□章勤瓊

有這樣一個笑話，某個恐龍博物館的解說員指著恐龍化石告訴參觀者說，這頭恐龍生活的年代距今已經(jīng)2 億零15 年了。參觀者問為什么是2 億零15 年，解說員很有把握地說：“我來這里工作的時候，被告知這頭恐龍生活在2 億年前，我在這里已經(jīng)工作15年了！”這里的2億明顯是個概數(shù)，解說員將其當(dāng)成精確數(shù)和15 相加，令人啼笑皆非。很多人在小學(xué)就學(xué)習(xí)了如何將一個數(shù)進(jìn)行不同數(shù)位的四舍五入，但對于四舍五入的意義是什么，為什么要四舍五入?yún)s并不清楚。所以對估計(jì)沒有什么概念。[1]

事實(shí)上，有些類似的問題，數(shù)學(xué)老師也不是那么容易解答。比如，“四舍五入到3.8的所有兩位小數(shù)有幾個？”這個問題看起來很簡單，但卻讓人很糾結(jié)，答案到底是10 個還是9 個？3.75、3.76、3.77、3.78、3.79、3.81、3.82、3.83、3.84 這9 個數(shù)當(dāng)然都沒有問題，問題在于3.80，有不同觀點(diǎn)爭執(zhí)不下。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，四舍五入就是約等于，3.80 等于3.8，當(dāng)然不能算，精確值不是近似值；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，雖然3.80和3.8在數(shù)值上是相等的，但它們的計(jì)數(shù)單位是不同的，所以并不是同一個數(shù)，應(yīng)該要算。

那么，這里能四舍五入到3.8 的兩位小數(shù)到底是10個還是9個？3.8算不算是3.80的近似數(shù)？我們應(yīng)該對與此相關(guān)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對教學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的思考。

一、“準(zhǔn)確數(shù)”與“近似數(shù)”

在計(jì)數(shù)和計(jì)算過程中，有時能得到與實(shí)際完全相符的數(shù)，這些數(shù)叫準(zhǔn)確數(shù)，如某校的數(shù)學(xué)教師有15 人、6×1.2=7.2 等等，但在生產(chǎn)、生活和計(jì)算中得到的某些數(shù)，往往只是接近于準(zhǔn)確數(shù)，這種數(shù)叫近似數(shù)。如“某市人口有850 萬”，850 萬就是一個近似數(shù)。因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)一個城市的人口時，由于居民的遷入和遷出、出生和死亡，人口的數(shù)目隨時都在變化，很難得出準(zhǔn)確的人口數(shù)。另外還有一種情況是無法得到準(zhǔn)確的值，比如圓周率π，由于這是個無理數(shù)，沒有辦法知道精確數(shù)是多少，所以通常采用近似數(shù)3.14?？梢?，準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的主要區(qū)別在于是否與實(shí)際情況完全相符。[2]小于準(zhǔn)確數(shù)的近似數(shù)叫不足近似數(shù)，大于準(zhǔn)確數(shù)的近似數(shù)叫過剩近似數(shù)。

在選擇近似數(shù)的時候，有以下三種不同的方法：（1）去尾法，這種方法得到的是不足近似數(shù)。（2）進(jìn)一法，這種方法得到的是過剩近似數(shù)。（3）四舍五入法，可能得到不足近似數(shù)，也可能得到過剩近似數(shù)。在截取近似數(shù)的具體問題中，除了某些時候需要根據(jù)具體情況運(yùn)用去尾法或進(jìn)一法之外，一般用四舍五入法，因?yàn)橛盟纳嵛迦敕ㄈ〉玫慕茢?shù)與準(zhǔn)確數(shù)的誤差會更小。[3]四舍五入的定義是“將一個自然數(shù)n 四舍五入到十位就是說將n 替換為10的所有倍數(shù)中離n最近的那個倍數(shù)。如果10的離n最近的倍數(shù)有兩個，我們約定選取其中較大的一個”。[4]對小數(shù)四舍五入，可以有類似的定義。

從在數(shù)軸上表示數(shù)這個角度來看，精確數(shù)表示的是一個精確的點(diǎn)，而近似數(shù)表示的是一個區(qū)間的范圍。如果將3.8 看成是一個準(zhǔn)確數(shù)，那么它就表示3.8這一個確定的點(diǎn)（如圖1）；如果將3.8看成是一個近似數(shù)，那么它就表示以3.8 為中心的一個范圍（如圖2），這是一個從3.75到3.85的左閉右開的區(qū)間，即[3.75,3.85）。如果限定了是兩位小數(shù)，也就是在這個區(qū)間內(nèi)的所有兩位小數(shù)，那么3.80當(dāng)然是在這個范圍以內(nèi)。

圖1

圖2

3.80≈3.8 這種表示方法還是很難讓人接受。事實(shí)上，關(guān)于3.80≈3.8，不應(yīng)該簡單地判斷正誤，而是要看在哪個層面上討論。如果是從精確數(shù)的角度來看，學(xué)生當(dāng)然要理解并掌握3.80=3.8，因?yàn)檫@是小數(shù)的意義和性質(zhì)。但從另一個角度來看，當(dāng)3.8作為近似數(shù)時，它所表示的是一個范圍，這個范圍里一定是包含了3.80這個數(shù)的。

再來看另一個例子，有人認(rèn)為，因?yàn)?00000=20 萬，所以20 萬不是200000 的近似數(shù)，200000≈20 萬當(dāng)然也是錯的。讓我們想象這樣一個情境，假如小明去買車，他的心理價位是20萬元，這里的心理價位當(dāng)然不是準(zhǔn)確數(shù)，而是一個近似數(shù)，也就是說，小明其實(shí)是想買一輛價格約等于20 萬元的車。那么，假如現(xiàn)在有一輛標(biāo)價剛好是200000 元的車，請問，這輛車是否在小明的心理價位之內(nèi)？如果按照200000 不能約等于20 萬的說法，這輛定價200000元的車是不是不在20萬元的心理價位以內(nèi)？這顯然不合理。

當(dāng)然，相比讓學(xué)生判斷3.80≈3.8 或者200000≈20萬是否正確，讓他們體會近似的思想更加重要，這跟人們的生活密切相關(guān)。在現(xiàn)實(shí)生活中的連續(xù)量，雖然以精確數(shù)的形式表示，其實(shí)表達(dá)的都是一定程度可接受范圍以內(nèi)的近似數(shù)。比如同樣是計(jì)時，如果是預(yù)約專車，能約的時間通常都是每10分鐘或者每5分鐘。因?yàn)樵谶@個情境中，這樣一個范圍的精確程度已經(jīng)完全夠了；如果是預(yù)約起床的鬧鐘，通常是預(yù)約到每1 分鐘，沒有必要再精確到多少秒；如果是長跑比賽，計(jì)時一般需要精確到秒；如果是短跑比賽，則需要精確到百分之一甚至千分之一秒。這些計(jì)時，雖然都以準(zhǔn)確數(shù)的形式表示，但事實(shí)上表達(dá)的都是某一個精確范圍以內(nèi)的近似數(shù)。

再比如在人工智能時代，機(jī)器識別是一個重要的研究領(lǐng)域。如果要想讓機(jī)器能跟人一樣進(jìn)行識別，近似的思維以及范圍的確定非常關(guān)鍵。比如人臉或者指紋識別，需要確定一個合適的范圍，如果范圍太小，機(jī)器過于靈敏，有可能本人的臉部或者指紋有細(xì)微的一點(diǎn)變化，機(jī)器就無法識別。而如果范圍太大，當(dāng)然就是機(jī)器過于遲鈍，可能無法對本人和其他人作出區(qū)分。

二、“精算”和“估算”

在討論了精確和近似這兩個概念后，再來看精算和估算，兩者都是運(yùn)算能力的重要內(nèi)容，“精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力。顯然，抽象能力與直觀能力是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中必不可少的兩種能力，這兩種能力都是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容不僅要有精算也要有估算。”[5]需要指出的是，估算并不是精算以后的四舍五入。小學(xué)數(shù)學(xué)教材對估算沒有明確的含義，主要是在一些實(shí)際問題的解決中，要求結(jié)合具體情境并選擇適當(dāng)?shù)膯挝?，對?shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕铺幚?，即放大或縮小，得到計(jì)算結(jié)果的近似值的方法。估算是人們在日常生活、工作和生產(chǎn)中，對一些無法或沒有必要進(jìn)行精確測量和計(jì)算的數(shù)量所進(jìn)行的近似或粗略估計(jì)的一種方法。[6]

如果說對精確數(shù)和近似數(shù)的認(rèn)識是從一個精確的數(shù)擴(kuò)充到一個區(qū)間的范圍，那么從精算到估算則更加關(guān)注范圍如何確定，范圍的確定則需要考慮具體情境。因此，估算往往要涉及在哪個數(shù)位上進(jìn)行計(jì)算，需要在估算之前針對實(shí)際背景選擇合理的量綱。比如在考慮距離的度量時，如果要度量北京到紐約的距離，那么用萬公里比較合適；如果要度量杭州到北京的距離，那么用百公里比較合適；如果要度量教室的大小，那么用米比較合適；如果要度量書桌的大小，那么用厘米比較合適。[7]

估算的第一個內(nèi)容是對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行估值，對計(jì)算進(jìn)行估值沒有絕對的正確與錯誤之分，只是由于估算方法的不同，誤差大小會有所區(qū)別。而學(xué)生估值的方法是多種多樣的。如估算243+379，學(xué)生就給出了至少六種不同的方法：（1）200+300=500，43+79＞100，因此比600 大一點(diǎn)；（2）200+400=600，所以大約是600；（3）243+379相當(dāng)于兩個300的和，所以大約是600；（4）243＜250，379＜400，所以比650??；（5）243+379 的和比200+300 的和500 大，比300+400的和700??；（6）24個10加38個10等于62個10，所以大約是620。[8]

除了估值以外，估算還有區(qū)間估計(jì)，區(qū)間估計(jì)包括估上限和估下限兩種情況。估上限是指估算的結(jié)果小于或者等于給定的數(shù)值；估下限是指估算的結(jié)果大于或者等于給定的數(shù)值。[9]如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中有這樣一個問題：“李阿姨去商店購物，帶了100 元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，她還想買一條魚，大一些的每條25.2 元，小一些的每條15.8元。請幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠不夠買小魚？能不能買大魚？”[10]在這個情境中，有購買小魚和大魚兩種情況，都需要用估算的方法，但估算的方法并不相同。第一個買小魚的問題是估計(jì)剩余金額的下限，需要對購物金額的數(shù)量適當(dāng)放大,而第二個買大魚的問題是估計(jì)剩余金額的上限，需要對購物金額的數(shù)量適當(dāng)縮小。數(shù)值區(qū)間的估計(jì)難點(diǎn)在于在估算之前，學(xué)生并不知道是應(yīng)該估上限還是估下限。因此，在估算的時候需要學(xué)生進(jìn)行不斷的嘗試，積累經(jīng)驗(yàn)。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

第一，在近似與估算的教學(xué)中，需要創(chuàng)設(shè)合適的現(xiàn)實(shí)情境。近似思想的要點(diǎn)是從精確的點(diǎn)擴(kuò)展到表示范圍的區(qū)間。因此，首先需要創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學(xué)生體會到在有些場景下，無法或者沒有必要知道準(zhǔn)確的數(shù)值，而且有時對范圍的大致把握要比確定準(zhǔn)確的數(shù)更加重要，比如擬定旅游出行計(jì)劃的預(yù)算等。其次，要通過不同的情境讓學(xué)生感受到范圍大小的確定需要考慮實(shí)際情況，比如對距離的預(yù)估等。此外，相比直接給出200000≈20萬是否正確這樣的判斷題，更可取的做法是給出實(shí)際背景，然后指出心理價位是20 萬元，給出允許接受的范圍是多少，再問哪些數(shù)字是在心理價位以內(nèi)的，這樣的教學(xué)更有意義。

在對估算的要求上也與精算不同，并沒有簡單的對錯之分，估算的結(jié)果也是開放的，并不唯一。對估算好壞的判斷，必須結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境。如果脫離了具體情境，一些估算的問題很難進(jìn)行討論，比如應(yīng)該如何估算287×305？是應(yīng)該計(jì)算300×300 嗎？如果計(jì)算290×310 或者290×300 可不可以？似乎找不到一個統(tǒng)一的答案。

第二，教學(xué)中對估算的重視，既要培養(yǎng)估算的意識，也要教學(xué)估算的方法。[11]如今，復(fù)雜的計(jì)算都可以由計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來完成，與此同時，日常生活和工作中估算的作用已經(jīng)越來越突出。估算能力是現(xiàn)代化社會生活的需要，是衡量人們計(jì)算能力的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。重視、加強(qiáng)估算已成為一個世界性的潮流。[12]

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中也明確提出要培養(yǎng)估算能力，在第一學(xué)段中強(qiáng)調(diào)“能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算，并解釋估算的過程”。在第二學(xué)段中強(qiáng)調(diào)“在解決具體問題的過程中能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣”。由此可以看出，在估算的教學(xué)中，首先需要培養(yǎng)估算的意識，可以通過不同的情境讓學(xué)生進(jìn)行充分的交流，讓學(xué)生比較估算與精算的區(qū)別，體會什么時候需要估算，而什么時候需要精確計(jì)算；其次還需要掌握估算的方法，在教學(xué)中，要充分尊重學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，不斷調(diào)整估算的方法，慢慢體會什么時候需要往大估，什么時候需要往小估，逐步掌握估算方法。