盛 偉，馮占榮，王利霞，鄒 濛，王文軒

（南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063）

0 引言

在機械傳動方面，齒輪是常用且重要的零件，隨著機械傳動對齒輪傳動要求的不斷提升，促進了不同齒形、不同齒線的齒輪的發(fā)展。20世紀80年代后期，日本學者小守勉提出了以全新齒輪理論為基礎的邏輯齒輪[1,2]。邏輯齒輪較漸開線齒輪、圓弧齒輪傳動的諸多優(yōu)點：邏輯齒輪的齒廓由許多不同的微線段構成，其采用凹凸齒廓相嚙合的形式實現(xiàn)傳動，能夠有效地解決漸開線齒輪的凸凸嚙合形式引發(fā)的齒面耐久性差、承載能力低、噪聲大等問題，邏輯齒輪可以制成直齒圓柱齒輪，而且還可以制成少齒數(shù)齒輪，目前已研制出齒數(shù)為3的邏輯齒輪[3,4]。1975年，美國的格里森（Gleason Works）公司首次提出將弧形齒線應用于錐齒輪上，而后國內(nèi)外眾多研究學者展開了對圓弧齒線圓柱齒輪的研究，臺灣學者Tseng[5,6]等人用雙面刀盤作為展成工具，根據(jù)齒條與齒輪的展成嚙合理論，建立了漸開線弧線齒圓柱齒輪的數(shù)學模型。研究發(fā)現(xiàn)弧線齒圓柱齒輪既具有直齒圓柱齒輪的傳動特點，又具有斜齒圓柱齒輪的傳動特點，還可以克服人字齒齒輪的缺點[7]。將邏輯齒廓與弧線齒齒輪相結(jié)合，提出邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪的設計，推導建立齒面數(shù)學模型，實現(xiàn)該齒輪的參數(shù)化精確建模，以齒輪與齒條的嚙合模型代替齒輪與齒輪的嚙合模型來探討該齒輪的重合度及其精確計算方法，并分析了齒寬和圓弧半徑對重合的影響，為大重合度的邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪設計提供參考。

1 齒面方程的推導

1.1 邏輯齒輪齒廓線方程

根據(jù)文獻[3]，邏輯齒輪是由邏輯齒條產(chǎn)形得到的，邏輯齒輪除了與漸開線齒輪共有的參數(shù)外，還有初始基圓半徑G0、初始壓力角α0、相對壓力角δ等參數(shù)。圖1為邏輯齒條齒廓線，式(1)為單側(cè)齒廓線AB的方程，其中正號表示節(jié)線以上的齒廓線AO1的方程，負號表示節(jié)線以下的齒廓線O1B的方程，式(2)～式(6)為邏輯齒輪基本參數(shù)的計算公式，由齒輪嚙合原理[8]可推導邏輯齒輪齒廓線方程，如式(7)所示。

圖1 邏輯齒條的齒形

1.2 弧線齒邏輯齒輪齒面方程

圖2為弧線齒齒輪坐標系及分度圓柱面展開圖，建立坐標系ohxhyhzh和坐標系os-xsyszs，zh與zs同向，平面xhohyh和平面xsosys相距h，xh軸和xs軸相比，繞zh軸或zs轉(zhuǎn)動了β角。其中B為齒寬，L為圓弧齒線，RT為圓弧齒線的半徑，R為分度圓半徑。

圖2 弧線齒齒輪坐標系的設定

邏輯齒輪的齒廓線在坐標系xhohyh中的方程。

根據(jù)弧線齒圓柱齒輪的幾何關系，弧線齒的位置角為：

根據(jù)坐標變換，在坐標系os-xsyszs中的邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪齒面方程為式(10)，其中正負號分別表示單齒一側(cè)的分度圓以內(nèi)、分度圓以外的齒面方程。

2 參數(shù)化建模

根據(jù)弧線齒邏輯齒輪的齒面方程推導過程，通過MATLAB數(shù)值計算和CATIA三維建模功能實現(xiàn)弧線齒邏輯齒輪參數(shù)化建模，具體步驟如下：

1）根據(jù)邏輯直齒齒輪的齒槽方程編寫齒槽點集（x,y坐標）。

2）然后給定齒線的圓弧半徑（或齒寬），然后依據(jù)圓弧半徑一般為齒寬的0.6～4倍，確定齒寬值（或圓弧半徑）。

3）沿齒寬方向?qū)⑤嘄X齒槽等分，取zs=hi（i=1，2，…，n），zs的每次取值，都會得到一條齒槽廓線的點集。

4）將n條廓線的點集以如下程序區(qū)分開，即每一個“EndCurve”和“StartCurve”之間為一條曲線的點集?！癊ndCurve”和“StartCurve”是CATIA軟件中自帶宏程序表格中的一條曲線的點集“起始”和“終止”的標志。

5）將保存在.txt文檔中的點坐標直接復制粘貼到CATIA軟件中自帶宏程序的表格中并運行宏，得到齒面點集及齒槽廓線，進而擬合成單側(cè)齒槽面。

6）變換方程，重復步驟2）～5），便可得到一個完整的齒槽面。

7）陣列齒槽面并作曲面切割毛坯實體得到弧線齒邏輯齒輪精確三維模型。

在MATLAB、CATIA中，由步驟1）～7）可得到弧線齒邏輯齒輪模型，參數(shù)建模方法的齒面形成過程如圖3所示。

3 重合度的研究

3.1 重合度的計算方法

圖3 參數(shù)化建模過程

重合度是衡量齒輪承載能力與傳動平穩(wěn)性的重要指標。漸開線齒輪的重合度可表述為嚙合線長度與基圓齒距的比值，該定義對于邏輯齒輪顯然是不適用的，因為邏輯齒輪并沒有確定的基圓。陳安適[9]將邏輯直齒輪的重合度定義為節(jié)圓上的嚙合弧長與相鄰兩齒同側(cè)齒廓在分度圓上的弧長比值，但沒給出嚙合弧長的計算公式。而弧齒圓柱齒輪副的重合度ε等于軸向重合度與端面重合度的和?；【€齒圓柱齒輪的軸向重合度計算公式是：

邏輯齒廓弧齒圓柱齒輪的端面重合度可以按邏輯直齒圓柱齒輪計算。根據(jù)式(1)可知，邏輯齒條的單側(cè)齒廓線的節(jié)線以上部分（AO1）與節(jié)線以下部分（O1B）關于原點對稱，所以這兩段的嚙合弧長相等。那么，端面重合度的計算公式如下：

首先分析邏輯齒條的齒廓AO1與邏輯齒輪傳動時的嚙合軌跡線。根據(jù)齒輪嚙合原理[8]，齒輪齒條傳動時，齒輪的節(jié)圓與齒條的節(jié)線以純滾動的形式嚙合傳動，如圖4所示。

圖4 齒輪—齒條嚙合示意圖

那么P點既是齒輪與齒條的相對瞬心，又是齒輪齒條傳動時的節(jié)點。根據(jù)齒輪嚙合原理[8]，兩齒廓嚙合時，其嚙合點的公法線必然經(jīng)過P點。圖中坐標系X1OY1是齒條的動坐標系，XOY為齒條的靜坐標系，那么嚙合點C在坐標系XOY中的坐標是：

利用式(13)即可通過MATLAB軟件求出所有嚙合點的坐標，然后將得到的點集導入CATIA自帶宏程序的EXCEL表格中，在CATIA中自動生成點以及由一系列點構成的曲線，即嚙合軌跡線。同理可計算出邏輯齒條的單側(cè)齒廓線的節(jié)線以下部分與邏輯齒輪傳動時的嚙合軌跡線。兩段嚙合線的弧長b可直接在CATIA軟件的草圖界面使用測量項直接得到精確的值，如圖5所示。

圖5 嚙合弧長的測量

3.2 重合度的影響因素

為分析齒寬和圓弧半徑對邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪重合度的影響，取邏輯齒輪基本參數(shù)如表1所示。齒寬和圓弧半徑對重合度的影響如圖6、圖7所示。

表1 邏輯齒輪基本參數(shù)

當保持齒寬不變時，適當?shù)臏p小圓弧半徑；當保持圓弧半徑不變時，有利于增大該齒輪的重合度。

4 結(jié)論

圖6 圓弧半徑對重合度的影響

圖7 齒寬對重合度的影響

本文提出邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪設計，根據(jù)齒輪嚙合原理，推導建立了該齒輪的數(shù)學模型，利用MATLAB軟件和CATIA軟件實現(xiàn)該齒輪的參數(shù)化建模。以齒輪——齒條模型代替齒輪——齒輪嚙合模型，提出精確分析和計算該齒輪的重合度的方法。在此基礎上，分析了齒寬和圓弧半徑對該齒輪重合度的影響，研究表明：增大齒寬或減小圓弧半徑有利于增大弧線齒邏輯齒輪的重合度。這為設計大重合度的邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪提供理論參考。