張國(guó)軍，張 勇,3

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 能源與礦業(yè)學(xué)院，北京 100083; 2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 共伴生能源精準(zhǔn)開采北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083; 3.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 煤炭安全開采與地質(zhì)保障國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，北京 100083)

摩爾圓是用來(lái)表征空間內(nèi)一點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)的幾何方法[1]，在同一坐標(biāo)系內(nèi)由一系列的極限摩爾圓包絡(luò)線構(gòu)成了庫(kù)倫包絡(luò)線[2]，摩爾圓與庫(kù)倫包絡(luò)線兩者有機(jī)結(jié)合形成了如今的摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則，作為一種判別巖石材料破壞與否標(biāo)準(zhǔn)[3]，并被廣泛的應(yīng)用于解決各種工程問(wèn)題[4]。

眾多學(xué)者基于摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則進(jìn)行了深入的研究:WOO等[5]建立了砂巖臨界塑性破壞模型;BARSANESCU等[6-7]進(jìn)一步擴(kuò)展了摩爾-庫(kù)倫理論，建立了延性巖石材料破壞理論;梅畢祥等[8]根據(jù)滲流理論對(duì)球形孔擴(kuò)張問(wèn)題進(jìn)行了深入分析;PUJOL等[9]基于摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)62組鋼筋混凝土立柱的進(jìn)行了抗剪強(qiáng)度分析;ROBERT[10]采用修正摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)不飽和土中管道破壞現(xiàn)象進(jìn)行了研究;GALINDO等[11]應(yīng)用修正摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)巖體的極限承載強(qiáng)度進(jìn)行了研究;SHAFIQ等[12]對(duì)高應(yīng)力下陶瓷穩(wěn)定性和準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)加載過(guò)成進(jìn)行了系統(tǒng)分析，獲得了加載率與材料強(qiáng)度之間的關(guān)系;PAPANASTASIOU等[13]對(duì)摩爾-庫(kù)倫材料單一裂紋尖端塑性場(chǎng)進(jìn)行了研究;MAKHNENKO等[14]基于Paul-Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則對(duì)脆性巖石材料的破壞過(guò)程進(jìn)行了深入的研究;孫路路等[15]基于摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則建立含瓦斯煤層平動(dòng)突出模型，推導(dǎo)了巷幫塑性區(qū)寬度的解析式;張?jiān)娀吹萚16]采用PFC3D進(jìn)行了真三軸數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，提出了一種修正摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則形狀函數(shù)的方法。摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則正廣泛的應(yīng)用于巖石力學(xué)、巖石工程以及巖石材料力學(xué)各個(gè)領(lǐng)域，大部分問(wèn)題都可以以此為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，隨著科技的進(jìn)步，眾多學(xué)者對(duì)摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則進(jìn)行了不斷的修正和擴(kuò)展，使其具有更加廣泛的適用性。除此之外，眾多學(xué)者還對(duì)加卸載與煤巖材料的力學(xué)響應(yīng)特征[17-20]、分形特征[21]、非均勻變形[22]、聲發(fā)射特征[23-24]、滲透率[25-27]等進(jìn)行了大量的研究。

然而，巖石材料所處的應(yīng)力狀態(tài)以及不同應(yīng)力狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)化直接影響巖石材料的穩(wěn)定性，對(duì)于巖石材料是否發(fā)生破壞取決于摩爾應(yīng)力圓是否與庫(kù)倫包絡(luò)線相交。巖石材料由穩(wěn)定到破壞的過(guò)程可以看成是2種應(yīng)力狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換，而轉(zhuǎn)換過(guò)程可以用加(卸)載來(lái)進(jìn)行表述，應(yīng)力狀態(tài)之間的變換速度可以用加(卸)載速度來(lái)表示，需要說(shuō)明的是，本文中的加(卸)載速度并不是狹義的單位時(shí)間應(yīng)力增加減小的數(shù)值，而是廣義的加(卸)載速度，這里的加(卸)載速度可以表示為巖石材料所受的應(yīng)力在單位時(shí)間、單位長(zhǎng)度、單位深度以及單位溫度等的變化量。因此，本文將從巖石材加(卸)載過(guò)程、加(卸)載速率、加(卸)載速率之比等3個(gè)方面進(jìn)行研究。

1 石材料內(nèi)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)描述

試驗(yàn)表明，當(dāng)所有主應(yīng)力均為壓應(yīng)力時(shí)，摩爾庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則比較適用于巖石材料，尤其是巖石材料的單軸抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于單軸抗拉強(qiáng)度時(shí)更為適用。

巖石材料外載荷的變化直接影響應(yīng)力的變化，在應(yīng)力空間中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力點(diǎn)將會(huì)發(fā)生移動(dòng)，應(yīng)力點(diǎn)的移動(dòng)軌跡稱為應(yīng)力路徑，這一過(guò)程稱為應(yīng)力歷史[28]。巖石材料內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)改變的過(guò)程可以看成是其外在載荷的變化過(guò)程，可以用加載或卸載表示，如圖1所示。

圖1 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的變化過(guò)程Fig.1 Change process of stress-states at a point

(1)

圖2 不同加(卸)載條件下一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)變化Fig.2 Change process of stress-states at a point under different loading or unloading conditions

當(dāng)巖石材料的2個(gè)方向所受的載荷變化均為加載，則F(t)，f(t)均為正值。當(dāng)F(t)=f(t)時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)的變換形式僅為“平移”;當(dāng)F(t)>f(t)>0時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)的變換形式為“平移”+“半徑擴(kuò)大”，如圖2(a)所示。當(dāng)F(t)∈(f(t)+σ3-σ1，f(t))時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)的變換形式為“平移”和“半徑縮小”;當(dāng)F(t)=f(t)+σ3-σ1時(shí)，此時(shí)摩爾應(yīng)力圓縮小成坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn);當(dāng)F(t)

當(dāng)巖石材料的2個(gè)方向所受的載荷變化均為卸載時(shí)，則F(t)，f(t)均為負(fù)值，可以看成是加載過(guò)程的逆過(guò)程，可以將圖2(a)和圖2(b)中的B點(diǎn)看成是初始狀態(tài)，A點(diǎn)看成經(jīng)過(guò)卸載后的應(yīng)力狀態(tài)。

當(dāng)巖石材料的2個(gè)方向所受的載荷一個(gè)方向?yàn)榧虞d，另一個(gè)方向?yàn)樾遁d時(shí)，則F(t)f(t)<0。當(dāng)F(t)>0時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)的變換形式主要是以“半徑擴(kuò)大”為主，同時(shí)還有可能伴隨著摩爾應(yīng)力圓的“平移”，如圖2(c)所示;當(dāng)F(t)<0時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)的變換形式主要是以“半徑縮小”為主，同時(shí)還有可能伴隨著摩爾應(yīng)力圓的“平移”、“翻轉(zhuǎn)”和“半徑擴(kuò)大”，如圖2(d)所示。

2 加(卸)載與巖石材料的破壞

2.1 摩爾應(yīng)力圓與加卸載

摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則是在不考慮巖石材料中間主應(yīng)力條件下的一組線性方程，可以用來(lái)判別巖石材料是否發(fā)生破壞[29]。摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度理論在總結(jié)各種應(yīng)力狀態(tài)下巖石材料破壞實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，建立的具有一定經(jīng)驗(yàn)性的強(qiáng)度理論，認(rèn)為巖石材料的破壞是由作用在滑移面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力共同決定的，其函數(shù)表達(dá)形式[30]為

τ=c+σtanφ

(2)

式中，τ為剪應(yīng)力;σ為法向正應(yīng)力;c為黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角。

巖石材料加載過(guò)程中的力學(xué)本質(zhì)是摩爾應(yīng)力圓在σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)的一系列的變換，巖石材料經(jīng)過(guò)一定的加卸載變換后是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，其實(shí)質(zhì)是σ-τ直角坐標(biāo)系內(nèi)摩爾應(yīng)力圓是否與式(2)相交，若相交則巖石材料發(fā)生破壞。因此需要對(duì)巖石材料某一點(diǎn)經(jīng)過(guò)加(卸)載變換后，摩爾應(yīng)力圓的直徑與其圓心到摩爾庫(kù)倫強(qiáng)度曲線的距離進(jìn)行比較分析。

由圖2中的幾何關(guān)系可知，巖石材料某一點(diǎn)經(jīng)過(guò)加(卸)載前后的摩爾應(yīng)力圓半徑分別可表示為

(3)

式中,R和R′分別為加(卸)載前后摩爾應(yīng)力圓半徑。

巖石材料某一點(diǎn)經(jīng)過(guò)加(卸)載后的摩爾應(yīng)力圓圓心到摩爾庫(kù)倫強(qiáng)度曲線的距離可以表示為

(4)

研究巖石材料在經(jīng)過(guò)加(卸)載后是否發(fā)生破壞的前提是巖石材料的初始狀態(tài)沒(méi)有發(fā)生破壞，則初始狀態(tài)下σ1,σ3需滿足:

(5)

(6)

2.2 巖石材料的臨界破壞

當(dāng)巖石材料所受的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力同為壓應(yīng)力時(shí)，依據(jù)摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則可以獲得在雙向受壓的條件下，巖石材料發(fā)生破壞的臨界方程:

(7)

由于摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則是通過(guò)巖石壓縮實(shí)驗(yàn)獲得的，該準(zhǔn)則對(duì)于巖石材料處于壓縮狀態(tài)的表述較為準(zhǔn)確，但是對(duì)處于拉伸狀態(tài)下的巖石材料存在著很大的誤差。眾多學(xué)者對(duì)巖石材料的抗拉強(qiáng)度進(jìn)行了大量的研究，同時(shí)提出多種巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則和相關(guān)修正理論[31-32]，雖然各有所長(zhǎng)，但都存在一定的局限性。作為力學(xué)基本定律之一的廣義胡克定律被廣泛認(rèn)可，因此，本文從巖石材料受外力作用時(shí)，在不同方向上發(fā)生不同的應(yīng)變，同時(shí)考慮到巖石的抗拉強(qiáng)度<抗剪強(qiáng)度<抗壓強(qiáng)度，并以最大拉應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則為巖石材料破壞判斷標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步研究巖石材料在單向受拉、一拉一壓和雙向受拉3種情況下的臨界破壞狀態(tài)。

巖石材料在破壞前，由于縱向載荷的作用，在其縱向和橫向上必然產(chǎn)生應(yīng)變，2個(gè)方向上應(yīng)變之比的絕對(duì)值就稱為泊松比ν，這是巖石材料的本質(zhì)屬性之一[33]。通常來(lái)講，在巖石材料發(fā)生破壞前認(rèn)為其泊松比和彈性模量不會(huì)發(fā)生改變，因此，當(dāng)巖石材料一個(gè)方向上受到外力作用時(shí)，沿外力方向上一定會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變，同時(shí)與外力不同方向上也會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變，為了方便研究，選取2～3個(gè)正交的應(yīng)變進(jìn)行研究，以巖石的單軸壓縮(拉伸)實(shí)驗(yàn)為例，軸向的應(yīng)變必然會(huì)引起徑向上的應(yīng)變，巖石材料的軸向壓縮和徑向拉伸可以相互轉(zhuǎn)換。由廣義胡克定律可以獲得巖石材料內(nèi)部軸向和徑向的應(yīng)力之比為-ν，因此，可以獲得巖石材料的單軸抗拉強(qiáng)度與巖石材料的單軸抗拉強(qiáng)度之間的關(guān)系:

(8)

式中，ν為泊松比;σt為單軸抗拉強(qiáng)度;σu單軸抗壓強(qiáng)度。

同理，對(duì)于軸向和徑向均受外力作用的巖石材料，依據(jù)廣義胡克定律和應(yīng)力疊加原理可以獲得巖石材料在“一拉一壓”狀態(tài)下的巖石材料發(fā)生破壞的臨界方程:

(9)

當(dāng)巖石材料處于雙向受拉時(shí)，依據(jù)廣義胡克定律、應(yīng)力疊加原理和合力計(jì)算與分配[34-35]相關(guān)理論，可得巖石材料發(fā)生雙向拉破壞的基本條件:

(10)

綜合以上研究結(jié)果，可以用數(shù)學(xué)方程及其對(duì)應(yīng)曲線的形式來(lái)劃分巖石材料發(fā)生破壞的臨界狀態(tài)，如圖3所示。

圖3 巖石臨界破壞狀態(tài)關(guān)系曲線Fig.3 Critical material failure state relationship curve of rock materials

圖3中，直角坐標(biāo)系中第一象限中的直線方程是巖石材料“雙向受壓”狀態(tài)的臨界方程，當(dāng)巖石材料所受應(yīng)力處于兩直線方程中間時(shí)，材料處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)2個(gè)方向上的應(yīng)力滿足式(7)時(shí)，巖石材料處于臨界破壞狀態(tài)，此時(shí)巖石材料的破壞主要為剪切破壞;直角坐標(biāo)系中第2象限和第4象限中的直線方程是巖石材料“一拉一壓”狀態(tài)的臨界方程，當(dāng)巖石材料所受應(yīng)力處于兩直線方程中間時(shí)，材料處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)2個(gè)方向上的應(yīng)力滿足式(9)時(shí)，巖石材料處于臨界破壞狀態(tài)，此時(shí)巖石材料的破壞主要為拉破壞;直角坐標(biāo)系中第3象限中的曲線方程是巖石材料“雙向受拉”狀態(tài)的臨界方程，當(dāng)巖石材料所受應(yīng)力處于曲線方程內(nèi)部時(shí)，材料處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)2個(gè)方向上的應(yīng)力滿足式(10)時(shí)，巖石材料處于臨界破壞狀態(tài)，此時(shí)巖石材料的破壞主要為拉破壞;坐標(biāo)軸的正向表示材料單向受壓，與式(7)的交點(diǎn)為巖石材料的單軸抗壓強(qiáng)度;坐標(biāo)軸的負(fù)向表示材料單向受拉，與式(9)，(10)的交點(diǎn)為巖石材料的單軸抗拉強(qiáng)度。

3 加(卸)載速率與巖石材料的破壞

3.1 最大主應(yīng)力方向不變

(11)

巖石材料經(jīng)過(guò)加(卸)載后發(fā)生破壞的臨界為

(12)

將式(12)兩端進(jìn)行求導(dǎo)，可以獲得摩爾應(yīng)力圓不翻轉(zhuǎn)條件下，巖石材料時(shí)間加權(quán)平均加(卸)載速率與巖石材料破壞的臨界關(guān)系為

(13)

通常巖石材料的加卸載過(guò)程不是一個(gè)穩(wěn)定變化過(guò)程，即加(卸)載速率不是一個(gè)恒定不變的，巖石材料的加(卸)載速率時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，而時(shí)間加權(quán)平均加(卸)載速率可以更好的說(shuō)明巖石材料加(卸)載速率與巖石材料破壞過(guò)程的相互關(guān)系。

3.2 主應(yīng)力方向改變

(14)

巖石材料經(jīng)過(guò)加(卸)載后發(fā)生破壞的臨界為

(15)

將式(15)兩端進(jìn)行求導(dǎo)，可以獲得摩爾應(yīng)力圓翻轉(zhuǎn)條件下，巖石材料時(shí)間加權(quán)平均加(卸)載速率與巖石材料破壞的臨界關(guān)系為

(16)

3.3 加(卸)載速率與巖石材料穩(wěn)定性分區(qū)

根據(jù)上文分析，可以獲得巖石材料加(卸)載速率和巖石材料穩(wěn)定性之間的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 加(卸)載速率和巖石材料穩(wěn)定性分區(qū)Fig.4 Relationship between loading (unloading) rate and material stability Ⅰ—加載穩(wěn)定區(qū);Ⅱ—主應(yīng)力方向不變破壞區(qū);Ⅲ—卸載穩(wěn)定區(qū);Ⅳ— 主應(yīng)力方向改變破壞區(qū);Ⅴ—應(yīng)力圓正方向移動(dòng)半徑擴(kuò)大破壞區(qū);Ⅵ—應(yīng)力圓負(fù)方向移動(dòng)半徑縮小破壞區(qū);Ⅶ—應(yīng)力圓負(fù)方向移動(dòng)半徑 先減小再增大破壞區(qū);Ⅷ—應(yīng)力圓正方向移動(dòng)半徑先減小再增大破壞區(qū)

(1)當(dāng)巖石材料2個(gè)方向的加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅰ和Ⅲ區(qū)時(shí)，巖石材料2個(gè)主應(yīng)力方向同時(shí)加載或卸載，巖石材料加(卸)載速率滿足Ⅰ和Ⅲ區(qū)的關(guān)系時(shí)，巖石材料會(huì)一直保持穩(wěn)定，與加卸載時(shí)間無(wú)關(guān)。對(duì)于未受工程擾動(dòng)的巖層，隨著埋藏深度的不斷加深，巖石所受的應(yīng)力不斷加大，可以看成是加載過(guò)程，2個(gè)主應(yīng)力方向上應(yīng)力加載速率處于Ⅰ區(qū)，越向深部其2個(gè)方向的加載速率越是與Ⅰ吻合，這也能解釋深部巖體在未受工程擾動(dòng)情況下仍然能夠保持穩(wěn)定;反之，由深部向淺部的過(guò)程，巖石所受應(yīng)力逐漸減小可以看成是卸載過(guò)程，該過(guò)程與Ⅲ區(qū)吻合。

(2)當(dāng)巖石材料2個(gè)方向的加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅱ區(qū)時(shí)，巖石材料的最大主應(yīng)力方向和最小主應(yīng)力方向不發(fā)生改變。當(dāng)2個(gè)方向加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅴ區(qū)時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在坐標(biāo)軸表現(xiàn)的形式為摩爾圓半徑逐漸擴(kuò)大且圓心正向移動(dòng)，若時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)巖石材料必將發(fā)生破壞;當(dāng)2個(gè)方向加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅵ區(qū)時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在坐標(biāo)軸表現(xiàn)的形式是，摩爾應(yīng)力圓負(fù)方向移動(dòng)同時(shí)摩爾圓直徑減小，此時(shí)最小主應(yīng)力以卸載為主，巖石材料發(fā)生破壞的時(shí)間由初始應(yīng)力狀態(tài)決定。

(3)當(dāng)巖石材料2個(gè)方向的加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅳ區(qū)時(shí)，巖石材料的最大主應(yīng)力方向和最小主應(yīng)力方向發(fā)生互換，摩爾應(yīng)力圓在坐標(biāo)軸上的變換方式變現(xiàn)為摩爾圓半徑逐漸減小至零，然后在進(jìn)一步擴(kuò)大。通常來(lái)講，在摩爾圓直徑減小到零的過(guò)程巖石材料不會(huì)發(fā)生破壞，只有當(dāng)摩爾圓直徑由零進(jìn)一步變大時(shí)巖石材料才會(huì)發(fā)生破壞，即摩爾圓在坐標(biāo)系內(nèi)發(fā)生“翻轉(zhuǎn)”前，巖石材料不會(huì)發(fā)生破壞，巖石材料的破壞主要發(fā)生在摩爾圓發(fā)生“翻轉(zhuǎn)”后。當(dāng)2個(gè)方向加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅶ區(qū)時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在坐標(biāo)軸上向負(fù)方向移動(dòng)，初始最大主應(yīng)力一直處于卸載狀態(tài)，其卸載速度快于初始最小主應(yīng)力方向上的加(卸)載速率，巖石材料發(fā)生破壞的時(shí)間與初始應(yīng)力狀態(tài)有關(guān);當(dāng)2個(gè)方向加(卸)載速率關(guān)系處于Ⅷ區(qū)時(shí)，摩爾應(yīng)力圓在坐標(biāo)軸上向正方向移動(dòng)，初始最小主應(yīng)力方向上的應(yīng)力一直處于加載狀態(tài)，其加載速度高于初始最大主應(yīng)力方向上加(卸)載速率，此時(shí)巖石材料中的最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之間的差值逐漸縮小，直至摩爾應(yīng)力圓發(fā)生“翻轉(zhuǎn)”，在摩爾應(yīng)力圓發(fā)生“翻轉(zhuǎn)”前巖石材料一直保持穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)摩爾圓發(fā)生翻轉(zhuǎn)之后再經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的加(卸)載后，巖石材料才會(huì)發(fā)生破壞，此時(shí)巖石材料發(fā)生破壞的時(shí)間主要由2個(gè)主應(yīng)力方向加(卸)載速率決定。

4 數(shù)值計(jì)算

4.1 常規(guī)三軸壓縮模擬

為了驗(yàn)證上述關(guān)于巖石材料穩(wěn)定性與巖石材料加卸載之間穩(wěn)定性是否存在上述關(guān)系，因此采用FLAC3D數(shù)值模擬軟件對(duì)巖石材料在不同加(卸)載條件下發(fā)生破壞的臨界值。模型尺寸為φ50 mm×100 mm，單元個(gè)數(shù)為13 904，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為16 336，軸向方向的應(yīng)力變化與時(shí)間(此處的時(shí)間是廣義上的時(shí)間，與FLAC3D中的循環(huán)次數(shù)相對(duì)應(yīng))的關(guān)系為F(t)，徑向方向的應(yīng)力變化與時(shí)間的關(guān)系為f(t)，初始應(yīng)力σ1=σ3=0，如圖5所示。

圖5 數(shù)值模擬模型Fig.5 Numerical simulation model

采用摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則作為數(shù)值計(jì)算的本構(gòu)方程，模擬所采用巖石材料的主要力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 主要力學(xué)參數(shù)Table 1 Primary mechanical parameters

采用自編的Fish語(yǔ)言分別模擬7種不同的軸向和徑向加載方式下的常規(guī)三軸數(shù)值模擬，如圖6所示。

圖6 軸向和徑向應(yīng)力加載路徑Fig.6 Loading paths of axial and radial

模型初始平衡后，每運(yùn)行一個(gè)循環(huán)，軸向和徑向應(yīng)力增加同時(shí)100 Pa，當(dāng)徑向應(yīng)力達(dá)到所設(shè)定的數(shù)值(0，0.1，1.0,5.0，10.0,15.0，20.0 MPa)后，徑向應(yīng)力數(shù)值固定，軸向應(yīng)力繼續(xù)增加，直至材料發(fā)生破壞為止。同時(shí)對(duì)材料中心部位塊體的最大主應(yīng)力進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得材料發(fā)生破壞時(shí)最大主應(yīng)力峰值，同時(shí)依據(jù)式(10)對(duì)以上7種加載方式下巖石材料發(fā)生破壞時(shí)最大主應(yīng)力的理論值進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)數(shù)值模擬與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，見表2。

表2 數(shù)值模擬與理論計(jì)算最大主應(yīng)力峰值Table 2 Maximum principal stress peak of numerical simulation and theoretical calculation

注:偏差率=(數(shù)值模擬峰值-理論計(jì)算峰值)/理論計(jì)算峰值。

由表2可知，通過(guò)數(shù)值模擬獲得的巖石材料最大主應(yīng)力峰值與經(jīng)理論計(jì)算獲得的最大主應(yīng)力峰值高度的吻合度;通過(guò)比較數(shù)值模擬和理論計(jì)算所獲得巖石材料最大主應(yīng)力峰值變差率可知，2種計(jì)算方法的峰值偏差率在-1.73%～0.41%，因而，理論計(jì)算的準(zhǔn)確率在98.27%～99.59%，進(jìn)一步可以說(shuō)明通過(guò)式(10)所計(jì)算的巖石材料最大主應(yīng)力峰值具有較高的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步驗(yàn)證了巖石材料臨界破壞分區(qū)的正確性。

4.2 加載速率和加載速率之比

若巖石材料軸向和徑向的加載速率之比屬于圖4中的Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)，則材料保持穩(wěn)定不會(huì)發(fā)生破壞;若巖石材料軸向和徑向加載速率之比處于圖4中的Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)以外區(qū)域時(shí)，同時(shí)加(卸)載的時(shí)間足夠長(zhǎng)，則巖石材料必定發(fā)生破壞，除此之外，軸向和徑向加載速率之間的差別越大巖石材料發(fā)生破壞所用的時(shí)間越小，巖石材料發(fā)生破壞時(shí)最大主應(yīng)和最小主應(yīng)力之間的差值越小，反之，則越大。

為了充分說(shuō)明加(卸)載速率之比與巖石材料是否發(fā)生屈服破壞之間的關(guān)系，同時(shí)根據(jù)表1假定材料的力學(xué)參數(shù)和式(13)和式(16)分別可以獲得巖石材料發(fā)生破壞的臨界加載速率之比分別為2.514和0.378，因此，若軸向和徑向加載速率之比在0.378～2.514時(shí)，隨著軸向和徑向壓力的增加，巖石材料不會(huì)發(fā)生破壞;若軸向和徑向的加載速率之比小于0.378或者大于2.514時(shí)，隨著軸向和徑向壓力的增加，巖石材料必然會(huì)發(fā)生破壞。因此，采用FLAC3D分別進(jìn)行了軸向和徑向加載速率之比為0.1，0.2，0.4，1.0，2.5，5.0和10.0等7種加載速率之比的常規(guī)三軸數(shù)值模擬，同時(shí)還對(duì)加載速度(+100，+1 000，+10 000，+100 000 Pa/step)與材料的穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行了研究，具體數(shù)值模擬方案如圖7所示。

圖7 不同加載速率、加載速率之比模擬方案Fig.7 Simulation scheme of different loading rates and loading rate ratio

通過(guò)以上28組常規(guī)三軸數(shù)值模擬分別對(duì)巖石材料中心部分最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，同時(shí)巖石材料發(fā)生破壞時(shí)最大主應(yīng)力峰值和對(duì)應(yīng)最小主應(yīng)力進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，見表3。

表3 最大主應(yīng)力峰值及其最小主應(yīng)力Table 3 Maximum principal stress peak and its minimum principal stress

注:“—”表示模擬過(guò)程中的主應(yīng)力σ1和σ3的數(shù)值超過(guò)1 TPa。

5 結(jié) 論

(1)巖石材料的最終應(yīng)力狀態(tài)決定巖石材料是否發(fā)生破壞，基于摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則以及廣義胡克定律，最終獲得了巖石材料處于“雙向受壓”、“雙向受拉”和“一拉一壓”3種應(yīng)力狀態(tài)下，巖石材料處于臨界破壞狀態(tài)時(shí)2個(gè)方向上應(yīng)力之間的關(guān)系。

(2)通過(guò)對(duì)巖石材料處于臨界破壞狀態(tài)時(shí)2個(gè)方向上應(yīng)力之間的關(guān)系，可以進(jìn)一步獲得巖石材料破壞加(卸)載速率之間的關(guān)系，進(jìn)而依據(jù)另一個(gè)方向上加卸載速率的不同，對(duì)巖石材料是否發(fā)生破壞以及破壞方式進(jìn)行了分區(qū)。需要特別指出的是，加(卸)載速率并不是單純的單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)力差，而是廣義的由一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的變化過(guò)程，可以指單位時(shí)間、長(zhǎng)度、深度等。

(4)采用FLAC3D分別從巖石材料加(卸)載過(guò)程、加(卸)載速率、加(卸)載速率之比3個(gè)方面進(jìn)行了模擬，數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果一致。