劉豪進,趙炎康,周振興

(中南林業(yè)科技大學(xué)，湖南 長沙 410007)

機械手的規(guī)劃軌跡精度取決于機械臂的運動學(xué)模型的建立，機械臂的各關(guān)節(jié)空間的路徑軌跡規(guī)劃以及機械臂的插值算法補償[1]。本文從ABB IRB1660工業(yè)型機械臂參數(shù)設(shè)計入手，建立機械臂仿真模型，在正逆運動學(xué)仿真計算的基礎(chǔ)上對機械臂進行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，模擬仿真機械臂末端執(zhí)行其在空間任意兩點間的運動過程，分析其運動學(xué)參數(shù)，使用 Robotics Toolbox[2]機器人工具箱，對連桿進行軌跡規(guī)劃，針對機械手臂運動特性入手，完成仿真分析。

1 機械手臂模型建立

1.1 D-H坐標(biāo)系表述

為了具體分析機械臂運動詳情，建立運動學(xué)方程[3]是必要的，而現(xiàn)在大多數(shù)是多自由度的機械臂，具有多根連桿和關(guān)節(jié)，也就需要針對每一根連桿和關(guān)節(jié)來建立坐標(biāo)系，并建立起各個坐標(biāo)系的關(guān)聯(lián)。為了論述鄰近兩連桿之間空間位置關(guān)系，引入了D-H參數(shù)法。D-H參數(shù)法為關(guān)節(jié)鏈中的每一根連桿桿件建立了對應(yīng)坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 連桿坐標(biāo)簡化模型

相鄰兩連桿之間的參數(shù)：①兩根連桿之間(兩公垂線ai軸與ai-1軸之間)的距離di；②笛卡爾空間坐標(biāo)xi軸線、yi軸線和zi軸線；③連桿轉(zhuǎn)角θi為兩根公垂線 ai與ai-1之間的夾角，即xi軸與xi-1軸之間的夾角，繞zi-1軸從xi-1旋轉(zhuǎn)到xi軸，符合右手規(guī)則時為正；④連桿扭角ai為兩關(guān)節(jié)軸線之間的夾角，即zi軸與 zi-1軸之間的夾角，繞x軸從zi-1軸旋轉(zhuǎn)到zi軸；⑤第i根連桿就用L來表示[4]。

而對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)， d是常數(shù)；對于移動關(guān)節(jié)， di是變量。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，θi為變量；對于移動關(guān)節(jié)， θi為常數(shù)。當(dāng)兩關(guān)節(jié)軸線平行時， ai=0；當(dāng)兩關(guān)節(jié)軸線垂直時， ai=90°。

通過測量得到ABB IRB1660型機械臂D-H參數(shù)為下表1所示。

表1 ABB IRB1660連桿參數(shù)

注：ai表示第i根公垂線，αi表示第i根連桿扭角，di表示公垂線之間的軸線距離，θi表示第i根連桿轉(zhuǎn)角。

2 機械臂軌跡規(guī)劃仿真

機械臂軌跡仿真需要利用MATLAB自帶畫圖程序來實現(xiàn)，用到拆分窗口函數(shù)，以及畫圖函數(shù)。將預(yù)先規(guī)劃好的時間 、關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度、角速度及其加速度等參數(shù)輸入進函數(shù)，即可繪圖模擬[5]。用分析函數(shù)進行曲線擬合分析。

2.1 建立初始化機械臂連桿模型

本文主要使用的是Robotics Toolbox 為機械臂的仿真，創(chuàng)建相應(yīng)的機械臂對象模型。

通過語句來使機械臂狀態(tài)初始化,代入表1數(shù)據(jù)：>>L1=link([0,0,pi/2,0,0],'standard')

……

用SerialLink函數(shù)建立機械臂模型，并用畫圖teach函數(shù)畫出，如圖2。

>>robot=SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6]);

>>robot.name='Robotic6R';

>>q0=[0 0 0 0 0 0];>>robot.plot(q0);

圖2 機械手臂仿真圖

然后調(diào)節(jié)teach函數(shù)來驅(qū)使機械手臂進行動作，通過調(diào)節(jié)相應(yīng)滑條來驅(qū)使連桿關(guān)節(jié)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，模擬實際操作機械手臂的全過程。

針對機械臂的運動學(xué)特性，進行分析仿真。工具箱中fkine、ikine函數(shù)可以求運動學(xué)正、逆問題[6-8]。首先設(shè)置六個關(guān)節(jié)扭角分別為：-pi/8、-pi/8、-pi/4、0、pi/8、0，用q向量來代替，計算末端位置T。編程如下:

>> q=[-pi/8 -pi/8 -pi/4 0 pi/8 0];

q =

-0.3927 -0.3927 -0.7854 0 0.3927 0

>> T=fkine(Robotic6R,q);

T =

0.1913 -0.8446 0.5000 1.2597

-0.7325 -0.4619 -0.5000 0.0202

0.6533 -0.2706 -0.7071 0.5904

0 0 0 1.0000

T就是機械臂在扭角為q時的末端位置。

借助ikine函數(shù)用已知的空間位置T來反求各個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度，編程如下:

>> qi=ikine(Robotic6R,T);

qi =

-0.3927 -0.3927 -0.7854 0.0000 0.3927 -0.0000

qi為已知ABB機械臂末端執(zhí)行器位置為T時各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角。由上述仿真計算結(jié)果得qi=q。綜上所述，通過求解運動學(xué)正問題，反求運動學(xué)逆問題得到初始角度值，證明Matlab中的機械臂物理建模完全正確。

2.2 仿真軌跡規(guī)劃

關(guān)節(jié)空間中機械臂的每一條軌跡運動通過拆解為每個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動一定角度所形成，反映各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與機器人末端執(zhí)行器的位置或姿態(tài)一一對應(yīng)。對機械臂仿真，進行軌跡規(guī)劃時，用到工具箱中的jtraj函數(shù)和ctraj函數(shù)。Jtraj函數(shù)是已知初始和終止的關(guān)節(jié)角度，利用五次多項式公式來進行關(guān)節(jié)空間軌跡分析； ctraj函數(shù)是已知初始和終止的末端關(guān)節(jié)姿態(tài)，利用勻速加速度和勻速減速度來規(guī)劃笛卡爾空間坐標(biāo)軌跡規(guī)劃[9]。

2.2.1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

設(shè)置空間中任意兩點的轉(zhuǎn)角向量qz=[0 0 0 0 0 0]和q=[-pi/8 -pi/8 -pi/4 0 pi/8 0],采樣總時長為5秒，采樣間隔為0.02秒。設(shè)置部分程序代碼如下：

>>qz=[0 0 0 0 0 0];

>>q=[-pi/8 -pi/8 -pi/4 0 pi/8 0];

>>t=[0:.02:5];

>>[qf,qd,qdd]=jtraj(q,qz,t);

>>subplot(3,2,1);

>>plot(t,qf(:,1));

>>xlabel('時間/s');

>>ylabel('角1旋轉(zhuǎn)角度/rad');

……其中qf是關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，qd是關(guān)節(jié)角速度，qdd是在關(guān)節(jié)角加速度。將程序中qf換成qd或qdd得到六個關(guān)節(jié)角的角速度和角加速度關(guān)于時間的函數(shù)圖像。得到關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度與時間的關(guān)系函數(shù)如圖3所示，關(guān)節(jié)角速度與時間的關(guān)系函數(shù)如圖4所示，關(guān)節(jié)角加速度與時間的關(guān)系函數(shù)如圖5所示。

圖3 各關(guān)節(jié)角旋轉(zhuǎn)角度仿真曲線

圖4 各關(guān)節(jié)角速度仿真曲線

機械臂從初始位置qz到達目標(biāo)位置q，以關(guān)節(jié)1為參考對象：圖3中關(guān)節(jié)1從-0.4(/rad)角度經(jīng)過5秒到達0(/rad)角度。圖4中，關(guān)節(jié)1的角速度從第0秒開始上升，在第2.5秒左右達到峰值，在第5秒完全回落為0(/rad)。關(guān)節(jié)1角速度有一個先快后慢的過程，在第2.5秒速度最大。圖5中，關(guān)節(jié)1的角加速度在第1秒上升到頂峰，第2.5秒下降為0(/rad)，在第4秒下降為最低值，在5秒上升為0(/rad)。關(guān)節(jié)1角加速度有一個先上升后下降再上升的過程，在第1秒加速最快，第4秒加速最慢，在第2.5秒和第5秒不加速。

圖5 各關(guān)節(jié)角加速度仿真曲線

2.2.2 軌跡曲線擬合

在現(xiàn)實生活中，機械臂接收信號頻率過疏，則會造成機械臂的反應(yīng)遲鈍，不能很好地擬合理想化的規(guī)劃軌跡。但接收信號過密，則會造成機械臂為了更好地擬合理想化的規(guī)劃軌跡產(chǎn)生過平滑，而不停抖動或偏離規(guī)劃軌跡。因此在軌跡規(guī)劃時要選擇更高效實惠的軌跡規(guī)劃，兼顧軌跡平滑與機械臂動作平滑。

為了驗證仿真中更符合實際需求的軌跡規(guī)劃，先設(shè)置橫向比較，再進行縱向排除，得到最優(yōu)軌跡規(guī)劃。

選擇有效的關(guān)節(jié)角函數(shù)圖像，挑選出第一關(guān)節(jié)角的旋轉(zhuǎn)角度、角速度和角加速度作為參考基準圖像。

首先對第一關(guān)節(jié)角的旋轉(zhuǎn)角度分別用三次方多項式(如圖6)、三次多項式三次樣條插值(如圖6)、四次多項式三次樣條插值(如圖7)與五次多項式三次樣條插值(圖7)進行函數(shù)曲線擬合，得到殘差值和函數(shù)表達式。

圖6 旋轉(zhuǎn)角度三次多項式與其三次樣條插值擬合與殘差模對比

圖7 旋轉(zhuǎn)角度四次多項式與五次多項式三次樣條插值擬合與殘差模對比

經(jīng)過對比，在一定時間內(nèi)第一關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度環(huán)境下，三次多項式三次樣條插值擬合得到的曲線與四次多項式三次樣條插值擬合得到的曲線基本一致。而利用五次多項式三次樣條插值來進行擬合得到的殘差模最小。并且由于三次多項式和三次多項式三次樣條插值的方程和曲線一致，因為在下列對第一關(guān)節(jié)的角速度和角加速度的函數(shù)擬合中，將二者合并為一個比較項。

對第一關(guān)節(jié)角速度進行三次多項式三次樣條插值(如圖8)、四次多項式三次樣條插值(如圖8)與五次多項式三次樣條插值(圖9)進行函數(shù)曲線擬合，得到殘差值和函數(shù)表達式。

圖8 角速度三次多項式與四次多項式三次樣條插值擬合與殘差模對比

圖9 角速度五次多項式三次樣條插值擬合與殘差模

經(jīng)過對比，在角速度環(huán)境下，利用五次多項式三次樣條插值來進行擬合得到的殘差模雖然最小，但是利用四次多項式三次樣條插值來進行擬合得到的殘差模與前者非常接近，而且從曲線表現(xiàn)形式上來看，四次多項式三次樣條插值的擬合曲線更平滑，而不會為了擬合曲線而頻率過高地小幅度劇烈抖動，所以在角速度的環(huán)境下，利用四次多項式三次樣條插值來擬合曲線最合適。

對第一關(guān)節(jié)角加速度進行三次多項式三次樣條插值(如圖10)、四次多項式三次樣條插值(如圖10)與五次多項式三次樣條插值(圖11)進行函數(shù)曲線擬合，得到殘差值和函數(shù)表達式。

圖10 角加速度三次多項式與四次多項式三次樣條插值擬合與殘差模對比

經(jīng)過對比，在角加速度環(huán)境下，利用四次和五次多項式三次樣條插值來進行擬合得到的殘差模雖然最小，但是利用三次多項式三次樣條插值來進行擬合得到的殘差模與前二者非常接近，而且從曲線表現(xiàn)形式上來看，三次多項式三次樣條插值的擬合曲線更平滑，而不會為了擬合曲線而頻率過高地小幅度劇烈抖動，所以在角加速度的環(huán)境下，利用三次多項式三次樣條插值來擬合曲線最合適。

綜上所述，在一定時間內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度的環(huán)境下，選擇五次多項式三次樣條插值來進行擬合軌跡效率最佳。在第一關(guān)節(jié)角速度環(huán)境下，選擇四次多項式三次樣條插值來進行擬合軌跡效率最佳。在第一關(guān)節(jié)角加速度環(huán)境下，選擇三次多項式三次樣條插值來進行擬合軌跡效率最佳。

3 結(jié)論

本文利用D-H參數(shù)法對ABB IRB1660型號機械臂進行了參數(shù)采集和物理建模；基于Matlab對機械臂進行初始化，通過正解反求逆解驗證建模的合理性；將軌跡拆解為每一個關(guān)節(jié)角的旋轉(zhuǎn)動作并分析最優(yōu)解擬合軌跡。本文重在探索機械臂的仿真模擬特性，有極強的經(jīng)濟性，并有助于減少實際操作中出現(xiàn)的問題。