(浙江省水利水電勘測設(shè)計(jì)院，浙江 杭州 31002)

受地形特征和氣候條件的影響，沿海地區(qū)的洪澇災(zāi)害受多種致災(zāi)因子共同作用，導(dǎo)致沿海地區(qū)的防洪排澇問題異常復(fù)雜。暴雨和潮位作為沿海地區(qū)兩種典型的致災(zāi)因子，影響著該地區(qū)的防洪排澇，具體表現(xiàn)為當(dāng)區(qū)域發(fā)生暴雨時(shí)，河口的潮位無法預(yù)知，當(dāng)高潮位發(fā)生時(shí)，區(qū)域產(chǎn)生的降雨復(fù)雜多樣，而傳統(tǒng)的單變量頻率分析不能準(zhǔn)確反映暴雨和潮位對(duì)洪澇形成的相互作用關(guān)系，無法明確地給出洪潮遭遇的風(fēng)險(xiǎn)概率，無法解決復(fù)雜的防洪排澇問題。因此利用多維分析方法進(jìn)行科學(xué)定量的沿海地區(qū)雨潮遭遇風(fēng)險(xiǎn)分析，為流域防洪排澇規(guī)劃設(shè)計(jì)等提供設(shè)計(jì)參考十分必要。

目前，研究多變量聯(lián)合分布的方法很多，而Copula函數(shù)因其不受邊緣分布的限制，能夠完整描述變量間的相關(guān)性，可根據(jù)實(shí)際情況靈活構(gòu)造隨機(jī)變量的多維聯(lián)合分布，定量準(zhǔn)確地計(jì)算出不同變量遭遇組合下的風(fēng)險(xiǎn)概率，且計(jì)算十分簡便，因此在實(shí)際的水文事件組合分析計(jì)算中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。Copula函數(shù)在水文水資源領(lǐng)域的應(yīng)用主要包括干支流洪水遭遇分析[2-3]，豐枯遭遇分析[4-5]，洪潮及雨潮遭遇分析[6-7]等，但大部分的研究均集中于廣東[8-9]、福建[10]和長江流域[2]等地區(qū)，對(duì)浙江省沿海地區(qū)的研究較少。

相較于傳統(tǒng)的根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行定性地雨潮組合判斷的方法，本文采用多種不同的Copula函數(shù)構(gòu)建了降雨與潮位的兩變量聯(lián)合分布，并最后選取最佳的Copula函數(shù)，對(duì)浙江省部分沿海地區(qū)的雨潮組合遭遇進(jìn)行科學(xué)定量的風(fēng)險(xiǎn)概率計(jì)算和分析，為浙江省沿海地區(qū)的防洪排澇治理提供高效科學(xué)的決策參考。

1 雨潮二維聯(lián)合分布構(gòu)建

1.1 Copula函數(shù)的定義

根據(jù)Sklar定理[11]：令F是具有邊緣分布函數(shù)為F1(x1),F2(x2)，…，F(xiàn)n(xn)的n維聯(lián)合分布函數(shù)，若F1(x1),F2(x2),…，連續(xù)，則存在唯一一個(gè)Copula函數(shù)C，滿足：

F(x1,x2,…,xn)=C[F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)]

(1)

式中，F(xiàn)1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)分別為變量x1,x2,…,xn的邊緣分布。

Copula函數(shù)的構(gòu)建還有機(jī)結(jié)合了變量的相關(guān)程度，因此在推求多變量聯(lián)合分布前還需計(jì)算變量的相關(guān)性。Kendall秩相關(guān)系數(shù)能夠反映變量之間的線性和非線性相關(guān)關(guān)系，因此常用作變量間相關(guān)性度量指標(biāo)[12]，其計(jì)算公式如下：

yj)],i,j=1,2,…,N

(2)

sign[(xi-xj)(yi-yj)]

(3)

式中,N為數(shù)據(jù)長度；(xi,yi)為變量點(diǎn)數(shù)據(jù)。

1.2 二維聯(lián)合分布推求

水文多變量聯(lián)合分布常采用的Copula函數(shù)有AMH Copula，F(xiàn)rank Copula，Gumbel-Hougaard Copula，Clayton Copula，各方法特征及適用條件[6]見表1。

表1 不同Copula函數(shù)特征及適用條件Tab.1 The character and applicable conditions of different Copula functions

由于降雨和潮位具有非對(duì)稱的尾部特征，因此，本文選取Gumbel-Hougaard Copula和Clayton Copula函數(shù)建立雨量和潮位的二維聯(lián)合分布，其分布函數(shù)表達(dá)式如下。

GH Copula的分布函數(shù)表達(dá)式為

F(p,z)=C(u,v)=exp{-[(lnu)θ+(-lnv)θ]1/θ}

(4)

τ=1-1/θ,θ∈[1,∞)

(5)

Clayton Copula的分布函數(shù)表達(dá)式為

F(p,z)=C(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ

(6)

τ=θ/(2+θ),θ∈(0,∞)

(7)

式中，F(xiàn)(p,z)為降雨量P和潮位Z的聯(lián)合分布函數(shù)；u和v分別為降雨量P和潮位Z的邊緣分布函數(shù)FP(p)和FZ(z)；θ為Copula函數(shù)參數(shù)；τ為Kendall秩相關(guān)系數(shù)。

1.3 Copula函數(shù)優(yōu)選

為了檢驗(yàn)不同的Copula函數(shù)在多變量頻率分析中的擬合精度，需要比較經(jīng)驗(yàn)概率和理論概率是否一致。實(shí)測值(pi,zi)的經(jīng)驗(yàn)累積概率計(jì)算公式[13]如下：

(8)

式中，N為聯(lián)合實(shí)測值總個(gè)數(shù)；ni為實(shí)測值同時(shí)小于等于(pi,zi)出現(xiàn)的次數(shù)。

經(jīng)驗(yàn)概率與理論概率的擬合程度采用OLS準(zhǔn)則[12]進(jìn)行擬合精度評(píng)價(jià)，OLS準(zhǔn)則如下：

(9)

式中，F(xiàn)emp(pi,zi)和F(pi,zi)分別為經(jīng)驗(yàn)累積概率值和理論累積概率值。OLS越小，說明Copula函數(shù)的擬合精度越高。

1.4 風(fēng)險(xiǎn)概率模型構(gòu)建

為了定量分析不同的雨潮組合發(fā)生的概率，本文構(gòu)建了3種不同的風(fēng)險(xiǎn)率模型，用于評(píng)價(jià)洪潮遭遇風(fēng)險(xiǎn)[14]。

(1) 同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率。同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率指降雨、潮位同時(shí)超過某一量級(jí)的概率。此情況是對(duì)城市防洪威脅最大、最不利的情況。其計(jì)算公式為

P風(fēng)險(xiǎn)(Z>z,P>p)=1-FZ(z)-FP(p)+F(p,z)

(10)

(2) 條件風(fēng)險(xiǎn)率。條件風(fēng)險(xiǎn)率是指已知發(fā)生某一量級(jí)的降雨時(shí)，發(fā)生超過某一量級(jí)的潮位的概率。其計(jì)算公式為

P條件(Z>z|P>p)=(1-Fz(z)-FP(p)+

F(p,z))/(1-FP(p))

(11)

(3) 防澇風(fēng)險(xiǎn)率。防澇風(fēng)險(xiǎn)率是指發(fā)生超過某一量級(jí)的降雨，或發(fā)生超過某一量級(jí)的潮位的概率。其計(jì)算公式為

P防澇(Z>z或P>p)=1-F(p,z)

(12)

其對(duì)應(yīng)的防澇標(biāo)準(zhǔn)Tf計(jì)算公式為

Tf=1/(1-F(p,z))

(13)

對(duì)于任意設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的暴雨和潮位的組合，可通過其各自的邊緣分布函數(shù)求得聯(lián)合分布，從而得到各種風(fēng)險(xiǎn)率及防澇標(biāo)準(zhǔn)。同理，對(duì)于給定的風(fēng)險(xiǎn)率和防澇標(biāo)準(zhǔn)，也可求出不同暴雨重現(xiàn)期和潮位重現(xiàn)期的組合。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 溫黃平原雨潮組合風(fēng)險(xiǎn)分析

溫黃平原位于浙江省東部，椒江干流南岸、楠溪江以東、樂清灣以北，東部和東南部瀕臨東海，受暴雨及外海潮位共同作用，該地區(qū)洪澇災(zāi)害頻發(fā)。本文選用溫黃平原10個(gè)雨量站的年最大1 d降雨平均值作為本地區(qū)暴雨，暴雨發(fā)生后3 d內(nèi)的海門站最高潮位[15]作為相應(yīng)潮位，及海門站年最高潮位，分析“以暴雨為主，潮位相應(yīng)”的溫黃平原雨潮遭遇問題。

年最大1 d降雨、暴雨相應(yīng)潮位及年最高潮位均采用P-Ⅲ型分布描述其邊緣分布，經(jīng)矩法和目估適線后，得到3個(gè)系列的邊緣分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)及設(shè)計(jì)值見表2。

分別采用GH Copula和Clayton Copula建立降雨和潮位的聯(lián)合分布，各分布模型的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值及理論頻率與經(jīng)驗(yàn)頻率的擬合度見表3和圖1。

表3 Copula函數(shù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)及擬合度計(jì)算成果Tab.3 The statistical parameter of Copula functions and calculation results of fitting degree

圖1 不同Copula函數(shù)經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率擬合Fig.1 The fitness of theoretical joint distribution and experience joint distribution by different Copula functions

結(jié)果表明，Gumbel-Hougaard Copula的OLS較小，經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率的擬合度更好，說明其能更好地反映降雨和潮位之間的聯(lián)合分布。因此，選取Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布進(jìn)行雨潮遭遇概率分析。

圖2為以暴雨為主，潮位相應(yīng)的雨潮同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率分布圖。表4為根據(jù)構(gòu)建的風(fēng)險(xiǎn)概率模型計(jì)算出的各種暴雨潮位組合下的風(fēng)險(xiǎn)率及防澇標(biāo)準(zhǔn)。

由表4和圖2可以看出，隨著潮位重現(xiàn)期的提高，遭遇同一重現(xiàn)期暴雨的概率逐漸減小，其防澇標(biāo)準(zhǔn)逐漸提高；不同重現(xiàn)期降雨遭遇20 a一遇以上潮位概率較小，最高不超過1.4%；且降雨和潮位組合下的聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)率均小于組合中降雨的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，即暴雨的重現(xiàn)期高于防澇標(biāo)準(zhǔn)。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，在選取暴雨和潮位的遭遇組合時(shí)，既需要考慮工程安全，達(dá)到一定的防澇標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)其遭遇也需要滿足合理的條件概率。在實(shí)際的浙江省溫黃平原防洪排澇規(guī)劃設(shè)計(jì)中，采用傳統(tǒng)的洪潮遭遇分析，確定50 a和20 a一遇暴雨遭遇20 a一遇潮位。當(dāng)50 a和20 a一遇暴雨遭遇20 a一遇潮位時(shí)，對(duì)應(yīng)的同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率分別為0.4%和0.7%，防澇標(biāo)準(zhǔn)為23 a和14 a一遇，條件風(fēng)險(xiǎn)率為22.5%和14.8%，既滿足了較小的風(fēng)險(xiǎn)，達(dá)到了一定的防澇標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)也滿足了較高的條件概率，說明設(shè)計(jì)較為合理。

圖2 以暴雨為主，潮位相應(yīng)的雨潮同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率分布Fig.2 The distribution of simultaneous risk probability of rainfall and corresponding tide

表4 溫黃平原不同暴雨潮位組合下風(fēng)險(xiǎn)率Tab.4 The risk probability of different combinations of rainfall and tide in Wenhuang plain

2.2 浙江省其他沿海流域雨潮組合風(fēng)險(xiǎn)分析

本文還將Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)應(yīng)用至鰲江流域、錢塘江流域等浙江省其他沿海地區(qū)進(jìn)行雨潮組合風(fēng)險(xiǎn)分析，結(jié)果見表5。

表5 浙江省其它沿海地區(qū)不同暴雨潮位組合下風(fēng)險(xiǎn)率Tab.5 The risk probability of different combinations of rainfall and tide in other coastal areas of Zhejiang Province

從整體上看，在相同的暴雨和潮位遭遇組合下，鰲江流域和錢塘江流域的雨潮遭遇風(fēng)險(xiǎn)率較溫黃平原更低，但其整體的變化規(guī)律與溫黃平原的基本保持一致，且該成果與各流域防洪排澇規(guī)劃設(shè)計(jì)中推薦采用的雨潮遭遇成果基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了Copula函數(shù)在雨潮遭遇應(yīng)用分析中的適用性。

3 結(jié) 語

由Copula函數(shù)建立的雨潮聯(lián)合分布精確定量地計(jì)算出了不同雨潮組合下的風(fēng)險(xiǎn)率，其在浙江省三大沿海流域的應(yīng)用成果與流域防洪排澇規(guī)劃設(shè)計(jì)中推薦的雨潮組合成果基本一致，說明了計(jì)算結(jié)果的合理性和可靠性。與傳統(tǒng)的雨潮組合定性分析方法相比，該方法計(jì)算簡便、靈活高效、實(shí)用性強(qiáng)，能夠明確地給出不同雨潮組合下的風(fēng)險(xiǎn)概率，可為沿海地區(qū)工程設(shè)計(jì)提供決策參考。在實(shí)際工程應(yīng)用中，建議同時(shí)結(jié)合條件風(fēng)險(xiǎn)率和防澇標(biāo)準(zhǔn)綜合確定雨潮遭遇組合。