馬 暢，冷建偉

(天津理工大學(xué) 電氣電子工程學(xué)院 天津市復(fù)雜控制系統(tǒng)實驗室，天津 300384)

0 引言

近年來，隨著永磁材料技術(shù)的不斷發(fā)展，永磁同步電機在工業(yè)，高精度數(shù)控機床，軍事等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[1]。永磁同步電機具有結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、效率高、損耗少、節(jié)能效果明顯等優(yōu)點[2]。傳統(tǒng)的永磁同步電機多采用PI控制策略，但PI調(diào)節(jié)性能具有一定缺陷，比如系統(tǒng)在遇到外部干擾或者內(nèi)部參數(shù)變化時，PI控制不能顯示出很強的魯棒性[3]。后來有些學(xué)者提出把滑模控制加入到控制系統(tǒng)中，雖然滑?？刂凭哂休^強的魯棒性，但是在各種非線性控制系統(tǒng)中，會出現(xiàn)抖振問題[4]。抖振的產(chǎn)生不僅影響系統(tǒng)的精度，增加控制器的負擔，還影響系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了提高滑模運動的動態(tài)品質(zhì)，解決抖振問題。目前主要有趨近律法、觀測器方法、模糊控制方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、遺傳算法、動態(tài)滑模方法等。其中，我國高為炳院士提出的趨近律法在抑制滑模抖振方面是國內(nèi)外使用和研究的一個熱點。高為炳[5]提出了趨近律技術(shù)的概念并分析了等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律等方法。等速趨近律的速度不變，結(jié)構(gòu)簡單；指數(shù)趨近律雖然提高了趨近系統(tǒng)滑模面的速度，但是這兩種方法由于常值切換項ksgn(s)的存在，使得系統(tǒng)必定會存在抖振；冪次趨近律雖然可以消除抖振，但是在系統(tǒng)遠離滑模面時趨近速度很低。文獻[6]設(shè)計了一種新型趨近律和擾動觀測器相結(jié)合的滑?？刂撇呗裕x取指數(shù)項、系統(tǒng)狀態(tài)變量、線性增益等組成滑模趨近律，并結(jié)合積分型滑模面，有效的提高了系統(tǒng)的趨近速度并減小了抖動，但是趨近律的形式復(fù)雜，參數(shù)選取困難。文獻[7]將終端吸引子的概念引入了指數(shù)趨近律，設(shè)計了一種新型趨近律，提高了趨近速度，有效減小了抖振。文獻[8]在文獻[7]的基礎(chǔ)上，提出一種新型快速冪次趨近律，并與傳統(tǒng)PI控制器作比較，實驗顯示該趨近律具有較好的性能。文獻[9]首先提出雙冪次趨近律的形式，并將其應(yīng)用于機器人的路徑跟蹤控制，具有較強魯棒性。廖英[10]等提出一種雙冪次組合函數(shù)趨近律，通過理論分析和實驗證明該趨近律無論系統(tǒng)在何種狀態(tài)都具有比傳統(tǒng)趨近律更優(yōu)的控制性能，不足之處在于參數(shù)較多，不同參數(shù)下的滑模收斂特性還有待研究。張瑤[11]等在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上提出了一種多冪次趨近律，采用三個冪次項和一個線性項。該趨近律的變指數(shù)的冪次項具有較強的自適應(yīng)能力，不足之處在于系統(tǒng)受到干擾時，穩(wěn)定性有待研究。

為進一步提高永磁同步電機的動態(tài)跟蹤性能，本文提出了一種新型趨近律，是在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上結(jié)合文獻[7]，加入變指數(shù)項，進一步加快了雙冪次趨近律在遠離滑模面時的趨近速度，引入系統(tǒng)狀態(tài)變量，抑制了滑模固有的抖振問題。最后通過理論分析和實驗仿真驗證該算法具有更好的性能。

1 新型趨近律

1.1 新型趨近律的設(shè)計

對于設(shè)計趨近律來說，要考慮兩個方面，一個是快速性，一個是抑制抖振。由于文獻[12]論證出雙冪次趨近律具有有效消除抖振的特點，所以在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上加以改進。對于連續(xù)時間系統(tǒng)，所設(shè)計的新型趨近律如下所示：

(1)

(2)

其中，k1>0,k2>0,ε>0,0<α<1,β>1，x1為系統(tǒng)狀態(tài)變量，s是系統(tǒng)滑模面，sgn(g)為符號函數(shù)。

1.2 存在性及可達性證明

(3)

1.3 新型趨近律的滑模特性分析

證明：分析新型趨近律的收斂時間，下面分2個階段進行討論。

階段1：從初始狀態(tài)s(0)到s(t1)=1階段

在該階段，由于參數(shù)0<α<1,β>1，所以對雙冪次趨近律來說，在|s|>1時，對于收斂速度其主要作用的是第二項，忽略第一項的影響，將雙冪次趨近律寫成：

(4)

對上式兩邊進行積分可得：

(5)

由此可得從初始狀態(tài)s(0)到s(t1)=1階段的收斂時間為：

(6)

同理在該階段，對于新型趨近律(1)來說，起作用的為第二項和第三項(這時γ=β)，忽略第一項，則趨近律(1)寫為：

(7)

(8)

將式(8)兩邊積分可得:

(9)

(10)

階段2：從s(t1)=1到s(t2)=0階段

在該階段，同樣由于參數(shù)0<α<1,β>1，所以對雙冪次趨近律來說，在|s|<1時，對于收斂速度其主要作用的是第一項，忽略第二項的影響，將雙冪次趨近律寫成:

(11)

對上式兩邊進行積分可得：

(12)

從初始狀態(tài)s(t1)=1到s(t2)=0階段的收斂時間為：

(13)

同理在該階段，對于新型趨近律(1)來說，起作用的為第二項和第三項(這時γ=α)，忽略第一項，則趨近律(1)寫為：

(14)

綜上所述，新型趨近律下滑模趨近總時間T=Tα+Tβ小于雙冪次趨近律趨近總時間t=t1+t2。定理1得證。

1.4 新型趨近律控制性能分析

以式(15)所示的系統(tǒng)為例，比較分析雙冪次趨近律和新型趨近律的控制性能。

(15)

取系統(tǒng)滑模面為s=Cx，對其求導(dǎo)得:

(16)

將式(1)、式(15)帶入式(16)可得:

(17)

在相同的參數(shù)設(shè)置下，將新型趨近律和雙冪次趨近律進行仿真對比，結(jié)果如圖1所示。

(a) 系統(tǒng)狀態(tài)x1收斂過程 (b) 系統(tǒng)狀態(tài)x2收斂過程

(c) 趨近律趨近過程所需時間 (d) 控制器輸出u

(e) 雙冪次趨近律滑模運動相軌跡 (f) 新型趨近律滑模運動相軌跡 圖1 雙冪次趨近律和新型趨近律性能比較

通過對比圖1中雙冪次趨近律和新型趨近律的控制性能可知，新型趨近律在趨近滑模面的速度方面快于雙冪次趨近律,能更快地使系統(tǒng)到達穩(wěn)定，且通過輸出曲線u可以看出，新型趨近律具有減小抖陣的作用。因此本文提出的新型趨近律比雙冪次趨近律擁有更優(yōu)的控制性能。

2 永磁同步電機數(shù)學(xué)模型

建立永磁同步電機在d-q軸同步旋轉(zhuǎn)坐標系下的數(shù)學(xué)模型，同時假設(shè)磁場在空間中正弦分布，并忽略磁滯損耗和渦流損耗。則電機的數(shù)學(xué)模型為：

(18)

(19)

轉(zhuǎn)矩公式：

(20)

其中，ud、uq分別為定子電壓在d軸和q軸分量；id、iq分別為電機定子電流在d軸和q軸分量；ψd、ψq分別為電機磁鏈在d軸和q軸的分量；Ld、Lq分別為電機電感在d軸和q軸的分量；R為定子電阻；ωm為轉(zhuǎn)子角速度；ψf為永磁體磁鏈。

對于表貼式PMSM而言，采用id=0的轉(zhuǎn)子磁場定向控制方法即可獲得較好的控制效果:

(21)

運動方程為:

(22)

3 滑模控制器構(gòu)造

結(jié)合式(18)和式(19)為：

(23)

定義

(24)

其中，ω為電機參考速度，ωm為實際速度。

根據(jù)式(23)和式(24):

(25)

(26)

定義滑模面為s=cx1+x2，對其求導(dǎo)并結(jié)合本文所提出的新型趨近律，則:

(27)

(28)

從而得到參考電流為：

(29)

4 仿真及實驗分析

為了驗證本文所提出的基于新型趨近律的滑?？刂破饔行?，搭建MATLAB/simulink仿真模型，構(gòu)建如圖2所示的仿真系統(tǒng)。仿真采用的PMSM電機參數(shù)為：磁極數(shù)pn=4，電感Ld=Lq=8.5mH，轉(zhuǎn)子慣量J=0.0018kg·m2，阻尼系數(shù)B=0.0001。永磁磁鏈幅值ψf=0.175Wb，定子電阻R=2.875Ω。

圖2 PMSM的系統(tǒng)控制圖

仿真實驗中對傳統(tǒng)PI控制器和新型趨近律滑?？刂破髯隽藢Ρ葘嶒?，仿真結(jié)果分別從電機的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、定子電流三方面比較。給定電機轉(zhuǎn)速為400r/min，負載轉(zhuǎn)矩為0。從圖3a中可以看出，新型滑?？刂破鞅葌鹘y(tǒng)PI控制器轉(zhuǎn)速響應(yīng)快，到達指定轉(zhuǎn)速的所用的時間少，且無超調(diào)現(xiàn)象。電機轉(zhuǎn)速在0.2s時突然增加到600r/min，從圖3a中可以看出，在轉(zhuǎn)速突變的情況下，SMC控制速度響應(yīng)也是快于PI作用，且率先達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。圖3b顯示的是在轉(zhuǎn)速突變的情況下電機轉(zhuǎn)矩響應(yīng)，從圖中可以看出，PI控制策略下轉(zhuǎn)矩到達穩(wěn)定的時間慢于SMC控制策略，并且在轉(zhuǎn)速變化時，PI控制下的轉(zhuǎn)矩波動達到了初始轉(zhuǎn)矩變化幅度5N·m，起伏波動比較大，而SMC控制下，轉(zhuǎn)矩波動幅度只有初始幅度的一半3N·m，波動小，具有更好的抗擾動特性。同樣從圖3c、 圖3d的定子電流對比也可看出SMC較快到達穩(wěn)定，并且波動幅度小，展示出具有較好的控制性能。綜上，在面對系統(tǒng)突變時，采用新型趨近律下的滑?？刂破骶哂许憫?yīng)速度快，穩(wěn)定后抑制抖動能力強，魯棒性好的優(yōu)點。

(a) 兩種控制下的轉(zhuǎn)速響應(yīng) (b) 兩種控制下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

(c) PI控制下的電流響應(yīng) (d) SMC控制下的電流響應(yīng) 圖3 系統(tǒng)起動和轉(zhuǎn)速突變響應(yīng)仿真

4.1 實驗驗證

本文以天煌教儀THEAZT-3C型電力電子與調(diào)速系統(tǒng)設(shè)計/創(chuàng)新平臺為實驗平臺，以TMS320F2812PGFA控制芯片，搭建了實物平臺，通過調(diào)速監(jiān)控軟件可以監(jiān)測電機轉(zhuǎn)速。實驗主要測試PI控制和SMC控制下電機從起動到設(shè)定轉(zhuǎn)速，然后改變電機轉(zhuǎn)速，觀察系統(tǒng)響應(yīng)。

圖4 實驗平臺及部分模塊

4.2 實驗分析

首先設(shè)定電機的轉(zhuǎn)速為500r/min，初始負載為0，空載啟動。從實驗圖中可以看到，當電機加速時，SMC控制速度響應(yīng)快于PI控制，且SMC控制策略下，電機不存在超調(diào)現(xiàn)象。在電機穩(wěn)定運行后，突加負載轉(zhuǎn)矩1N·m，PI控制下轉(zhuǎn)矩脈動比較大，到達平衡時間也比SMC控制下要長，說明滑?？刂凭哂休^好的抗干擾能力。

隨后設(shè)定電機轉(zhuǎn)速到1000r/min，然后進行減速實驗。通過實驗可以看出，SMC控制下電機可以迅速做出響應(yīng)到達給定轉(zhuǎn)速500r/min，到達穩(wěn)定時間短。

(a) PI控制下電機起動轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(b) SMC控制下電機起動轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(c) PI控制下突加負載的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

(d) SMC控制下突加負載的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

(e) PI控制電機轉(zhuǎn)速下降時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)

(f) SMC控制電機轉(zhuǎn)速下降時的轉(zhuǎn)速響應(yīng) 圖5 實驗系統(tǒng)測試

5 結(jié)論

本文提出了一種新型趨近律方案，是在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上加以改進，并從理論上分析了新型趨近律的可靠性、存在性和可達性。通過公式推導(dǎo)驗證了新型趨近律比雙冪次趨近律無論是靠近滑模面還是在遠離滑模面時，都具有更快的收斂速度。在新型趨近律的基礎(chǔ)上設(shè)計滑?？刂破?，與傳統(tǒng)PI控制器進行比較，仿真和試驗結(jié)果表明，新型趨近律滑?？刂破髟谒俣软憫?yīng)，穩(wěn)態(tài)精度，抑制抖動方面;具有較好的性能表現(xiàn)，驗證了本方法的可行性。