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        2019年全國高考理科數(shù)學模擬試題

        2019-05-05 03:31:20戴紅
        廣東教育·高中 2019年4期
        關(guān)鍵詞:直角坐標原點小題

        戴紅

        本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分. 全卷共150分. 考試用時120分鐘.

        第Ⅰ卷(選擇題,共60分)

        一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.

        1. 已知集合A={x∈R│x2-3x+a>0},且2?埸A,則實數(shù)a的取值范圍是()

        A.(-∞,2]? B.[2,+∞) ? C.(-∞,-2] ? D.[-2,+∞)

        2. 已知向量■與■的夾角為■,且■=1,■=2,若(3■+?姿■)⊥■,則實數(shù)?姿=()

        A. -3 B. 3 C. -■ D. ■

        3. 設a>0,b>0,則“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的()

        A. 充分不必要條件

        B. 必要不充分條件

        C. 充要條件

        D. 既非充分又非必要條件

        4. 如圖所示的程序框圖的算法思路來源于“歐幾里得算法”. 圖中的“aMODb”表示a除以b的余數(shù),若輸入a,b的值分別為195和52,則執(zhí)行該程序輸出的結(jié)果為()

        A. 13 B. 26

        C. 39 D. 78

        5. 設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導函數(shù)為f′(x),且f′(x)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點處的切線方程為()

        A. y=3x+1 ? B. y=3x-3 C. y=-3x+1 D. y=-3x

        6. 已知x=■是f(x)=asinx+bcosx一條對稱軸,且最大值為2■,則函數(shù)g(x)=asinx+b()

        A. 最大值是4,最小值為0 B. 最大值是2,最小值為-2

        C. 最大值可能是0? ? ? ? ?D. 最小值不可能是-4

        7. 在等差數(shù)列{an}中前n項和為Sn,且S2019=-2019,a1011=1,則a2019的值為()

        A. 1008 B. 2018

        C. 1009 D. 2017

        8. 一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()

        A. ■ ? ?B. ■

        C. ■? ? D. ■+1

        9. 正方形的兩個頂點是一雙曲線的焦點,另兩個頂點在此雙曲線上,則此雙曲線的離心率為()

        A. ■+1B. ■C. ■+1D. ■

        10. 將A, B, C, D,E五種不同的文件隨機地放入編號為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七個抽屜內(nèi),每個抽屜至多放一種文件,則文件A, B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C, D被放在不相鄰抽屜內(nèi)的概率為()

        A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

        11. 已知變量x, y滿足約束條件x+2y-3≤0,x+3y-3≥0,y-1≤0,若目標函數(shù)z=ax+by(a≠0)取得最大值時的最優(yōu)解有無窮多組,則點(a,b)的軌跡可能是()

        12. 函數(shù)f(x)在定義域(0, +∞)內(nèi)恒滿足:①f(x)>0;② 2f(x)

        A. ■<■<■ ? ? ? ? ?B. ■<■<■

        C. ■<■<■? ? ? ? ? ? D. ■<■<■

        第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)

        二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上.

        13. 已知圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形,則此圓錐的側(cè)面積為___________.

        14. 拋物線y2=8x的準線為l,點Q在圓C: x2+y2+6x+8y+21=0上,設拋物線上任意一點P到直線l的距離為m,則m+PQ的最小值為___________.

        15. 如圖,三棱錐P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形,E為PC的中點.若直線AE與平面PBC所成角的正弦值為■,則PA的長為______________.

        16. 用max{a、 b}表示a、b兩個數(shù)中的最大數(shù),設f(x)=max{x2,■}(x≥■),那么由函數(shù)y=f(x)的圖像、x軸、直線x=■與x=2所圍成的封閉圖形的面積是___________.

        三、解答題:本大題共六小題,共計70分. 解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

        17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=Asin(?棕x+?漬)(A>0,?棕>0,?漬< ■)的圖像與y軸交于(0, 2),它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為(x0, 4)和(x0+■, -4).

        (1)求函數(shù)f(x)的解析式及x0的值;

        (2)若銳角?茲滿足cos?茲=■,求f(?茲).

        18.(本小題滿分12分)某高校自主招生選拔共有三輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某同學能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為■、■、■,且各輪問題能否正確回答互不影響.

        (I)求該同學被淘汰的概率;

        (Ⅱ)該同學在選拔中回答問題的個數(shù)記為?灼,求隨機變量 ?灼的分布列與數(shù)學期望.

        19.(本小題滿分12分)如圖,已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED//PA,且PA=2ED=2.

        (Ⅰ)證明:平面PAC ⊥平面PCE;

        (Ⅱ)若直線PC與平面ABCD所成的角為45°,求二面角P-CE-D的余弦值.

        20.(本小題滿分12分)已知中心在原點的橢圓C: ■+■=1(a>0, b>0)的一個焦點為F1(3, 0), M(4, y)(y>0)為橢圓上一點,△MOF1的面積為■.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相交于A、 B兩點,且以線段AB為有經(jīng)的圓恰好經(jīng)過原點?若存在,求出的方程,若不存在,說明理由

        21.(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)=x2+mln(x+1),

        (1)當m=-4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;

        (2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1, x2,且x1

        選考題:請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號

        22.(本小題滿分10分)選修4-4:? 坐標系與參數(shù)方程

        在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點A的極坐標為(■, ■),直線l的極坐標方程為?籽cos(?茲-■)=a,且點A在直線l上.

        (1)求a 的值及直線l的直角坐標方程;

        (2)圓c的參數(shù)方程為x=1+cos?琢,y=sin?琢(?琢為參數(shù)),試判斷直線l與圓的位置關(guān)系.

        23 .(本小題滿分10分)選修4-5:? 不等式選講

        已知函數(shù)f(x)=x+1.

        (1)解不等式:f(x)≤2x;

        (2)若不等式f(x)-x-2≥a的解集為非空集合,求a的取值范圍.

        2019年全國高考理科數(shù)學模擬試題參考答案

        一、選擇題:A;B;A;A;D;C;D;B;A;C;D;D.

        二、填空題:13. ■?仔;14.■-2;15. 2或■;16. 3-■.

        三、解答題:

        17.(1)依題意得A=4,∵ (x0+■)-x0=■,∴ f(x)的周期為?仔,從而?棕=2. 由2=4sin(2·0+?漬)及?漬<■得?漬=■.

        ∴ f(x)=4sin(2x+■).

        由2x0+■=■,得 x0=■.

        (2)∵ cos?茲=■,?茲∈(0,■),∴ sin?茲= ■.

        f(?茲)=4sin(2?茲+■)=4sin2?茲cos■+4cos2?茲sin■.

        =2■sin2?茲+2cos2?茲=4■sin?茲cos?茲+4cos2?茲-2

        =■.

        18. 解析:(Ⅰ)記“該同學能正確回答第i輪的問題”的事件為Ai(i=1, 2, 3),

        則P(Ai)=■,P(A2)=■,P(A3)=■,

        所以該同學被淘汰的概率為:

        P=P(A1+A1A2+A2A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)

        =■+■×■+■×■×■=■.

        (Ⅱ)?灼的可能值為1, 2, 3,P(?灼=1)=P(A1)=■,P(?灼=2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=■×■=■,P(?灼=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=■×■=■.

        所以的分布列為:

        數(shù)學期望為E?灼=1×■+2×■+3×■=■.

        19. 證明:(Ⅰ)連接BD,交AC于點O,設PC中點為F,連接OF,EF.

        因為O,F(xiàn)分別為AC,PC的中點,所以OF∥PA,且OF=■PA.

        因為DE∥PA,且DE=■PA,所以OF∥DE,且OF=DE.

        所以四邊形OFED為平行四邊形,所以OD∥EF,即BD∥EF.

        ∵ PA⊥平面ABCD,BD?奐平面ABCD,所以PA⊥BD.

        ∵ ABCD是菱形,所以BD⊥AC.

        ∵ PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC. 因為BD∥EF,所以EF⊥平面PAC.

        因為FE?奐平面PCE,所以平面PAC⊥平面PCE.

        (Ⅱ)因為直線PC與平面ABCD所成角為45°,所以∠PCA=45°,所以AC=PA=2.

        所以AC=AB, 故△ABC為等邊三角形. 設BC的中點為M,連接AM,

        則AM⊥BC. 以A為原點,AM, AD, AP分別為x, y, z軸,建立空間直角坐標系A-xyz. 則P(0, 0, 2),C(■, 1, 0),E(0, 2, 1),D(0, 2, 0),

        ■=(■, 1, -2),■=(-■,1,1),■=(0,0,1).

        設平面PCE的法向量為■=(x1,y1,z1),則■·■=0,■·■=0,

        即■x1+y1-2z1=0,-■x1+y1+z1=0.令y1=1,則x1=■,z1=2.所以■=(■, 1, 2).

        設平面CDE的法向量為■=(x2, y2, z2),

        則■·■=0,■·■=0,即z2=0,-■x2+y2+z2=0.令x2=1,則y2=■,z2=0,所以■=(1, ■, 0).

        cos〈■, ■〉=■=■=■.

        設二面角P-CE-D的大小為?茲,由于?茲為鈍角,所以cos?茲=-■,

        即二面角P-CE-D的余弦值為-■.

        20.(1)∵ ■=■,∴ ■y=■?圯y=1.

        ∵ M在橢圓上,■+■=1……(1)

        ∵ F1是橢圓的焦點,∴ a2=b2+9……(2)

        由(1)(2)解得:a2=18,b2=9,

        橢圓的方程為■+■=1.

        (2)OM的斜率k=■,設l的方程為y=■x+m,

        聯(lián)立方程組y=■x+m,■+■=1整理得9y2-16my+8m2-9=0.

        設A、 B兩點的坐標為(x1, y1), (x2, y1),則y1+y2=■,y1y2=■.

        以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

        該圓經(jīng)過原點∴ x1x2+y1y2=0.

        x1x2=(4y1-4m)(4y2-4m)=16y1y2-16m(y1+y2)+16m2

        ∴ x1x2+y1y2=16y1y2-16m(y1+y2)+16m2+y1y2

        =17y1y2-16m(y1+y2)+16m2=■-■+16m2=0,

        解得m=±■.

        經(jīng)檢驗,所求l的方程為y=■x±■.

        21. 解析:(1)依題意知函數(shù)定義域為(-1,+∞),f′(x)=2x+■=■,當m=-4時,令f′(x)=■<0,得:-2

        故函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間(-1, 1).

        (2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、 x2,且x1

        知0

        ■=■=2x2ln(x2+1)-■.

        令?漬(x)=2xln(x+1)-■,x∈(-■,0),

        ∴ ?漬′(x)=2ln(x+1)+■,令g(x)=2ln(x+1)+■,

        ∴g′(x)=■=■,令h(x)=x2+3x+1.

        又∵ x∈(-■, 0), (x+1)3>0,h(x)在(-■, 0)單調(diào)遞增且h(0)>0,h(-■)<0,

        即存在x0∈(-■, 0)使得h(x0)=0即x∈(-■,x0),g′(x)<0,x∈(x0, 0),g′(x)>0,

        g(x)在(-■, x0)單調(diào)遞減,g(x)在(x0, 0)單調(diào)遞增.

        又g(0)=0,g(-■)<0,∴ x∈(-■,0),?漬′(x)<0,

        ∴ x∈(-■,0),?漬(x)在(-■,0)單調(diào)遞減,又∵ ?漬(0)=0 ?漬(-■)=ln2-■,

        故所求范圍為(0, ln2-■).

        選做題:

        22. 解析:(1)由點A(■, ■)在直線?籽cos(?茲-■)=a上,可得a=■.

        所以直線l的方程可化為?籽cos?茲+?籽sin?茲=2,

        從而直線l的直角坐標方程為x+y-2=0.

        (2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1,

        所以圓心為(1, 0),半徑r=1.

        以為圓心到直線的距離d=■<1,所以直線與圓相交.

        23 . 解析:(1)f(x)≤2x?圳? x+1≤2x?圳x+1≥0,x+1≤2x或x+1<0,-(x+1)≤2x?圳x≥1,

        ∴ f(x)≤2x的解集為{x│x≥1}.

        (2)f(x)-x-2≥a?圳x+1-x-2≥a ∵x+1-x-2≤(x+1)-(x-2)=3,∴ a≤3.

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