徐香勤

兩類矩陣對角化問題的研究

徐香勤

河南牧業(yè)經(jīng)濟學(xué)院, 河南 鄭州 450011

矩陣對角化在高等代數(shù)中占據(jù)著重要位置，成為求解矩陣論問題的必需工具。本文針對矩陣對角化的理論問題，利用Smith標準型，刻劃了一類數(shù)字特殊分塊矩陣可對角化的若干性質(zhì)，并將結(jié)論推廣到一般的域上。同時討論了方陣族可同時對角化的充要條件以及正規(guī)矩陣族可同時酉對角化的充要條件。實例結(jié)果表明：兩個對稱正定（半正定）Hermit矩陣充要條件必要性是顯然的，冪零陣的所有特征值都為零，＋和有相同特征值。

極小多項式; Simth標準型; 同時對角化; 特征值

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，而矩陣對角化則是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，在求解矩陣論問題時不可或缺。同時，矩陣對角化還在求解數(shù)列通項、微分方程以及信號處理、算法設(shè)計等領(lǐng)域都有很高的實用價值[1,2]。研究證明，實對稱的矩陣一定能對角化，普通的數(shù)字矩陣不一定能對角化，但是兩個普通的數(shù)字矩陣有可能同時對角化[3-6]。本文通過Smith標準型刻劃一類分塊矩陣可對角化的若干性質(zhì)，并討論可同時對角化方陣族的充要條件，給出了正規(guī)矩陣族可同時酉對角化的充要條件。本文中，表示復(fù)數(shù)集合，表示一個域，M()表示復(fù)數(shù)集上的階方陣的集合。()表示方陣的全部特征值的集合。0∈()，0()={∈C|=0}稱為關(guān)于特征值0的特征子空間。

1 方陣對角化的幾個特質(zhì)

引理1：∈M()，()為極小多項式，則可對角化的充要條件是()沒有重根[7]。

引理2：數(shù)字方陣相似于數(shù)字方陣的充要條件是-等價于-[7]。

引理3：方陣可對角化的充要條件是的初等因子都是線性（無重根）[8]。

證明：的極小多項式和的極小多項式分別記為m()和m()，則m()=0。根據(jù)極小多項式的定義可知m()=0，于是m()|m()。由于可對角化，故m()沒有重根，從而m()沒有重根，因此矩陣可對角化。同理矩陣也可對角化。

證明：設(shè)-的Smith標準型為(1(),…,α())，設(shè)-的Smith標準型為(1(),…,β())。由于()∩()=，故：(β(),β())=1=1,2,…,;=1,2,…,(1)

考慮-的初等變換，可知其Smith標準型等價于：(1(),…,α(),1(),…,β()) (2)

對于域上的矩陣，定理2有如下類似結(jié)論。

證明：充分性是顯然的，以下證明必要性。

若可對角化，則的初等因子都是線性的，而的初等因子由和的初等因子合并組成，因此和的初等因子都是線性的，從而和都可以對角化。

2 同時對角化方陣族的幾個性質(zhì)

定理5：QíM()為一個非空矩陣族，則Q可同時對角化的充要條件是：

（1）Q是可交換矩陣族；

（2）Q中每個矩陣均可對角化。

證明：任取1,2∈Q，存在可逆矩陣∈M()，滿足-1AP=L,=1,2。從而12=L1-1L2-1=L1L2-1=L2L1-1=L2-1L1-1=21。必要性得證。

充分性：對矩陣的階數(shù)采用數(shù)學(xué)歸納法。

=1結(jié)論是顯然的。假設(shè)對所有階數(shù)小于的矩陣結(jié)論均成立，以下考慮階數(shù)為的矩陣。

若Q中每個矩陣均為數(shù)乘矩陣λI，結(jié)論顯然成立。

若存在∈Q特征值個數(shù)至少為2，設(shè)存在可逆矩陣∈M()，使得：

其中1，2，…，為的個不同的特征值(≥2)。

令：S={,λI|∈Q} (=1,2,…,) (5)

=(1,…,Q) (6)

從而對于"∈Q,()()-1為對角形。

考慮到正規(guī)矩陣（滿足AA=AA）均可酉對角化[9]，利用與定理5相同的證明方法得以下結(jié)論：

推論1：QíM()為一個非空正規(guī)矩陣族（Hermite矩陣族），則Q可同時酉對角化的充要條件是Q是可換族。

定理6：QíM()為一個非空矩陣族，若Q是可換族，則Q可同時上（下）三角化。

證明:對矩陣的階數(shù)采用數(shù)學(xué)歸納法。

=1是顯然的。假設(shè)對所有階數(shù)小于的矩陣結(jié)論均成立，以下考慮階數(shù)為的矩陣。

情形1：若對于"∈Q,存在的一個特征子空間V0()的維數(shù)為,則必為數(shù)乘矩陣，此時定理成立；

情形2：$∈Q,存在的一個特征子空間V0()的維數(shù)小于,取出V0()的一個基1,2,…,α(<),將其擴充為C的一組基1,2,…,α,1,2,…,β(+=),令={1,2,…,α,1,2,…,β} (+=)，則：

注意到Q是可交換族，因此對于"∈Q,V0()均為的不變子空間，于是：

易知"∈Q，-1與-1均可交換，故1={|∈Q}è{0I}和諸2={(C)2|∈Q}è{2}是一個可交換族。由歸納假設(shè)矩陣族1,2可同時對角化。即存在可逆矩陣Q∈M()=1,2，使得"∈S，=-1 iLQ=1,2，其中諸L(∈Q)為對角形矩陣(=1,2)。令=(1,2)，易知對于"∈Q,()()-1為上三角陣。

考慮轉(zhuǎn)置矩陣，可知Q可同時上（下）三角化。

推論2,∈M()。若=,1,2,…,λ是的全部特征值，1,2,…,μ是的全部特征值，則存在1,2,…,的排列,，使得λμ(i)(=1,2,…,)構(gòu)成的全部特征值，λ+(i)(=1,2,…,)構(gòu)成+的全部特征值。

3 兩個例子

例1：,∈M()是兩個對稱正定（半正定）Hermit矩陣，則對稱正定（半正定）的充要條件是＝。

證明：必要性是顯然的，以下證明充分性。

若＝，由于Hermit矩陣是正規(guī)陣，根據(jù)推論1，則，可同時酉對角化。由推論2，的任意一個特征值必然為，其中∈()，∈()。當都正定時，>0（當都半正定時，≥0），故正定（半正定）。

例2：∈M()是一個冪零陣，＝，則det (＋)＝det ()。

證明：由于是一個冪零陣，因此的所有特征值都為零，由引理2，＋和有相同的特征值，故det (＋)＝det ()。

4 討論

矩陣的理論和方法已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具，當今電子計算機及計算技術(shù)的迅速發(fā)展為矩陣理論的應(yīng)用開辟了更廣闊的前景。矩陣對角化作為矩陣論的重要組成部分,對其研究主要集中在各類特殊矩陣可對角化對的條件判定以及相關(guān)應(yīng)用。鄧勇對主理想環(huán)上矩陣可對角化問題進行了探討，給出了主理想環(huán)上一類具有特殊類型最小多項式的矩陣可對角化的充要條件[9]。程薇給出了一個四元數(shù)矩陣對同時實對角化的定義，討論了兩個四元數(shù)矩陣可同時實對角化的充分必要條件并給出了可行的算法，討論了一個四元數(shù)長矩陣集可同時實對角化的情況[10]。Chore?o E和Zhou J等人利用對角化方法在較好地解決了-光子-模型的求解問題[11,12]。相對而說，矩陣對角化的理論研究滯后于實踐應(yīng)用，但隨著學(xué)者們的廣泛重視，在理論研究方面將會有較大的進展。

5 結(jié)論

求解矩陣對角化的理論問題有較大的研究價值，本文通過Smith標準型刻劃了一類數(shù)字特殊分塊矩陣可對角化的若干性質(zhì)，并將結(jié)論推廣到一般的域上。同時討論了方陣族可同時對角化的充要條件，以及正規(guī)矩陣族可同時酉對角化的充要條件。最后利用文中定理，通過實例證明了兩個矩陣論中的結(jié)論。

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Study on Diagonalization of Two Kinds of Matrices

XU Xiang-qin

450011,

Matrix diagonalization plays an important role in Higher Algebra and becomes a necessary tool for solving matrix theory problems. In this paper, some properties of the diagonalization of a class of special block matrices are characterized by using Smith's canonical form, and the conclusion is extended to the general field F. At the same time, the necessary and sufficient conditions for the simultaneous diagonalization of square matrices and the simultaneous unitary diagonalization of normal matrices are discussed. The results show that the necessary and sufficient conditions for two symmetric positive definite (semi-positive definite) Hermit matrices are obvious. All eigenvalues of nilpotent matrix A are zero, and A+B and B have the same eigenvalues.

Minimal polynomial; smith form; simultaneous diagonalization; eigenvalue

O151.21

A

1000-2324(2019)02-0350-03

10.3969/j.issn.1000-2324.2019.02.037

2018-03-04

2018-05-12

河南省科技廳軟科學(xué)研究計劃項目(182400410584)

徐香勤(1979-),女,碩士,講師,主要研究方向為矩陣論、偏微分方程、應(yīng)用數(shù)學(xué). E-mail:xiangqinxu@163.com