楊紅萍，肖志娟

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問題表征對數(shù)學閱讀能力的影響研究

楊紅萍1，2，肖志娟3

（1．山西師范大學 教師教育學院，山西 臨汾 041000； 2．山西基礎(chǔ)教育質(zhì)量提升協(xié)同創(chuàng)新中心，山西 臨汾 041000；3．陽泉市第十二中學校，山西 陽泉 045000）

數(shù)學閱讀是數(shù)學學習的一項重要技能，探討影響數(shù)學閱讀的因素對指導(dǎo)數(shù)學閱讀教學具有重要意義．問題表征是個體在閱讀過程中將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，并結(jié)合自己的認知結(jié)構(gòu)形成完整的問題空間．研究表明：個體的問題表征能力與數(shù)學閱讀成績之間有密切聯(lián)系；不同問題表征能力學生的數(shù)學閱讀水平存在顯著性差異，問題表征水平越高，其數(shù)學閱讀能力越好；不同數(shù)學閱讀能力學生的問題表征能力存在顯著性差異，數(shù)學閱讀水平越高，其問題表征能力也越好．

問題表征；數(shù)學閱讀；相關(guān)性

1 問題提出

閱讀是人類社會生活的一項重要活動，是人類汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑．數(shù)學學習離不開閱讀，閱讀是數(shù)學學習的一項基本技能．目前，國內(nèi)外學者從數(shù)學閱讀的內(nèi)涵、數(shù)學閱讀的影響因素、數(shù)學閱讀能力、數(shù)學閱讀方法以及數(shù)學閱讀教學等幾個方面進行了初步研究．貝爾認為數(shù)學閱讀和一般閱讀大不相同．數(shù)學閱讀要求讀者必須了解每個數(shù)學術(shù)語和符號的精確含義[1]．邵光華認為，數(shù)學閱讀過程是一個完整的心理活動過程，包含數(shù)學語言（文字、符號、圖表等）的感知和認讀、新概念的同化和順應(yīng)、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素[2]．胡理華認為數(shù)學閱讀能力分為認讀水平、概述水平、辨析水平、串聯(lián)水平、領(lǐng)悟水平、研究水平[3]．喻平提出數(shù)學能力結(jié)構(gòu)的3個層面：元認知能力、共通任務(wù)的能力和特定任務(wù)的能力，而數(shù)學閱讀能力是指閱讀、領(lǐng)會和理解數(shù)學材料的能力，屬共通任務(wù)能力成分之一[4]．辛自強認為學生對數(shù)學文本的理解至少發(fā)生在如下4個層次上：理解詞匯和符號、詞匯和符號之間的互譯問題、在“篇章”水平或者整體水平上理解數(shù)學問題、建構(gòu)合適的問題模型[5]．?sterholm認為有符號數(shù)學材料的閱讀過程是一種特殊的理解過程，需要特殊的讀寫能力．閱讀不同類型的數(shù)學材料需要不同的技能[6]．秦麓花指出數(shù)學閱讀強調(diào)數(shù)學文本如何說明概念[7]．楊紅萍指出數(shù)學閱讀是從數(shù)學文本中獲取意義的、積極的認知心理過程，而要獲取意義，需要對字符（文字、符號與圖形的總稱）進行正確編碼，對文字、符號、圖形3種語言進行正確轉(zhuǎn)譯，并且能夠?qū)ξ谋具M行綜合理解[8]．項目組從2008年起，一直致力于對數(shù)學閱讀深入系統(tǒng)的研究[9-16]，先后對數(shù)學閱讀障礙、數(shù)學語言對閱讀的影響、個體CPFS結(jié)構(gòu)和自我監(jiān)控對數(shù)學閱讀的影響、數(shù)學閱讀教學敘事研究等進行了研究．問題表征與數(shù)學閱讀的相關(guān)研究不曾涉及．

問題表征是個體在閱讀過程中將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，明確問題給定的條件、目標和允許的操作，結(jié)合自己的認知結(jié)構(gòu)形成完整的問題空間[17]，是問題解決者對具體的問題信息進行感知提取、理解內(nèi)化、轉(zhuǎn)換表達的認知過程．具體表現(xiàn)如下．（1）通過閱讀題目了解已知信息與目標狀態(tài)．（2）通過聯(lián)想，激活與問題信息相關(guān)的知識經(jīng)驗，其中涉及對相關(guān)數(shù)學符號、概念、命題等的理解、識別問題類型，以及概括能力和推理能力．（3）在理解的基礎(chǔ)上將問題信息進行轉(zhuǎn)換，構(gòu)建出自己的問題空間，最后選擇恰當?shù)姆绞綄⑵涑尸F(xiàn)出來．

對問題信息意義的獲取必定要經(jīng)過信息轉(zhuǎn)換．如果對已知信息、目標狀態(tài)以及需要進行的操作模糊不清，那么就無法對問題進行正確轉(zhuǎn)換．事實上，有不少閱讀困難就是源于對問題的不理解，不能將外部信息轉(zhuǎn)換成內(nèi)部信息，進而不能形成完整的問題空間，在閱讀過程中就會出現(xiàn)障礙．

據(jù)此提出研究假設(shè)——問題表征是影響數(shù)學閱讀的重要因素．

2 研究過程

2.1 材料

2.1.1 “數(shù)學閱讀能力測試卷”的編制

在參考其他學者問卷設(shè)計的基礎(chǔ)上[18-22]，自行編制“數(shù)學閱讀能力測試卷”．首先，通過理論分析初步擬定數(shù)學閱讀能力結(jié)構(gòu)成分有13種：詞義獲得、數(shù)感、符號意識、信息篩選、語言互譯、空間想象、抽象能力、邏輯推理、合情推理、模型識別、閱讀遷移、數(shù)學交流能力、閱讀元認知．

根據(jù)擬定的13種數(shù)學閱讀能力成分，編制“數(shù)學閱讀能力結(jié)構(gòu)因素調(diào)查問卷”，分別對高校數(shù)學課程與教學論教師和一線不同學段的數(shù)學教師進行測試，以獲得更加完善、準確的成分．問卷采用Likert量表5點記分，要求被試對每一個問題根據(jù)自己的理解，選擇成分與數(shù)學閱讀能力的接近程度，數(shù)字“5”代表非常接近，數(shù)字“1”代表非常不接近．同時，問卷最后設(shè)置開放性問題：“除以上因素外，您認為還需要補充的是？”以得到數(shù)學閱讀能力結(jié)構(gòu)假設(shè)成分的補充性意見．

于2017年8月10日通過問卷星平臺進行網(wǎng)上調(diào)查，樣本來自山西、廣西、江蘇、廣東等地高校教師以及不同學段的一線教師．截至2017年9月26日下午6時，共回收問卷139份，其中高校教師38份，一線教師101份．測試結(jié)果的數(shù)據(jù)分析如下．

（1）描述性數(shù)據(jù)分析，結(jié)果見表1．

表1 數(shù)學閱讀能力結(jié)構(gòu)因素描述統(tǒng)計

注：1到13表示數(shù)學閱讀能力結(jié)構(gòu)的13種成分．

從統(tǒng)計的基本結(jié)果可以看出，每一道題高校教師和一線教師選擇4分和5分累加起來比例都達到70%以上，說明他們對問卷中所提出數(shù)學閱讀能力成分具有較高的認可程度．

（2）對量表進行信度分析，計算可靠性統(tǒng)計量Cronbach系數(shù)，得出問卷整體信度系數(shù)為0.907，說明此量表具有很高的可靠性，因此本問卷所設(shè)置量表的內(nèi)容可信度較高．

調(diào)查結(jié)果顯示，被試對13個假設(shè)成分普遍比較認同．在提出的13種數(shù)學閱讀能力成分之外，還補充了概括能力、信息整合能力．

而抽象和概括是緊密聯(lián)系的，抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不可能認識數(shù)學對象的本質(zhì)屬性，就無法概括．概括是抽象的目的，沒有概括，抽象也就失去了意義，概括不僅以抽象為基礎(chǔ)，還是抽象的發(fā)展，通過概括，能夠使抽象達到更高的層次[23]．因此，把“抽象能力”和“概括能力”合并為“抽象概括能力”．

通過理論分析，結(jié)合調(diào)查結(jié)果，對數(shù)學閱讀能力的成分假設(shè)進行適當調(diào)整，對意義重復(fù)的成分合并整理，最終確定10個成分，這10個成分的名稱及含義見表2．

依據(jù)以上10個成分假設(shè)，從歷年中、高考題中，選擇適合高三學生的題目，篩選整合，編制“數(shù)學閱讀能力測試卷”，1，2……10分別對應(yīng)以上10個成分假設(shè)，每一個成分設(shè)計成一個分測驗，包含測試該成分的2~3題．測驗卷共包括22題（小題），每一題重點測學生數(shù)學閱讀的某一成分．從臨汾市的一所重點中學和普通中學各選取一個高三理科班進行預(yù)測．得到測驗卷分半信度0.801，表明問卷具有良好的信度．各題項與總分之間均在0.01水平上存在顯著性相關(guān)，表明各亞維度都對總分做出貢獻．

表2 數(shù)學閱讀能力結(jié)構(gòu)10成分及其具體涵義

數(shù)學閱讀能力的因素確定采用“活動—因素分析法”．因素分析法是把一組反映事物性質(zhì)、狀態(tài)、特點等的變量簡化為少數(shù)幾個能夠反映出事物內(nèi)在聯(lián)系的、固有的、決定事物本質(zhì)特征因素的統(tǒng)計分析方法．西方的因素分析法未能解決測驗設(shè)計與結(jié)果解釋的客觀性問題[24]．蘇聯(lián)學者提出了以活動為中心的、研究能力結(jié)構(gòu)的活動分析法．首先對與某能力有關(guān)的活動進行分析，據(jù)此提出該能力結(jié)構(gòu)模式的假設(shè)，然后按照所設(shè)想的能力結(jié)構(gòu)因素設(shè)計相應(yīng)的實驗作業(yè)，讓能力不同的被試個別完成，并對他們的完成過程進行定性分析，以檢驗原先所設(shè)想的能力結(jié)構(gòu)因素是否符合實際，最后確定能力結(jié)構(gòu)[25]．這種方法是直覺的、經(jīng)驗的，難以保證能力結(jié)構(gòu)的完整性及結(jié)構(gòu)中因素組合的合理性．

為了克服以上兩種研究方法的局限，莫雷綜合了因素分析法和活動分析法的優(yōu)勢提出“活動—因素分析法”[25]．“活動—因素分析法”認為，能力是在個體的活動中起調(diào)節(jié)制約作用的，具體地對個體完成各種分測驗的過程作定性的分析研究，便可以揭示調(diào)節(jié)這些活動的內(nèi)隱的心理特質(zhì)．因此，可以將對各因素有高負荷的分測驗內(nèi)容分別編制成相應(yīng)的個別作業(yè)，讓學生個別完成，對過程作定性分析，揭示其心理機制，據(jù)此對因素作出解釋，稱為活動鑒別法．

通過“活動—因素分析法”最后確定高三學生數(shù)學閱讀能力的結(jié)構(gòu)為8個因素，分別為概念理解能力、抽象概括能力、閱讀推理能力、語言互譯能力、直觀想象能力、閱讀遷移能力、閱讀元認知能力和信息整合能力．

研究從測試卷中選出與這8個因子相關(guān)的題目，形成“數(shù)學閱讀能力測試卷”共18題（小題）．題型為不定項選擇題和簡答題，總分共112分，每一因素總分14分．其中1、10①、12①測試概念理解，4①、5②測試抽象概括，5①、11①測試閱讀推理，2、3、13測試語言互譯，7、8測試直觀想象，4②、10②測試閱讀遷移，11②、12②測試閱讀元認知．6、9測試信息整合．整套測驗限定完成的總時間為45分鐘．

2.1.2 “數(shù)學問題表征測試卷”的編制

借鑒喻平問題表征的測試題[26]，如下：

已知A、B相距20千米，甲、乙兩個物體分別位于A、B兩點，同時分別向C點和D點作勻速直線運動，=12 km/h，=2，20分鐘后甲、乙分別到達C、D兩點，求C與D之間的距離．（此題為開放性試題．要求：詳細寫出分析思路和解答過程）

選取該數(shù)學問題作為測試材料，原因是：

①這一問題可從直線幾何、平面幾何、空間幾何3個層面進行表征．如果表征為直線幾何，即答案有4個，分別為8千米，16千米，24千米，32千米．如果表征為平面幾何或立體幾何，即答案為8≤S≤32（S為CD間的距離），即有無窮多種答案．這樣，通過測試就可以考察學生對問題隱含信息的提取與理解，另外通過學生的不同層面表征，可以更好地判斷學生的問題表征能力水平．

②該問題屬于開放題，難度適中，而且也不受問題熟悉度的影響．

該測試卷總分12分，計分方法如下：

因為問題答案為8≤S≤32，即該答案有無數(shù)個，所以采取分情況計分．

① 若被試考慮的是直線幾何，則答對一種情況得1分．

②若被試只畫出平面圖，未討論求得答案，得5分；若被試在空間上只畫出圖，未討論求得答案，得6分；若被試考慮的是平面幾何且經(jīng)過討論答案也正確，得10分；若被試考慮的是空間幾何且經(jīng)過討論答案也正確，得12分．

③ 若被試考慮了直線幾何、平面幾何（或空間幾何），那么最后以平面幾何（或空間幾何）結(jié)果計分；若被試討論了平面與空間的情形，那么空間正確計12分，否則平面正確計10分．

另外，測試題附有6個問題構(gòu)成問卷，每題2分．①該題的已知條件有哪些？②你認為該題比較關(guān)鍵的信息是什么？③題目中“甲、乙兩個物體”該如何理解？④你是如何確定20分鐘后C、D的位置關(guān)系的？⑤當你讀完題目后，是否想到通過畫圖來描述這個問題？⑥如果想到畫圖來描述此問題，那么請將你所畫的圖呈現(xiàn)出來．其中題目①②測試問題信息的提取，題目③④測試問題信息的理解內(nèi)化，題目⑤⑥測試問題信息的轉(zhuǎn)換表達．

2.2 程序

“數(shù)學問題表征測試卷”和“數(shù)學閱讀能力測試卷”均利用學生自習時間進行，在三周內(nèi)完成測試．正式測試前都進行預(yù)測，并在預(yù)測的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問題進行修正，并最終確定“數(shù)學問題表征測試卷”的測試時間為25分鐘，“數(shù)學閱讀能力測試卷”的測試時間為45分鐘．測試過程由班主任監(jiān)督完成．最后，使用SPSS 22.0進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理．

選取臨汾市L中學高三年級理科3個班的學生，共131人．兩份測試卷各發(fā)放131份，收回有效測試卷各118份．

3 研究結(jié)果

3.1 數(shù)學問題表征與數(shù)學閱讀能力的相關(guān)性分析

數(shù)學問題表征與數(shù)學閱讀能力的相關(guān)性分析見表3．數(shù)據(jù)顯示，問題表征的3個維度——問題信息的提取（1）、問題信息的理解內(nèi)化（2）和問題信息的轉(zhuǎn)換表達（3）與數(shù)學閱讀能力（）之間存在顯著相關(guān)；數(shù)學閱讀能力的8個成分（1—8）與問題表征（）之間存在顯著相關(guān)；問題信息提取與概念理解（1）存在0.05水平上的顯著相關(guān)，與數(shù)學閱讀能力的其它成分（除抽象概括2）存在0.01水平上的顯著相關(guān)，問題信息理解內(nèi)化、問題信息轉(zhuǎn)換表達均與抽象概括存在0.05水平上的顯著正相關(guān)，與數(shù)學閱讀能力的其它成分存在0.01水平上的顯著相關(guān)．

以上數(shù)據(jù)分析表明，個體數(shù)學問題表征能力與數(shù)學閱讀能力總成績之間存在顯著相關(guān)，各亞維度之間也密切相關(guān)．

表3 數(shù)學問題表征與數(shù)學閱讀能力的相關(guān)性分析

注：**表示在0.01水平上顯著相關(guān)，*表示在0.05水平上顯著相關(guān)．

3.2 不同數(shù)學問題表征能力學生的數(shù)學閱讀能力水平分析

首先將118名被試按數(shù)學問題表征測試成績分為3組：10~12分（38人）為高分組，4~6分（41人）為中分組，4分以下（39人）為低分組．3組被試的平均數(shù)學閱讀成績分別為：高分組83分，中分組73分，低分組54分．將數(shù)學問題表征能力作為自變量，進行單因素方差分析．結(jié)果如表4、表5所示．

表4 不同問題表征組數(shù)學閱讀成績的方差分析

表5 不同問題表征組數(shù)學閱讀成績多重比較

注：*表示均值差的顯著性水平為0.05．

從表4、表5可以看出，=55.574，=0.000<0.01，所以在=0.01水平上，檢驗達到顯著水平，表明3個問題表征組的數(shù)學閱讀平均成績之間有顯著性差異．每兩組之間的數(shù)學閱讀成績在0.05水平上存在顯著差異．說明問題表征水平高的被試其數(shù)學閱讀水平也高，問題表征水平低的被試其數(shù)學閱讀水平也低．

3.3 不同數(shù)學閱讀能力學生的數(shù)學問題表征水平分析

同樣，將118名被試按照數(shù)學閱讀測試成績分為3組：83分以上（37人）為高分組，62~83分（45人）為中分組，62分以下（36人）為低分組．求出被試的問題表征測試成績平均分：高分組8分，中分組6分，低分組3分．以數(shù)學問題表征成績?yōu)橐蜃兞窟M行單因素方差分析，結(jié)果如表6、表7所示．

由表6、表7可知，=44.875，=0.000<0.01，說明數(shù)學閱讀水平高分組、中分組和低分組的問題表征成績在0.01水平存在顯著差異．每兩組之間的數(shù)學問題表征成績在0.05水平上存在顯著差異．說明數(shù)學閱讀水平高的被試其問題表征水平也高，數(shù)學閱讀水平低的被試其問題表征水平也低．

表6 不同數(shù)學閱讀能力組問題表征成績的方差分析

表7 不同數(shù)學閱讀能力組問題表征成績多重比較

注：*表示均值差的顯著性水平為0.05．

3.4 問題表征對數(shù)學閱讀能力的回歸分析

數(shù)學問題表征與數(shù)學閱讀能力的散點圖如圖1所示，可以得出結(jié)論：數(shù)學問題表征與數(shù)學閱讀線性相關(guān)．表8、表9、表10是數(shù)學問題表征對數(shù)學閱讀能力的回歸分析．

由表8模型匯總得知，=0.875，經(jīng)過調(diào)整后2為0.766，表明因變量的變化76.6%是由自變量引起的，即數(shù)學問題表征水平能較好地反映數(shù)學閱讀水平．

由表9得=0.000<0.01，回歸方程高度顯著，即建立的回歸方程有意義．由表10可知常數(shù)項和“數(shù)學問題表征”都是有統(tǒng)計學意義的，由此得出數(shù)學問題表征與數(shù)學閱讀的回歸方程為數(shù)學閱讀=5.597數(shù)學問題表征+34.954．

圖1 問題表征與數(shù)學閱讀能力的散點圖

表8 模型匯總

注：自變量為數(shù)學問題表征．

表9 方差分析

注：自變量為數(shù)學問題表征，因變量為數(shù)學閱讀．

表10 回歸系數(shù)檢驗

注：因變量為數(shù)學閱讀．

4 討論

研究表明，問題表征是影響數(shù)學閱讀的重要因素．具有優(yōu)良的問題表征能力的學生，其數(shù)學閱讀水平比較高．一個適宜的表征應(yīng)該滿足3個條件：表征與問題的真實結(jié)構(gòu)相對應(yīng)；表征中的各個問題成分被適當?shù)亟Y(jié)合在一起；表征結(jié)合了問題解決者的其它知識[27]．在閱讀過程中，問題表征能力高的學生，能夠?qū)⑼獠啃畔⑥D(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，能夠挖掘題目中的隱含條件，并與認知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，迅速構(gòu)建已知與未知的橋梁，達到對問題的準確理解．相反，問題表征能力弱的學生，不能正確識別問題類型，難以對信息進行正確轉(zhuǎn)換，最后表現(xiàn)為理解失?。?/p>

數(shù)學閱讀能力高的學生問題表征水平也高．數(shù)學閱讀是從數(shù)學文本中獲取意義的、積極的認知心理過程，需要對文字、符號與圖形進行正確編碼和轉(zhuǎn)譯，并且能夠?qū)ξ谋具M行綜合理解[8]．字符編碼、文字轉(zhuǎn)譯、綜合理解是對問題正確表征的前提．辛自強認為學生對數(shù)學文本的理解至少要理解詞匯和符號，理解詞匯和符號之間的互譯，從“篇章”或者整體水平上理解數(shù)學問題，并建構(gòu)合適的問題模型[5]，這也是完成問題表征的過程．因此，數(shù)學閱讀水平高的被試問題表征能力也高．

5 結(jié)論

（1）個體的問題表征能力與數(shù)學閱讀總成績之間存在顯著相關(guān)，各亞維度之間也密切相關(guān)；

（2）不同問題表征水平學生的數(shù)學閱讀成績在0.01水平上存在顯著差異，問題表征水平越高，數(shù)學閱讀成績越好；

（3）不同數(shù)學閱讀水平學生的數(shù)學問題表征成績在0.01水平上差異顯著，數(shù)學閱讀能力越高，問題表征成績越好；

（4）數(shù)學問題表征水平能較好地反映數(shù)學閱讀水平．

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[23] 涂榮豹．數(shù)學學習中的概括[J]．數(shù)學教育學報，2004，13（1）：18．

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[25] 莫雷．論能力結(jié)構(gòu)研究的基本方法的變革[J]．心理科學通訊，1989（2）：33-36．

[26] 喻平．不同年級中學生對數(shù)學問題表征的差異性研究[J]．應(yīng)用心理學，2005（2）：110-115．

[27] WERTHEIMER M. A Gestalt perspective on computer simulations of cognitive processes [J]. Computers in Human Behavior, 1985 (1): 19-33．

The Influence of Problem Representation on Mathematics Reading

YANG Hong-ping1, 2, XIAO Zhi-juan3

(1. College of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041000, China; 2. Shanxi Basic Education Quality Promotion Collaborative Innovation Center, Shanxi Linfen 041000, China; 3. No.12 Middle School in Yangquan, Shanxi Yangquan 045000, China)

Mathematics reading was an important skill in mathematics learning. It was important to explore the factors that influence mathematics reading. Problem representation is the transformation of external information into internal information in the process of reading and the formation of a complete problem space based on one’s own cognitive structure. The research showed that there was a close relationship between individual problem representation ability and mathematics reading achievement. There were significant differences in the level of mathematics reading among students with different problem representation ability. There were significant differences in the problem representation ability of students with different mathematics reading ability. The higher the level of mathematics reading, the better the problem representation ability was.

problem representation; mathematics reading; correlation

2019–01–07

教育部人文社科規(guī)劃基金項目——數(shù)學閱讀能力：結(jié)構(gòu)與發(fā)展研究（16YJA880056）；山西基礎(chǔ)教育質(zhì)量提升協(xié)同創(chuàng)新中心規(guī)劃項目（XTB1608）；山西省教育科學十二五規(guī)劃項目——中小學生數(shù)學閱讀能力發(fā)展研究（GH-15015）；山西師大“中學數(shù)學教學論”優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)項目（2016YZKC-08）；山西師大教改創(chuàng)新項目——交互式教學模式在“中學數(shù)學教學論”中的實驗研究（2017JGXM-32）

楊紅萍（1969—），女，副教授，博士，碩導(dǎo)，主要從事數(shù)學課程與教學論研究．

G451.6

A

1004–9894（2019）02–0070–05

楊紅萍，肖志娟．問題表征對數(shù)學閱讀能力的影響研究[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（2）：70-74．

[責任編校：張楠、陳雋]