎn)換過(guò)程的增益調(diào)度控制器后完成設(shè)計(jì)。

3 增益調(diào)度H∞控制器設(shè)計(jì)

在此控制器的設(shè)計(jì)中，采用針對(duì)單通道回路進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)的方式，以達(dá)到更精確有效控制飛行航跡角的目的。針對(duì)已有的縱向模型進(jìn)行解耦求的其航跡角通道的傳遞函數(shù)，進(jìn)行H∞控制器的設(shè)計(jì)并驗(yàn)證。

H∞控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，首先討論H∞標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，如圖為標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Standard control system structure

圖中的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的狀態(tài)空間矩陣表示如公式(3)。

(3)

式中:x——狀態(tài)向量；z——被控輸出信號(hào)；y——量測(cè)輸出信；u——控制信號(hào)；w——外部輸入信號(hào)；圖中的K(s)就是需要求取的控制器。表示同一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以用如下?tīng)顟B(tài)空間矩陣描述，即為公式(4)。

(4)

H∞標(biāo)準(zhǔn)控制問(wèn)題的描述：通過(guò)設(shè)計(jì)有理控制器K(s)，使得增廣被控對(duì)象G(s)穩(wěn)定，同時(shí)使得閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)<1。為了保證系統(tǒng)的魯棒性和系統(tǒng)性能，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為混合靈敏度問(wèn)題進(jìn)行求解。考慮如下所示反饋系統(tǒng)，根據(jù)混合靈敏度的設(shè)計(jì)思路，通過(guò)在頻率域內(nèi)選擇合適的加權(quán)函數(shù)W1(s)、W2(s)和W3(s)，令閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到控制要求。如圖2所示。

圖2 混合靈敏度問(wèn)題結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Mixed sensitivity problem structure diagram

根據(jù)混合靈敏度問(wèn)題定義的開(kāi)環(huán)增廣控制對(duì)象為公式(5)。

(5)

在混合靈敏度問(wèn)題中求解各個(gè)LTI模型對(duì)應(yīng)的控制器K(s)，令閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。再將各個(gè)離散點(diǎn)的LTI模型對(duì)應(yīng)的控制器基于增益調(diào)度策略進(jìn)行線性內(nèi)插和排列，構(gòu)成航跡角-升降舵通道的SISO控制器，以PI控制器作為空速通道控制器，構(gòu)建過(guò)渡轉(zhuǎn)換飛行控制，代入縱向模型中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

此處仍舊以航跡角γ=0°的時(shí)候?yàn)槔?，將獲得的縱向狀態(tài)空間模型進(jìn)行解耦，提取出其中的航跡角-升降舵通道，并以傳遞函數(shù)的形式表達(dá)如下

H∞控制器設(shè)計(jì)中使用了matlab軟件中的hinfsyn()函數(shù)，選取加權(quán)函數(shù)W1(s)、W2(s)和W3(s)，對(duì)該通道的傳遞函數(shù)模型進(jìn)行計(jì)算得到如下的H∞控制器

Ck=[-353558-160816178-346050397-28494330761868547728]

Dk=[0]

之后根據(jù)增益調(diào)度調(diào)度規(guī)則在轉(zhuǎn)換過(guò)程的各個(gè)配平點(diǎn)不斷重復(fù)此過(guò)程直到完成增益調(diào)度控制器的設(shè)計(jì)。

4 仿真分析

仿真數(shù)據(jù)從航跡角γ、俯仰角δ、俯仰角速度q、攻角α和空速v五個(gè)方面進(jìn)行分析，階躍信號(hào)下垂平過(guò)度驗(yàn)證仿真的結(jié)果如圖3所示。

圖3c 階躍信號(hào)下俯仰角速度變化圖 圖3d 階躍信號(hào)下攻角變化圖Fig.3c Pitch angular velocity of step signal Fig.3d Attack angle of step signal

圖3e 階躍信號(hào)下空速變化圖Fig.3e Space velocity of step signal

由圖中結(jié)果可以看出，在以分段式的階躍信號(hào)作為過(guò)渡指令進(jìn)行仿真時(shí)，增益調(diào)度H∞控制器的對(duì)指令信號(hào)具有更快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，盡管存在一定超調(diào)量，但仍在可以接受的范圍內(nèi)，由此帶來(lái)的是俯仰角，攻角，俯仰角速度的轉(zhuǎn)換過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生更劇烈的變化；增益調(diào)度LQR控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)較增益調(diào)度的H∞控制器穩(wěn)定更慢，但是轉(zhuǎn)換過(guò)程中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)更為緩慢平衡，劇烈變化較少。在斜坡信號(hào)下的平垂過(guò)度仿真結(jié)果如圖4所示。

在使用斜坡信號(hào)進(jìn)行平垂過(guò)渡的仿真中，增益調(diào)度H∞控制器能夠做到基本沒(méi)有誤差地跟蹤航跡傾斜角指令，而增益調(diào)度LQR卻會(huì)在轉(zhuǎn)換過(guò)程中一直存在一個(gè)誤差，直到垂直狀態(tài)一會(huì)之后才消除；而在俯仰角，俯仰角速度，攻角這幾項(xiàng)數(shù)據(jù)中，體現(xiàn)出的仍舊是增益調(diào)度H∞控制具有的更強(qiáng)動(dòng)態(tài)特性。

圖4a 斜坡信號(hào)下航跡角變化圖 圖4b 斜坡信號(hào)下俯仰角角變化圖 Fig.4a Track angle of ramp signal Fig.4b Pitch angle of ramp sign

圖4c 斜坡信號(hào)下俯仰角速度變化圖 圖4d 斜坡信號(hào)下攻角變化圖Fig.4c Pitch signal of ramp signal Fig.4d Angle of attack of ramp signal

圖4e 斜坡信號(hào)下空速變化圖Fig.4e Airspeed of ramp signal

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)尾坐式無(wú)人飛行器的力和力矩產(chǎn)生機(jī)制進(jìn)行分析，通過(guò)同時(shí)考慮空速和螺旋槳尾流同時(shí)作用產(chǎn)生的力矩建立尾坐式飛行器的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上，解耦出其縱向動(dòng)力學(xué)模型。并根據(jù)縱向動(dòng)力學(xué)根據(jù)小擾動(dòng)線性化原理，在選取的配平點(diǎn)上計(jì)算出LTI模型和LPV模型。通過(guò)已有的線性化模型，建立增益調(diào)度控制策略，在LQR控制器和H∞控制器的基礎(chǔ)上建立尾坐式飛行器的縱向過(guò)渡轉(zhuǎn)換控制器，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

仿真結(jié)果表明，基于增益調(diào)度控制策略的兩種過(guò)渡轉(zhuǎn)換控制器都能得到穩(wěn)定的轉(zhuǎn)換過(guò)渡效果，但是增益調(diào)度的LQR控制器是直接基于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的設(shè)計(jì)方式進(jìn)行設(shè)計(jì)，沒(méi)有根據(jù)其跟蹤問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)，在斜坡信號(hào)進(jìn)行跟蹤時(shí)會(huì)有跟蹤誤差存在，但仍舊能夠穩(wěn)定完成過(guò)渡轉(zhuǎn)換。而使用SISO的增益調(diào)度H∞控制器進(jìn)行轉(zhuǎn)換就不存在更懂誤差，且具有更好的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性，與LQR比起來(lái)具有更好的控制效果。

雖然該方法的有效性得到驗(yàn)證，但仍然存在某些問(wèn)題。 該方法可以得到一個(gè)穩(wěn)定有效的過(guò)渡控制器，由于本文只使用數(shù)值模擬仿真，所以在應(yīng)用時(shí)仍舊有必要對(duì)實(shí)際飛行器進(jìn)行飛行測(cè)試。