于 燁，黃 默，王小青，胡 銳

(1. 中國科學(xué)院微電子研究所，北京 100029； 2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system,GNSS)中，星載原子鐘的鐘差預(yù)報在優(yōu)化導(dǎo)航電文中的鐘差參數(shù)、滿足實時動態(tài)精密單點定位的需求和提供衛(wèi)星自主導(dǎo)航所需要的先驗信息方面具有重要作用[1-4]。但是，由于星載原子鐘處于失重環(huán)境中，極易受到外界和自身因素的影響而很難去掌握其內(nèi)部復(fù)雜細致的變化規(guī)律。因此，如何建立精確的星載原子鐘運行模型就變得非常困難，如何準確預(yù)報衛(wèi)星鐘差也變得極其困難[5-7]。

近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者對衛(wèi)星鐘差預(yù)報從各個方面進行了深入廣泛的研究，提出了短期、中長期和長期的衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法，主要有：二次多項式模型(quadratic polynomial model,QPM)、灰色預(yù)報模型(grey model,GM(1,1))、卡爾曼濾波模型(Kalman filter,KF)、自回歸模型(autoregressive,AR(p))、自回歸滑動平均模型(auto-regressive moving average,ARMA)和支持向量機模型(support vector machines,SVM)等[8-13]。這些預(yù)報方法分別適用于不同情況下導(dǎo)航衛(wèi)星星載原子鐘鐘差的短期、中長期和長期的預(yù)報，但是也均有各自的適用范圍和局限性?；疑A(yù)報模型適合處理數(shù)據(jù)量少、樣本小、信息不全的不確定性問題，具有計算簡便和抗干擾能力強等優(yōu)點[14]。在應(yīng)用灰色預(yù)報模型進行衛(wèi)星鐘差預(yù)報時，首先要確定模型的參數(shù)，參數(shù)估計的好壞程度直接影響預(yù)報結(jié)果的精確程度。然而，在估計灰色預(yù)報模型參數(shù)時一般采用的是最小二乘法，而最小二乘法是基于誤差平方和最小為原則進行尋優(yōu)，很容易陷入局部最小。在衛(wèi)星鐘頻率漂移較大的情況下，應(yīng)用最小二乘法估計灰色模型參數(shù)，并預(yù)報衛(wèi)星鐘差得到的結(jié)果會產(chǎn)生較大的誤差。

本文針對在衛(wèi)星鐘頻率漂移較大的情況下，應(yīng)用最小二乘法估計灰色模型參數(shù)對預(yù)報衛(wèi)星鐘差精度的不足，采用最小一乘法估計灰色模型參數(shù)的方法。該方法在進行模型參數(shù)求解時，應(yīng)用線性規(guī)劃的方法對目標函數(shù)進行尋優(yōu)，從理論上和方法上克服了最小二乘法估計灰色模型參數(shù)的不足，同時，將該改進方法應(yīng)用到當(dāng)衛(wèi)星鐘差波動較大情況下的鐘差預(yù)報，通過試驗結(jié)果的對比分析，驗證該改進方法的有效性和優(yōu)越性。

1 灰色預(yù)報模型

在灰色系統(tǒng)理論中，GM(1,1)模型是最常用的一種灰色系統(tǒng)模型，它是由一個僅包含單變量的一階微分方程所構(gòu)成的預(yù)報模型，適合對自身數(shù)據(jù)的預(yù)報，而且具有只需要少量數(shù)據(jù)建模等優(yōu)點[15]。

(1)

對累加序列X(1)建立一階微分方程

(2)

式中，a為發(fā)展系數(shù)；u為灰作用量。對式(2)離散化處理，可得矩陣方程

(3)

對模型參數(shù)a和u作最小二乘估計

(4)

根據(jù)最小二乘法可得矩陣方程式(3)的最小二乘解為

(5)

將式(5)代入式(2)得

(6)

求解時間響應(yīng)函數(shù)式(6)的解為

(7)

由于序列X(1)是序列X(0)的累加序列，因此原始序列X(0)的預(yù)報模型為

(8)

式中，k為參與預(yù)報的原始數(shù)據(jù)序列的個數(shù)。

一般形式為

(9)

式中，p為預(yù)報點數(shù)。由以上預(yù)報模型即可對未來任意時刻的鐘差數(shù)據(jù)序列進行預(yù)報。

2 基于最小一乘法改進的灰色模型的預(yù)報原理

(10)

然后將利用最小一乘法估計出的模型參數(shù)代入式(9)中即可對未來任意時刻的鐘差進行預(yù)報。由于優(yōu)化問題式(10)的目標函數(shù)不可微，無法利用通常的方法。引入變換

(11)

式中

rk≥0,tk≥0

從而式(10)可改寫為

(12)

利用最小一乘法估計灰色模型的參數(shù)問題可以歸結(jié)為如下的線性規(guī)劃問題

(13)

利用單純形法[16-18]即可解上述的線性規(guī)劃問題，從而可求出模型參數(shù)a和u的估計值，然后代入式(9)即可對未來任意時刻的鐘差數(shù)據(jù)序列進行預(yù)報。

3 試驗與分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

為了驗證該改進方法的有效性和可行性，從IGS(International GNSS Service)服務(wù)器(ftp:∥cddis.gsfc.nasa.gov)上下載了2016年4月3日至9日共7 d的IGS事后精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品進行預(yù)報試驗，其采樣間隔為15 min，即1 h記錄4個歷元的鐘差數(shù)據(jù)。對這期間的32顆GPS衛(wèi)星一周的鐘差數(shù)據(jù)的波動情況進行了分析，發(fā)現(xiàn)PRN24(ⅡF-Cs)號衛(wèi)星的鐘差波動情況較大。為了說明本文改進方法對預(yù)報衛(wèi)星鐘差具有奇異點或鐘差波動比較大時這種類型的衛(wèi)星鐘差預(yù)報的有效性，筆者選擇了PRN24號衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)進行預(yù)報試驗。圖1(a)為PRN24號衛(wèi)星一周的鐘差變化情況，圖1(b)為PRN24號衛(wèi)星鐘差局部放大圖。

圖1 PRN24號衛(wèi)星一周的鐘差變化和局部放大圖

3.2 建模方案與結(jié)果分析

本試驗采用2 h的鐘差數(shù)據(jù)(2016年4月3日00：00—2016年4月3日2：00)共9個歷元[14]建立灰色預(yù)報模型和基于最小一乘法改進的灰色預(yù)報模型，然后分別去預(yù)報未來10、12、14、16 h短期的鐘差數(shù)據(jù)，即預(yù)報歷元步長為41、49、57、65；預(yù)報未來24、48、72、96 h中長期的鐘差數(shù)據(jù)，即預(yù)報歷元步長為97、193、289、385，預(yù)報未來7、14、21、28 d長期的鐘差數(shù)據(jù)，即預(yù)報歷元步長為673、1345、2017、2689。將10、12、14、16 h的實際觀測鐘差數(shù)據(jù)，24、48、72、96 h的實際觀測鐘差數(shù)據(jù)和7、14、21、28 d的實際觀測鐘差數(shù)據(jù)與各模型預(yù)報的鐘差數(shù)據(jù)相減即可得到預(yù)報誤差。因為IGS服務(wù)器上公布的為事后鐘差產(chǎn)品，因此鐘差的自身誤差小于0.1 ns，可以作為真值，使用均方根誤差(RMS)(具體計算公式見式(14))作為衡量預(yù)報精度的標準，檢驗各模型所預(yù)報結(jié)果的好壞程度。圖2—圖4和表1—表3分別給出了傳統(tǒng)灰色模型和基于最小一乘法改進的灰色模型的預(yù)報誤差和預(yù)報誤差的統(tǒng)計特性，其中MAX、MEAN分別代表最大誤差和平均誤差。

(14)

圖2 PRN24號衛(wèi)星10、12、14、16 h短期的預(yù)報誤差

圖3 PRN24號衛(wèi)星24、48、72、96 h中長期的預(yù)報誤差

圖4 PRN24號衛(wèi)星7、14、21、28 d長期的預(yù)報誤差

表1 兩種方法預(yù)報不同步長的指標比較

表2 兩種方法預(yù)報不同步長的指標比較

表3 兩種方法預(yù)報不同步長的指標比較

結(jié)合圖2—圖4和表1—表3可知：在衛(wèi)星鐘差波動較大的情況下，使用傳統(tǒng)灰色模型對未來10、12、14、16 h的短期預(yù)報的均方根分別為1.64、1.57、1.76、2.15 ns，而基于最小一乘法改進的灰色模型預(yù)報的均方根分別為1.56、1.48、1.41、1.42 ns,相比于傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)報精度分別提高了4.90%、5.70%、19.89%、33.95%；使用傳統(tǒng)灰色模型對未來24、48、72、96 h的中長期預(yù)報的均方根分別為4.16、7.05、9.45、11.25 ns，而基于最小一乘法改進的灰色模型預(yù)報的均方根分別為2.28、2.94、3.24、3.09 ns,相比于傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)報精度分別提高了45.19%、58.30%、65.71%、72.53%；使用傳統(tǒng)灰色模型對未來7、14、21、28 d的長期預(yù)報的均方根分別為15.72、26.28、48.02、58.78 ns，而基于最小一乘法改進的灰色模型預(yù)報的均方根分別為2.56、6.00、5.53、10.75 ns,相比于傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)報精度分別提高了83.72%、77.17%、88.48%、81.69%。

從以上預(yù)報試驗的結(jié)果可以看出：在衛(wèi)星鐘差波動較大的情況下，本文改進的方法較傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)報效果有顯著改善，并且可以對GPS衛(wèi)星鐘差進行高精度的短期、中長期和長期預(yù)報，尤其是對7、14、21、28 d長期預(yù)報的精度改善比較大。

4 結(jié) 語

最小二乘法具有良好的解析性并且容易求解，使得該方法在灰色預(yù)報模型中成為普遍使用的模型參數(shù)估計的方法。但是，由于最小二乘法容易陷入局部最小和穩(wěn)健性較差的缺陷，使得在衛(wèi)星鐘差波動較大的情況下，預(yù)報衛(wèi)星鐘差時不能較好地擬合。本文提出的基于最小一乘法的灰色預(yù)報模型，克服了傳統(tǒng)灰色預(yù)報模型的不足。經(jīng)理論和預(yù)報試驗分析，結(jié)果也表明了該改進方法的優(yōu)越性和可行性，從而驗證了基于最小一乘法的灰色預(yù)報模型算法思路的有效性，為衛(wèi)星鐘差預(yù)報研究在實際應(yīng)用中提供了一定的參考與借鑒。