伍少仕，景璐璐

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

0 引言

復(fù)雜曲面的不可展性使得加工過(guò)程中容易出現(xiàn)誤差干涉，如何有效地減少加工誤差，生成最優(yōu)走刀路徑，是仍待解決的問(wèn)題。復(fù)雜曲面的加工通常由五軸機(jī)床點(diǎn)銑和側(cè)銑實(shí)現(xiàn)。點(diǎn)銑常用的刀具有平底刀，球頭刀，加工過(guò)程中質(zhì)量容易保證，但效率不高。側(cè)銑加工的工作原理是通過(guò)回轉(zhuǎn)刀具側(cè)切削刃在工件表面沿設(shè)計(jì)軌跡移動(dòng)，形成設(shè)計(jì)曲面[1]。側(cè)銑常用的刀具有圓柱刀，圓錐刀，鼓形刀等，因其幾何性質(zhì)不同，適合加工的曲面也不同。

銑削加工中首先應(yīng)該考慮刀位軌跡的生成，目前有關(guān)刀位軌跡的算法多是針對(duì)球頭刀、圓柱刀等外形相對(duì)簡(jiǎn)單的刀具，類(lèi)似于鼓形銑刀的相關(guān)刀位軌跡算法鮮有論述。修春松等設(shè)計(jì)了一種無(wú)干涉的鼓形刀刀位軌跡生成算法，開(kāi)發(fā)出整體葉輪五坐標(biāo)數(shù)控加工程序生成功能模塊[2]，算法具有針對(duì)性。孟凡軍等提出一種基于緯線(xiàn)圓圓心定位法，算法提高了鼓形刀具刀位誤差分布的計(jì)算效率與精度[3]，但計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，且外部因素對(duì)算法效率與精度具有一定的影響。陳果等基于宏域曲率吻合原則，通過(guò)調(diào)整鼓形刀具上端點(diǎn)位置及旋轉(zhuǎn)角度以避免干涉[4]，在大幅減少輸出刀位的同時(shí)卻難以保證加工過(guò)程中的局部誤差過(guò)大。宮虎在五坐標(biāo)數(shù)控加工基本模型的基礎(chǔ)上，研究了以密切法為主導(dǎo)的局部?jī)?yōu)化法加工，推導(dǎo)了切點(diǎn)處刀具曲面、刀具包絡(luò)面和設(shè)計(jì)曲面三者不變量?jī)?nèi)在關(guān)系的基本曲率公式，并在圓柱刀、圓錐刀和圓環(huán)刀加工下得到實(shí)現(xiàn)[5]。但對(duì)曲率較大的曲面加工并未給出具體解決方案。與圓柱刀和圓錐刀相比，鼓形刀曲率可以很大，位姿變換較為靈活，適合加工凹形曲面。為擴(kuò)展其在直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ械膽?yīng)用，文章擬在上述密切法加工基本模型構(gòu)架下，引入鼓刀緯線(xiàn)半徑和側(cè)圓弧半徑，推導(dǎo)鼓刀側(cè)銑加工中刀軸矢量、刀心位置的公式表達(dá)，并在Matlab中仿真出刀具路徑，驗(yàn)證了鼓刀密切法加工復(fù)雜曲面刀位軌跡生成的可行性。

1 回轉(zhuǎn)刀具及其幾何性質(zhì)

如圖1所示，鼓形刀具可視為其母線(xiàn)Cm沿與其共面的坐標(biāo)軸Z旋轉(zhuǎn)而成的軌跡面，引入鼓刀側(cè)圓弧半徑R，刀具上任意一點(diǎn)P的緯線(xiàn)半徑為ri，該點(diǎn)到底端的垂直高度為h，過(guò)該點(diǎn)作軌跡面的切線(xiàn)，切線(xiàn)與Z軸的夾角為φ，且由幾何關(guān)系知，線(xiàn)段PO與PP′的夾角也為φ。由于鼓刀是回轉(zhuǎn)面，根據(jù)微分幾何關(guān)系[6]可知鼓刀具備回轉(zhuǎn)面的所有性質(zhì)，即：

(1) 鼓刀上任意點(diǎn)的法線(xiàn)與軸線(xiàn)共面。

(3) 鼓刀法線(xiàn)與軸線(xiàn)的交點(diǎn)為緯線(xiàn)方向的主曲率中心，該點(diǎn)處母線(xiàn)的曲率中心為回轉(zhuǎn)面經(jīng)線(xiàn)方向的主曲率中心。

圖1 鼓形回轉(zhuǎn)刀具

2 密切法加工模型構(gòu)建

為便于后續(xù)討論，用曲線(xiàn)帶形建立五坐標(biāo)數(shù)控加工刀具運(yùn)動(dòng)過(guò)程。將設(shè)計(jì)曲面表示為S1，刀具曲面表示為S2，加工過(guò)程中假定設(shè)計(jì)曲面不動(dòng)，刀具曲面沿路徑相對(duì)于設(shè)計(jì)曲面運(yùn)動(dòng)，刀具曲面與設(shè)計(jì)曲面相切于P點(diǎn)。

圖2 鼓刀加工曲面的基本模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(a) 密切角 (b) 刀具傾角 圖3 曲面空間Frenet標(biāo)架

3 鼓刀密切法加工的實(shí)現(xiàn)

3.1 鼓刀刀位點(diǎn)的計(jì)算

(6)

刀心矢量nq可描述成q點(diǎn)處相對(duì)設(shè)計(jì)曲面的絕對(duì)坐標(biāo)，其值可由各矢量沿該方向上通過(guò)疊加法算出。

(7)

其中，ri為鼓刀上任意緯線(xiàn)處半徑，h為p點(diǎn)到底端的垂直高度。

(8)

(1)在設(shè)計(jì)曲面S1=S(u,v)上確定好加工路徑Cn，求曲面S對(duì)參數(shù)u,v的一階和二階微分量du,dv,duu,dvv,duv[7]。

(2)在路徑Cn上一點(diǎn)P計(jì)算設(shè)計(jì)曲面S1在該點(diǎn)處的單位法矢：

(9)

(3)求P點(diǎn)處第一和第二基本量：

(10)

(11)

其中，a=EM-FL;b=EN-GL;c=FN-GM

(5)確定單位主方向矢量：

(12)

(13)

其中，A=EG-F2;B=-LG+2MF-NE;C=LN-M2。

(7)根據(jù)鼓刀的幾何特性，刀具在P點(diǎn)處沿緯線(xiàn)e1和經(jīng)線(xiàn)e2方向的主曲率分別為：

(14)

其中，ri為鼓刀在P點(diǎn)處的緯線(xiàn)半徑，R為鼓刀側(cè)圓弧半徑。

(8)將4個(gè)曲率代入式(8)求出密切角δ。

3.2 鼓刀密切法加工的判別條件

需要注意的是，密切法并非在所有場(chǎng)合下都適用，直觀上來(lái)說(shuō)，密切法加工的基本條件是δ有解。此外還需滿(mǎn)足不干涉條件，全局干涉可通過(guò)調(diào)整刀具設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)避免[8]。文獻(xiàn)[5]給出了不干涉條件基本判別式：

(15)

其中，

(16)

4 實(shí)例仿真

取文獻(xiàn)[9]中的直紋面，采用鼓形刀進(jìn)行加工，鼓刀側(cè)圓弧半徑R為20mm，刀具曲面與設(shè)計(jì)曲面切點(diǎn)處鼓刀緯線(xiàn)半徑ri為10mm，刀具傾角φ為15°，切點(diǎn)處距刀具下底面垂直高度h為5mm，加工路線(xiàn)為v=0.5的參數(shù)曲線(xiàn)，仿真在編程軟件Matlab R2017b中實(shí)現(xiàn)。

如圖4所示，共生成50個(gè)密切刀位，其中，圓點(diǎn)為刀心點(diǎn)，且刀心點(diǎn)與加工曲面偏離一個(gè)刀具半徑距離。連接刀心點(diǎn)的直線(xiàn)為刀軸線(xiàn)，相鄰刀軸間距一致，從而縮小了誤差變動(dòng)范圍。旋轉(zhuǎn)圖片可以看出，刀軸線(xiàn)與加工曲面具有一定的角度，這個(gè)角度就是刀具傾角。

圖4 鼓刀密切法加工刀位軌跡生成

5 結(jié)論

(1)基于密切法加工模型構(gòu)架，引入鼓刀側(cè)圓弧半徑和緯線(xiàn)半徑，由矢量疊加法推導(dǎo)鼓刀側(cè)銑加工中刀軸矢量、刀心位置的公式表達(dá)。

(2)根據(jù)鼓刀密切法加工的適應(yīng)判別條件，分析了鼓刀以上下底面為切削面時(shí)加工的曲面可包含雙曲點(diǎn)或拋物點(diǎn)，由此論證了鼓刀密切法加工條件不僅與曲面曲率有關(guān)，還受刀具姿態(tài)本身影響。