陜西省岐山縣蔡家坡高級中學(722405) 公寬讓

對稱型條件不等式是指這個不等式左端輪換對稱,一般為對稱項的和、或?qū)ΨQ項的積、或?qū)ΨQ項的和與對稱式的積的和,其造形優(yōu)美,證法多樣,在高考、競賽和問題研究中經(jīng)常出現(xiàn).這些不等式大多在變元相等時取等號,對在變元相等時取等號的這類不等式,筆者通過研究,發(fā)現(xiàn)先放縮,再求最值(簡稱“放縮+最值”法,以下同)的方法是證明這類不等式的一條捷徑.因為它只須研究對稱項的性質(zhì),所以對比較復(fù)雜的這類不等式的證明及推廣更顯優(yōu)勢.下面是筆者用“放縮+最值”法對這類不等式證明及推廣的一些探究.

探究一如果這類不等式的對稱項有明顯的增減趨勢時,可直接考慮用“放縮+最值”法去證.

例1《中學數(shù)學教學》2014年第5期有獎?wù)鹘忸}

設(shè)x1,x2,···,xn都為正數(shù),且x1+x2+···+xn=1,求證：

對(1)的指數(shù)作變更,推廣如下：

定理1設(shè)x1,x2,···,xn都為正數(shù),且x1+x2+···+xn=1,m∈N?,則

證明不妨設(shè)x1≥x2≥···≥xn＞0,則是遞減的.由已知x1+x2+···+xn=1,有所以,不等式(2)成立.

當m=n時,不等式(1)成立.

同法可證不等式(1),這里不再重復(fù),以下相同.

例2《數(shù)學通報》2017年10月號問題2387

已知a,b,c≥0,且a+b+c=6,證明：

問題2387按元數(shù)推廣如下：

定理2已知ai≥0(i=1,2,···,n),且則

問題2387按元數(shù)和指數(shù)推廣如下：

定理3已知ai≥0(i=1,2,···,n),且m≥2,m∈N?,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則是遞減的,由已知有2≤a1≤2n,當a1=2時,所以,不等式(5)成立.

當m=2時,不等式(4)成立,當n=3,m=2時,不等式(3)成立.

例3《數(shù)學通報》2017年4月號問題2356

設(shè)a,b,c,d＞0,且a+b+c+d=4,求證：

問題2356按元數(shù)推廣如下：

定理4設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n),且a1+a2+···+an=n,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則a21+a22+···+a2n+(a2a3···an+a3a4···ana1+···+ana1···an-2+a1a2···an-1)≥na2n+(n-1)an-1n.

令y=na2n+(n-1)an-1n,n≥1,則y=na2n+(n-1)an-1n是遞增的,由已知a1+a2+···+an=n,得0＜an≤1.當an=1時,ymax=n+n-1=2n-1.所以,不等式(7)成立.

當n=4時,不等式(6)成立.

例4文[3]猜想：設(shè)a,b,c＞0,且a+b+c=1,n≥2,且為整數(shù),則

筆者發(fā)現(xiàn)這個猜想是正確的,現(xiàn)按元數(shù)推廣如下：

定理5設(shè)ai＞0(i=1,2,···,m),且n≥2,n∈Z,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則(1+ann)m,(1+ann)m是遞增的,由已知有時,所以,不等式(9)成立.

當m=3時,不等式(8)成立.

例5《數(shù)學通報》2017年12月號問題2398：設(shè)a,b,c＞0,a+b+c≤3,求證：

問題2398按元數(shù)推廣：

定理6設(shè)a1,a2,···,an＞0,a1+a2+···+an≤n,則：

問題2398按元數(shù)和指數(shù)推廣：

定理7 設(shè)a1,a2,···,an＞0,a1+a2+···+an≤n,p,q∈N?,則：

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則是遞減的,由已知a1,a2,···,an＞0,a1+a2+···+an≤n,有1≤a1＜n,當a1=1時,所以不等式(12)成立.

當n=3,p=1,q=2時,不等式(10)成立;當p=1,q=2時,不等式(11)成立.

探究二如果這類不等式的對稱項的增減趨勢不明顯,可利用函數(shù)等方法判定其增減,再用“放縮+最值”法去證.

例6《數(shù)學通報》問題1830

已知a,b,c＞0,且a+b+c=2,求證：

問題1830按元數(shù)推廣如下：

定理8已知ai＞0(i=1,2,···,n),且a1+a2+···+an=n-1,則

證明是遞減的,不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則

當n=3時,不等式(13)成立.

例72017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西預(yù)賽第五題：

設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足(a+b)(b+c)(a+c)=1,求證：

不等式(15)按元數(shù)推廣如下：

定理9設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n,n≥3,n∈N),且滿足(a1+a2)(a2+a3)···(an+a1)=1,則

不等式(15)按元數(shù)和指數(shù)推廣如下：

定理10設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n,n≥3,m≥2,n＞m,m,n∈N),且滿足(a1+a2+···+am)(a2+a3+···+am+1)···(an+a1+···+am-1)=1,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則不等式(17)的左邊各項是遞減的,從而有

由(a1+a2+···+am)(a2+a3+···+am+1)···(an+a1+···+am-1) = 1,有(man)m≤ 1,得0＜所以,當時,即不等式(17)成立.當且僅當時,等號成立.

當n=3,m=2時不等式(15)成立,當m=2時不等式(16)成立.

例8《數(shù)學通報》2017年6月號問題2367

設(shè)a,b,c＞0,且abc=1,求證：

問題2367按元數(shù)推廣如下：

定理11設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n),n≥3(n∈N+),且a1a2···an=1,則

問題2367按元數(shù)和指數(shù)推廣如下：

定理12設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n),n≥3,n∈N+,m≥p＞q＞0,且a1a2···an=1,則

證明設(shè)則是增函數(shù).不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則由a1a2···an=1,得0＜an≤1.當an=1時,所以,不等式(20)成立.

當n=3,m=3,p=2,q=1時,不等式(18)成立,當m=3,p=2,q=1時,不等式(19)成立.

例9《數(shù)學通報》2017年8月號問題2378

設(shè)x1,x2,···,xn＞0,x1+x2+···+xn=s,p≥1,求證：

證明令是增函數(shù).不妨設(shè)x1≥x2≥···≥xn＞0,則由有當時,所以,不等式(21)成立.

例102009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建預(yù)賽第15題

已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c≤3,求證：

不等式(22),(23)推廣如下：

定理13設(shè)正數(shù)ai滿足m∈N+,則：

證明(i)考察函數(shù)是減函數(shù),不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則由已知,1≤a1＜n,當a1=1時,而0＜an≤1,則所以不等式(24)成立.

當n=3,m=1時,不等式(22)成立.

由已知,1≤a1＜n,當a1=1時,所以不等式(25)成立.

當n=3時,不等式(23)成立.

例112015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽初賽第9題

設(shè)a,b＞0,a+b=1,求證：

不等式(26)按項數(shù)推廣如下：

定理14設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n,n≥2),則

證明構(gòu)造函數(shù)所以,上減小,在上增加,是下凸函數(shù).不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,由已知當當時,由琴生不等式

(當且僅當x1=x2=__···=xn時取等號),有綜上,不等式(27)成立.

當n=2時,不等式(26)成立.

探究三當這類不等式的條件是復(fù)雜一點的對稱項的和或?qū)ΨQ項的積,可用分離或函數(shù)等方法去確定范圍,然后用“放縮+最值”法去證.

例12《數(shù)學通報》2014年9月號問題2201

已知a,b,c＞0,且求證：

問題2201按指數(shù)和元數(shù)推廣如下：

定理15已知ai＞0(i=1,2,···,n)且1(k∈N?),則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則而是遞增的,由已知1(k∈N?),有得當所以,不等式(29)成立.

當n=3,k=2時,不等式(28)成立.

小結(jié)(1)“放縮+最值”的方法,適合于當變元相等時不等式等號成立的對稱型條件不等式的證明及推廣;

(2)“放縮+最值”的方法,不同于一般的放縮法,一般的放縮法是適當?shù)耐蚍趴s直到得出要證的結(jié)果,技巧性強,弄不好會得到反向結(jié)果,使證明陷入僵局,高次的更不好辦.這個方法正好化解了這個難點;

(3)人常說：不等式“推廣”容易證明難.因為“推廣”可以照貓畫虎,證明就沒那么容易了.“放縮+最值”的方法,不僅可以簡捷地證明這類不等式,而且還可以輕松的對這類條件不等式進行推廣,并能糾正在推廣中由于考慮不周引起的偏差.