□張維國 肖清華 程 力

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的推進，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)已成為學(xué)校教育教學(xué)的主要任務(wù)。為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師必須將目光聚焦于課堂教學(xué)，擺脫以往淺層的、表層的課堂教學(xué)，實施有深度、有廣度、有關(guān)聯(lián)度的深度教學(xué)。

深度教學(xué)是一種教學(xué)理念，以知識觀和發(fā)展的學(xué)習(xí)觀來看，深度教學(xué)注重發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生深度參與教學(xué)過程；強調(diào)完整地處理知識，讓學(xué)生深刻把握教學(xué)內(nèi)容，增強學(xué)生知識學(xué)習(xí)的意義感、自我感和獲得感?，F(xiàn)以“組合圖形面積”一課為例，嘗試從實踐層面探索實施深度教學(xué)的路徑。

一、指向深度教學(xué)的課例列舉

（一）“深度”設(shè)問，引學(xué)生思考

師：同學(xué)們，我們學(xué)過哪些平面圖形？

生：三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓形、菱形。

師：我們可以把這些平面圖形稱為基本圖形。仔細觀察圖1，它們分別是由哪些基本圖形拼成的？

圖1

圖2

生：第一幅圖形是由5個三角形、1個正方形和1個平行四邊形拼成的。

師：你觀察得真仔細，那第二幅和第三幅圖呢？

生：我發(fā)現(xiàn)第二幅圖也是由5個三角形、1個平行四邊形、1個正方形組成的。

生：第三幅圖也是（由5 個三角形、1 個平行四邊形、1 個正方形組成）,我發(fā)現(xiàn)這三個圖案都是用七巧板拼的圖形。

師：你不僅善于觀察，還善于動腦。繼續(xù)往下看，圖2是科學(xué)館的指示牌，它由哪些基本圖形組成？

生1：它是由三角形和長方形組成的。因為從這里面切一條豎線就分成一個三角形和一個長方形。

生2：這個圖還可以由三角形、長方形、正方形組成。我在長方形里畫兩條豎線段，就能分成三個平面圖形。

生3：我不同意他（生2）的畫法，我認(rèn)為還是畫一條好，因為它是由兩個簡單的平面圖形來組成一個指路牌的。

師：（指向生2，追問）你覺得呢？

生2：聽了他的講解，我覺得有道理。還是畫一條線段好，如果畫兩條線段的話，會變成三個圖形，就需要算三遍，畫一條線段只需要算兩遍，然后加起來就可以了，一條線段比較簡單。

生4：我想補充一點。我也覺得畫一條線段比較好，如果畫兩條線段，就要分割成一個長方形、一個正方形、一個三角形，更加復(fù)雜了。

師：綜合大家的意見，只要畫幾條線段？

生（全體）：一條。

師：你們分析得真透徹啊，像這樣把復(fù)雜的問題變簡單，把陌生的圖形變熟悉，是數(shù)學(xué)上的化繁為簡思想。在這個過程中，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：我發(fā)現(xiàn)同一個圖形，用不同的分法可以分為不同的基本圖形。

師：也就是說，同一個圖形可以看作是由不同的基本圖形拼成的。

在這一環(huán)節(jié)，教師通過復(fù)習(xí)基本圖形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)七巧板拼成的復(fù)雜圖形以及指示牌等圖形，都可看作是由一些基本圖形拼成的，可以用“畫線”的方法把組合圖形分割成基本圖形。在這一過程中，學(xué)生通過闡述、質(zhì)疑、爭辯、追問，發(fā)現(xiàn)“不同的分法可以分為不同的平面圖形”，實現(xiàn)了深度教學(xué)的理念，也為新知學(xué)習(xí)與探究做好了鋪墊。

（二）“深度”探求，得多種解法

師：同學(xué)們對單個的基本圖形的面積已經(jīng)掌握，像這些組合圖形的面積又該怎樣計算呢？今天這節(jié)課，我們就一起來探求組合圖形的面積計算方法。

出示例題：小華家要在客廳鋪地板（客廳平面圖如圖3），請你根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)算一算小華家客廳至少要買多少平方米的地板？

1.估算與猜測

師：誰來估一估，大約要買多少平方米的地板？

生：56㎡；生：42㎡；生：36㎡。

師：我們估計的數(shù)據(jù)都不一樣，怎么辦呢？

生：需要計算出地板的面積。

圖3

師：說得好，要算出準(zhǔn)確的面積。下面就讓我們一起來算一算。

2.探究與交流

（1）提出活動要求，讓學(xué)生獨立畫一畫、算一算。

活動要求：a.畫一畫：先在課堂作業(yè)單上的客廳平面圖上畫一畫；b.算一算：根據(jù)畫的方法，計算出客廳的面積；c.想一想：你還能想出別的方法嗎？請在其他的圖上畫一畫，再算一算。

（2）在小組交流的基礎(chǔ)上組織全班交流。

師：我們請同學(xué)到前面來說一說，你是怎么算的？

生1：我把這個圖形分成了兩個長方形（如圖4），那么6-3=3（m），接下來就用4×3=12（㎡），3×7=21（㎡），最后算出客廳面積是12+21=33（㎡）。

圖4

圖5

生2：我把這個組合圖形分成了一個正方形和一個長方形（如圖5），我們知道正方形的每一條邊是相等的，所以要算這個正方形面積就要把它的邊長算出來，7-4=3（m），正方形面積就是3×3=9（㎡），然后長方形的長是6m，寬是4m，4×6=24（㎡），再求出正方形和長方形的面積之和就等于組合圖形的面積，即24+9=33（㎡）。

生3：我是這樣算的，左邊大長方形的寬是4m，可以分成兩個寬是3m，長是4m 的小長方形（如圖6）。只要算出2個小長方形的面積和右邊1 個正方形的面積，就能求出客廳總面積。師追問：像這樣分成2 個長方形和1 個正方形的計算會比生2的方法簡單嗎？

圖6

生（全體）：復(fù)雜。

師追問：為什么會復(fù)雜？

生4：因為生3 的方法是把左邊整體的長方形再繼續(xù)分割成兩個小長方形。照這樣分，要先求出小長方形面積，再求大長方形面積，最后求客廳面積。計算就會由簡單的一步變成復(fù)雜的兩步。生2的方法比較簡單，左邊長方形可直接用6×4算出面積，再與右邊正方形面積相加就得出總面積。

生5：我想補充，其實在數(shù)學(xué)中沒有說誰的方法行或者不行，只是我們把復(fù)雜的題目變簡單，把陌生的圖形畫成我們熟悉的圖形。按生2 的方法在圖形旁邊畫一條豎線段分成一個長方形和一個邊長為3m的正方形就可以了，再分長方形，畫蛇添足了。能直接求的面積就不要走彎路去繞，生2的方法更簡單。

師：你解說得真透徹?；睘楹啠儚?fù)雜為簡單是數(shù)學(xué)中非常重要的轉(zhuǎn)化思想。（板書：繁→簡，復(fù)雜→簡單，轉(zhuǎn)化）

生6：我的這個方法可能比前面的方法要復(fù)雜一點，我是把這個組合圖形分成兩個梯形（如圖7）。左邊梯形上底就用6-3=3（m），右邊梯形的上底是7-4=3（m），兩個梯形的下底和高都已知，根據(jù)梯形的面積公式就可以求出客廳的總面積是18㎡與15㎡的和，是33㎡。

圖7

圖8

生7：我還有不一樣的方法，我的方法是不把它切割，而是在這個少的地方補上一個正方形（如圖8）。因為補上這個正方形它就變一個大的長方形。

生8提出質(zhì)疑：補上的圖怎么知道它是一個正方形？

生7：因為這個長方形的長是7m，左邊已知部分是4m，右邊未知部分就是7-4=3（m）；再看大長方形的寬是6m，已知部分是3m，未知部分就是6-3=3（m），未知部分的長和寬的邊長都是3m，所以就是正方形。然后用6×7=42（㎡），算出整個大長方形的面積。再減去正方形3×3=9（㎡）的面積就等于這個客廳的面積。42-9=33（㎡）。大家還有什么疑問嗎？

生9：我有一種比這更容易理解的方法。因為我們以前學(xué)習(xí)求梯形面積的時候用兩個一樣的梯形把它拼成一個平行四邊形，那我發(fā)現(xiàn)用兩個一樣的圖形可以拼成一個大的長方形，這個客廳的面積就是大長方形面積的一半（如圖9）。

圖9

師：真的嗎？把你的方法給大家演示一下好不好？

生9：就是這樣的，這個長方形的長4+7=11（m），寬不變還是6m，11×6=66（㎡），客廳的面積是大長方形面積的一半，就是66÷2=33（㎡）。

生10：我發(fā)現(xiàn)這個組合圖形剛好可分割成一大一小兩個長方形，這兩個長方形的寬都是3m，上面小長方形分割后添補到下面來，它們正好能拼成一個大長方形（如圖10），大長方形的面積就是客廳的面積，也就是長為7+4=11（m），寬3m，面積為11×3=33（㎡）。

圖10

在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師放手讓學(xué)生進行嘗試與探究，在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上，再組織課堂分享與交流。在生生互動的思維碰撞中，課堂不時激發(fā)出智慧的火花。學(xué)生不僅想到了四種常規(guī)思路，還想到了后面兩種富有創(chuàng)造力的方法，不僅深度參與教學(xué)過程，還深刻把握了教學(xué)內(nèi)容，提高了用多種方法解決問題的能力。

（三）“深度”概括，形塑數(shù)學(xué)思想

師：通過這些方法的交流，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)這些方法都有一個共同點：可以把一個陌生的圖形通過添補或者分割，變成我們熟悉的圖形。

生2：該組合圖形通過同學(xué)們的分割和添補，成為我們學(xué)過的基本圖形，我發(fā)現(xiàn)可以總結(jié)出兩種方法：一種就是前面三種包括最后一種方法都是割補法，把組合圖形分成我們熟悉的圖形。另外一種方法是把所缺的部分補充完整，然后算出完整圖形的面積，再減去添補部分的面積，就等于我們要算的面積。因此兩種方法是：割補法與添補空白法。

生3：我想補充，不管求什么圖形的面積都得知道一些數(shù)據(jù)。分割法就要知道兩個圖形求面積的數(shù)據(jù)，再把兩個圖形的面積加起來。添補法也需要知道完整圖形的面積后再減去添補的面積。我們要找出那些沒有標(biāo)數(shù)據(jù)的地方，比如說現(xiàn)在有一條邊沒有數(shù)據(jù)，如果你需要它，就要找跟它相等的線段；如果沒有，就要找跟它相差的地方。比如用這個方法推算這個圖形是長方形還是正方形，就看這條邊是多少。我們知道這條線段是7m，把這條線平行過來，這條線段總共是7m，這里是4m，那么就是7-4=3（m），這是一種方法。

師：同學(xué)們善于觀察，善于思考，不僅發(fā)現(xiàn)了方法，還知道如何找圖形中隱藏的數(shù)據(jù)，這是解決問題的關(guān)鍵，你們有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛。解決組合圖形的面積問題，既可以對組合圖形進行分割，分割成我們學(xué)過的基本圖形，然后再加起來求和，這種方法叫分割法；也可以把缺了的部分補起來，這種方法叫添補法。有時候，既用分割法又用添補法，比如像生10 的方法，我們是先分割，然后再添補，這種就叫割補法。它可以幫助我們解決很多生活中求面積的問題。

在引導(dǎo)學(xué)生交流多種組合圖形面積的計算方法后，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深度思考，進行總結(jié)和提升，歸納出解決組合圖形面積問題的常用方法——分割法和添補法，并讓學(xué)生體會和感悟到其中隱含的數(shù)學(xué)思想。

二、數(shù)學(xué)課堂深度教學(xué)策略思考

（一）“明”“暗”互融

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)把握好一條明線和一條暗線。明線是學(xué)生對基本知識與基本技能的掌握，暗線是學(xué)生對基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和對基本數(shù)學(xué)思想方法的感悟。本課教學(xué)的明線是引領(lǐng)學(xué)生思考并掌握組合圖形面積的計算方法，暗線是讓學(xué)生積累“割”或“補”組合圖形的活動經(jīng)驗，感悟“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想。教師通過有效的活動設(shè)計與課堂提問，讓學(xué)生在思考與交流碰撞中，既“得法”又“明理”，也就是說，既讓學(xué)生掌握組合圖形面積計算“分割”或“添補”的方法，又感悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想，達到深度教學(xué)的要求。

（二）核心問題引領(lǐng)

本課教學(xué)設(shè)計非常簡潔，只有三個核心問題?！白屑氂^察，它們（這些圖形）分別由哪些基本圖形拼成的？”“客廳面積有多大？”及“通過這些方法的交流，你有什么發(fā)現(xiàn)？”整堂課均以這三個核心問題為驅(qū)動，引發(fā)學(xué)生的深度思考與交流。教師在問題提出以后，要舍得把時間交給學(xué)生讓其獨立思考，在每個學(xué)生都有了學(xué)習(xí)與思考成果之后，再用較多的時間組織生生交流、全班分享，在人人參與的“深度教學(xué)”氛圍中，實現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（三）進退有度

學(xué)生有了多種解法以后，如何安排交流的順序？每種方法如何呈現(xiàn)？學(xué)生介紹完自己的方法，教師如何引導(dǎo)全班學(xué)生進行思考？教師在課堂的這個環(huán)節(jié)起著重要的“定海神針”的作用。教師要“到位”而不“越位”，自己盡量少講或不講，放手讓學(xué)生交流碰撞。在每位學(xué)生講解了自己的做法之后，教師要用精練的語言或眼神鼓勵學(xué)生進行質(zhì)疑、補充、糾正及優(yōu)化，再對學(xué)生發(fā)現(xiàn)與交流的多種方法進行總結(jié)與歸納。在這節(jié)課中，每位學(xué)生都非常專心傾聽，深度參與、思考，學(xué)生進入了深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)。教師把握教學(xué)“進退”的策略必須持之以恒。