張曉勇

摘 要：該研究通過(guò)兩種數(shù)學(xué)插值方法對(duì)某一時(shí)間段的潮汐開(kāi)展實(shí)證研究，以此為基礎(chǔ)利用插值函數(shù)對(duì)潮汐現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)。然后，對(duì)潮汐數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真和模擬處理，構(gòu)造函數(shù)曲線。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：與其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等的相比，雖然三次樣條插值方法的計(jì)算量是比較繁瑣且龐大的，但是由于它能提高擬合曲線的光滑度，在潮汐變化及預(yù)測(cè)的應(yīng)用研究中的效果較好。

關(guān)鍵詞：潮汐 Lagrange插值 三次樣條插值

中圖分類號(hào)：P731.23 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2019）02（b）-0241-03

Abstract： This paper presents an empirical study of tidal time over a certain period of time using two mathematical interpolation methods， and uses this function as a basis to make predictions using interpolation functions. Then， the tidal data is simulated and simulated and the function curve is constructed. Using Lagrange interpolation and cubic spline interpolation in tidal numerical simulation and prediction， it is found that compared with other Lagrange interpolation methods， New-ton interpolation methods， etc.， although the calculation of cubic spline interpolation method is relatively tedious and Huge， but because it can improve the smoothness of the fitting curve， it works well in applied research of tidal changes and prediction.

Key Words： Tidal； Lagrange interpolation； Cubic spline interpolation

潮汐能是一種清潔、保護(hù)環(huán)節(jié)、對(duì)維護(hù)生態(tài)平衡有重要作用的可再生能源，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)和國(guó)防建設(shè)方面有著巨大作用。海岸河口更是有著人口密度大、經(jīng)濟(jì)較為發(fā)達(dá)和開(kāi)發(fā)程度較高的優(yōu)勢(shì)。即使在現(xiàn)代的科技社會(huì)，捕魚、曬鹽仍要利用潮汐漲落的規(guī)律，海上的航行，更與潮汐、潮流緊密相關(guān)。許多港口大船要等高潮水深時(shí)才能夠進(jìn)駐；航船無(wú)論是在海上航行或者是駛離碼頭，都要利用到潮汐的特性。建筑海港，更要考慮潮汐潮流長(zhǎng)期的變化規(guī)律，使它既不會(huì)被淹沒(méi)淤塞，又能節(jié)約造價(jià)成本。這些都說(shuō)明潮汐的預(yù)測(cè)和分析對(duì)河口海岸和相關(guān)的管理部門有著重大的意義。只有對(duì)其進(jìn)行深入研究，我們才能對(duì)其更好地進(jìn)行開(kāi)發(fā)利用。

函數(shù)插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，如人口預(yù)報(bào)問(wèn)題、潮汐預(yù)測(cè)、土地勘測(cè)、地貌生成技術(shù)問(wèn)題等，研究人員可以通過(guò)插值與擬合的基礎(chǔ)知識(shí)和計(jì)算方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用科學(xué)的計(jì)算方法和MATLAB實(shí)驗(yàn)來(lái)使人們的工作變得更加高效、科學(xué)。在現(xiàn)實(shí)生活的潮汐預(yù)測(cè)過(guò)程中，就常用到插值的方法。由于監(jiān)測(cè)指標(biāo)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)不可能密布整個(gè)潮汐發(fā)生區(qū)域，同時(shí)，區(qū)域監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)量有限、分布不均，一般采用空間插值的手段建立潮汐擬合模型來(lái)解決，提高潮汐預(yù)測(cè)的科學(xué)及合理性。

從理論來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)潮汐數(shù)據(jù)的插值方法的研究，去深入分析不同潮汐類型的物理過(guò)程和分潮組成，提出可以應(yīng)用于不同類型的潮汐數(shù)據(jù)的插值新方法，具有一定的理論意義。在生活中的其他領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)插值問(wèn)題的性質(zhì)與求解方法的研究，可以發(fā)現(xiàn)在許多實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，經(jīng)常涉及到大量數(shù)據(jù)條件下，采取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法給出擬合函數(shù)的情況。如今我們正身處數(shù)據(jù)時(shí)代之中，解決像這樣的大樣本數(shù)據(jù)插值問(wèn)題已經(jīng)成為時(shí)代發(fā)展的必經(jīng)之路。

1 三次樣條插值

插值法能用一個(gè)“簡(jiǎn)單函數(shù)”逼近被計(jì)算函數(shù)，然后用該簡(jiǎn)單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計(jì)算函數(shù)的函數(shù)值。這是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法，是離散數(shù)據(jù)的公式化。對(duì)于潮汐預(yù)測(cè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，由于監(jiān)測(cè)指標(biāo)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)不可能密布整個(gè)潮汐發(fā)生區(qū)域，同時(shí)，區(qū)域監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)量有限、分布不均，所以利用多項(xiàng)式插值就可以較為簡(jiǎn)便地建立一個(gè)潮汐擬合模型來(lái)解決，從而提高潮汐預(yù)測(cè)的科學(xué)及合理性。下面，該文把常見(jiàn)的三次樣條插值方法做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。

1.1 三次樣條函數(shù)的定義

在插值區(qū)間[a，b]上取n+1個(gè)插值結(jié)點(diǎn)

已知函數(shù)在這n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值為

則在[a，b]上函數(shù)的m次樣條插值函數(shù)滿足如下條件：

（1）在（a，b）上直到m-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在區(qū)間（k=0，1，2，…，n-1）上，是m次多項(xiàng)式。

1.2 三次樣條函數(shù)的推導(dǎo)與計(jì)算

在[a，b]上函數(shù)的三次樣條插值函數(shù)滿足：

（1）在（a，b）上0、1、2階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即：

，，（k=0，1，2，…，n-1）

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在區(qū)間（k=0，1，2，…，n-1）上，是三m次多項(xiàng)式。

由二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，設(shè)（k=0，1，2，…，n），mk是未知待定的數(shù)。因是分段三次多項(xiàng)式，則在每個(gè)區(qū)間內(nèi)是分段一次多項(xiàng)式，記：

則

將上式在區(qū)間上積分兩次，并且由等式、可以確定積分常數(shù)。當(dāng)時(shí)，

利用一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，對(duì)上式求導(dǎo)可得：

在上式中，令，得：

將上式中的k換成k-1得在上的表達(dá)式，將代入，

而聯(lián)立上述兩式，得到關(guān)于m的方程：

整理可得：

上式中，等式左邊含未知量mk-1、mk、mk+1，等式右邊yk-1、yk、yk+1是已知的，令，

則得：

因?yàn)槿螛訔l插值方法將插值曲線的整體光滑度進(jìn)行了提高，所以其應(yīng)用廣泛，但從上述計(jì)算過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，它的計(jì)算量是比較繁瑣且龐大的。

2 基于插值方法的潮汐預(yù)測(cè)

2.1 數(shù)據(jù)收集及整理

根據(jù)中國(guó)海事網(wǎng)潮汐實(shí)時(shí)發(fā)布的數(shù)據(jù)，該課題采集了天津塘沽港口潮汐觀測(cè)站2018年4月15日的數(shù)據(jù)。這里需要說(shuō)明的是，該研究采集數(shù)據(jù)的時(shí)間步長(zhǎng)為1小時(shí)（h），超高的單位為厘米（cm）。該課題選取天津塘沽港，作為潮汐現(xiàn)象的試驗(yàn)區(qū)與數(shù)據(jù)采集地。之所以選取天津塘沽港潮汐現(xiàn)象作為研究對(duì)象，主要有以下兩點(diǎn)原因：（1）天津塘沽港潮汐屬于不規(guī)則日潮，不規(guī)則日潮作為潮汐現(xiàn)象的一種類型具有較多的不確定性，當(dāng)前的研究尚未明確其變化規(guī)律；（2）天津塘沽港潮汐地作為我國(guó)海潮的觀測(cè)站之一，數(shù)據(jù)易于采集。

2.2 基于插值方法的潮汐預(yù)測(cè)

2.2.1 Lagrange插值法

在上述分析的基礎(chǔ)上，該研究基于Lagrange插值法，利用MATLAB2014（b）編寫程序，對(duì)天津塘沽潮汐觀測(cè)站的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算與數(shù)值仿真，所得的仿真結(jié)果為：

2.2.2 三次樣條插值法

在上述分析的基礎(chǔ)上，該研究基于三次樣條法，利用MATLAB2012（b）編寫程序，對(duì)天津塘沽潮汐觀測(cè)站的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算與數(shù)值仿真，所得的仿真結(jié)果如圖1所示。

從上一節(jié)中可以看出，基于Lagrange插值法與三次樣條插值法的天津塘沽港口潮汐仿真與模擬效果存在著較大的差別，主要有以下兩點(diǎn)。

（1）Lagrange插值法的潮汐變化整體走勢(shì)基本符合要求，但是在非插值點(diǎn)存在較大的誤差，且在潮汐仿真的尾部出現(xiàn)嚴(yán)重的龍格現(xiàn)象，導(dǎo)致預(yù)測(cè)效果近乎失真；但是，這種的方程較為簡(jiǎn)單，并且可以求解。

（2）三次樣條插值法的潮汐變化整體走勢(shì)符合要求，與原始的觀測(cè)數(shù)據(jù)幾乎吻合，效果較好；同時(shí)，在非插值點(diǎn)存在沒(méi)有較大的誤差，且在潮汐仿真的尾部沒(méi)有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。但是，三次樣條插值的方程過(guò)于復(fù)雜，難以用數(shù)值軟件進(jìn)行處理。

2.3 潮汐結(jié)果預(yù)測(cè)

在上述研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，該研究基于4月15日的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)4月16日的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。這里由于基于Lagrange插值法的數(shù)值仿真效果失真（預(yù)測(cè)的結(jié)果如表1所示），故僅采用三次樣條插值法進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

從表1與表2中可以看出：基于三次樣條插值法的天津塘沽潮汐預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)相差不大（數(shù)值相差不超過(guò)15CM），相對(duì)誤差的浮動(dòng)率均在0～5%之間。而，朗格朗日插值法的誤差較大，數(shù)據(jù)失真（出現(xiàn)嚴(yán)重的龍格現(xiàn)象導(dǎo)致）。這一數(shù)據(jù)分析說(shuō)明，三次樣條插值的效果相對(duì)較好，是一種研究潮汐變化相對(duì)較好的函數(shù)。

3 研究總結(jié)

通過(guò)上述研究過(guò)程的梳理，該研究主要得出如下一些結(jié)論：雖然三次樣條插值方法的計(jì)算量是比較繁瑣且龐大的，但是由于它能提高擬合曲線的光滑度，在潮汐變化及預(yù)測(cè)的研究中具有重要的作用。與其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等相比，對(duì)潮汐變化數(shù)據(jù)的仿真與預(yù)測(cè)效果相對(duì)較好。

該研究的不足在于對(duì)天津塘沽潮汐變化數(shù)據(jù)的采集周期相對(duì)較短；三次樣條插值的方程難以計(jì)算。由于潮汐變化數(shù)據(jù)的整體變化規(guī)律近似于三角函數(shù)，基于傅里葉函數(shù)的變換與擬合方法，應(yīng)該更適合于這項(xiàng)研究，但是由于傅里葉變換過(guò)程較為繁瑣，還需要數(shù)學(xué)、地理學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等的專家與學(xué)者對(duì)傅里葉函數(shù)的變換與擬合在潮汐變化仿真與預(yù)測(cè)進(jìn)行進(jìn)一步的深入研究與分析。

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