劉寶平

(朔州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西 朔州 036000)

為了研究某物理問題或規(guī)律,從其所處的物理情境中找出描繪問題的參數(shù)，并利用參數(shù)間的相互關(guān)系進行分析,依據(jù)所得數(shù)據(jù)建立相關(guān)模型的過程,稱之為物理建模[1]。量綱分析(Dimensional analysis)是物理和工程等專業(yè)常用的建模方法之一。自廣義相對論提出以后,利用半定量的量綱分析[2]方法來研究物理量間的關(guān)系受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。它的理論基礎(chǔ)是量綱齊次原則[3],首先對研究問題所涉及的物理量列出方程,再進行初等計算以確定物理量之間的關(guān)系,最后分析各物理量對研究對象的影響。人們利用量綱分析法可以推測某物理規(guī)律,定性地檢查物理計算結(jié)果的正確性,還可以為實驗中的合理假設(shè)提供定性分析。經(jīng)量綱分析的結(jié)果中常含有待定的無量綱常數(shù)或函數(shù),這些量只能通過實驗和理論的擬合進一步確定,正是這些不完備的無量綱量為物理實驗?zāi)M提供了豐富的實踐參考。傳統(tǒng)的物理建模方法側(cè)重于探尋物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系,追求推導(dǎo)過程的邏輯縝密及條理清晰。這就要求研究者具備完整的知識結(jié)構(gòu)和較高的公式推理和演算能力,但在遇到未知規(guī)律或新問題時,往往會受定勢思維影響,首先想到用系統(tǒng)的理論公式展開詳盡的定量計算,缺乏使用量綱分析法的意識。實際上,有些問題若通過量綱分析做定性研究便可解決。鑒于此,本文將量綱分析法用于物理建模與計算結(jié)果驗證中,以玩具飛機的空氣動力學(xué)模型為例，說明了量綱分析在物理建模中的應(yīng)用。

1 量綱分析的基本理論及應(yīng)用

物理量的量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱[4]。SI單位制下7個基本物理量包括力學(xué)范疇內(nèi)的“長度”、“質(zhì)量”和“時間”3個物理量;熱學(xué)部分的“熱力學(xué)溫度”和“物質(zhì)的量”;電磁學(xué)部分的“電流”;光學(xué)部分的“發(fā)光強度”, 這7個基本物理量的量綱構(gòu)成相互完全獨立的量綱稱之為基本量綱,分別為 L、M、T、Θ、N 、I和J。導(dǎo)出量綱是由7個基本量綱推導(dǎo)出來的量綱。對于任意物理量W的量綱可以表示成基本量綱的乘積的形式[W]=LaMbTcIdΘeJfNg, 冪次指數(shù)a、b、c、d、e、f、g為量綱指數(shù).表1列舉了SI單位制及電磁學(xué)(CGSE單位制)下常用物理量及其量綱。

表1 常用物理量及其量綱列舉Table 1 Common physical quantities and their dimension

1.1 利用量綱分析法進行物理建模

1.1.1理論模型的建立

需要強調(diào)的是,在選取相關(guān)物理量時盡可能減少選取相同量綱的物理量,以減少無關(guān)方程對物理量有效性的影響。在確定量綱方程組后,可以從方程組的解的情況來檢驗物理量的有效性:若方程組無解,表明所選取量之間的關(guān)系式不存在,或物理量中包含同量綱的物理量太多,應(yīng)重新選取;若方程組有唯一解或者說無窮解,表明選取量的關(guān)系可能存在;若方程組有不確定的解或者說無窮解,表明物理量可構(gòu)成若干無量綱量?？梢?利用量綱分析建模抓住了物理問題的關(guān)鍵因素,通過簡單的數(shù)學(xué)運算簡化物理過程,從而精準(zhǔn)、高效地確定物理模型。下面通過示例1對量綱分析在物理建模中的應(yīng)用加以闡述。

示例1 確定如圖2所示的玩具泡沫飛機飛行時的空氣動力學(xué)模型。

建模過程:泡沫飛機能夠飛起來的必要條件是空氣對飛機的升力大于飛機自身的重力。若飛機所受升力為F,猜想它可能與泡沫飛機的機翼面積S、飛行速度v以及飛行高度h有關(guān)。另外從泡沫飛機的飛行環(huán)境分析,升力可能與空氣的密度ρ0有關(guān),由此確定F=F(S，v,h,ρ0),涉及物理量的量綱分別為:[F]=LMT-2，[S]=L2，[v]=LT-1，[ρ0]=L-3M，[h]=L.

設(shè)F=ksaυbρchd(k為無量綱因子)，則可得量綱方程：

[LMT-2]=[L2]a[LT-1]b[L-3M]c[L]d

(1)

根據(jù)量綱齊次原理得指數(shù)方程組：

(2)

解得a=1,b=2,c=1,d=0

所以F=kSυ2ρ0

(3)

由(3)式可知,玩具泡沫飛機受到的升力與飛機的機翼面積S、飛行速度的平方υ2以及空氣密度ρ0成正比,而與飛行高度h無關(guān)。

飛機的重力G=mg,飛機能起飛條件為F>G,即

(4)

設(shè)飛機的幾何尺度為l,則其質(zhì)量m∝l3,面積S∝l2,于是泡沫飛機起飛的臨界速度：

為泡沫的密度)

(5)

從(5)式可知,在飛行環(huán)境相同(ρ0一定)時,當(dāng)飛機的材質(zhì)密度ρ1越小,自身線度越小,能飛起來所需的臨界速度就越小。所以在制作飛機時,商家選取了泡沫而不是其他密度較大的材質(zhì)。據(jù)此,可以解釋一些生活中常見的現(xiàn)象進行類比研究，如鴕鳥飛不起來的原因——其自身線度太大,因鴕鳥身體大約為燕子體積的36倍,設(shè)燕子的臨界起飛速度為25 km/h,則鴕鳥起飛的臨界速度必須達到燕子所需速度的6倍,即需要150 km/h,鴕鳥無法達到此速度,因此鴕鳥無法飛起來。

從以上示例可以看出,利用量綱分析法未經(jīng)過復(fù)雜計算就建立了泡沫飛機起飛的模型,理解了泡沫飛機的選材以及尺寸大小的設(shè)計原則。至于建模中涉及的無量綱量k可以通過設(shè)計相關(guān)實驗得到數(shù)據(jù),利用圖像擬合得到。

1.1.2利用實驗得出無量綱因子

物理學(xué)是一門以實驗為基礎(chǔ)的理論與實踐相結(jié)合的課程[6]。利用量綱分析理論建模后需對所建立的理論模型反復(fù)進行實驗論證,通過實驗數(shù)據(jù)與量綱齊次原理分析的結(jié)果比對,進一步檢驗實驗方案的設(shè)計是否合理。最后,利用實驗數(shù)據(jù)做出相關(guān)物理量的函數(shù)曲線,通過數(shù)據(jù)擬合來確定無量綱系數(shù)。

表2 模型飛機的臨界飛行速度與各量的實驗數(shù)據(jù)Table 2 Critical flight speed of model aircraft and experimental data

在研究前述泡沫飛機的動力學(xué)模型時,可借助實驗確定無量綱參數(shù)k的數(shù)值。這里選定實驗樣品模型飛機的初始質(zhì)量m=0.06 kg,后每次增加配重10 g。設(shè)當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭=10 m/s2,若機翼面積s=4×10-3m2,空氣密度為ρ0=1.2 kg/m3(常溫),通過測定模型飛機的臨界飛行速度與各量的關(guān)系如表2所示,并繪制圖3得出k的數(shù)值。

從圖3的實驗數(shù)據(jù)可以確定該實驗樣品飛機模型中的無量綱因子k的值約為1.8。至此,通過量綱分析得出了模型中相關(guān)物理量之間的關(guān)系,最終通過實驗方法確定出了無量綱系數(shù)的數(shù)值。將量綱分析法應(yīng)用到物理實驗建模中,可以提升學(xué)生的思維能力、解決問題能力及科學(xué)探究能力。

1.2 利用量綱分析對計算結(jié)果驗證

傳統(tǒng)的物理計算中,在驗證一個較復(fù)雜的計算結(jié)果時,一般通過公式進行嚴(yán)格推導(dǎo)來完成,這樣的驗證過程需要較強的推導(dǎo)計算能力。如果借助量綱分析法就可以簡化計算,從而起到事半功倍的效果。量綱分析必須遵從量綱法則的約束,圖4給出了量綱法則的具體闡述。下面通過示例2具體闡述如何利用量綱分析對計算結(jié)果的正確性加以驗證。

示例2圖5所示為一個半徑為R的理想的均勻帶電圓環(huán),其單位長度帶電量為η,取環(huán)面中心O為原點,以垂直于環(huán)面的軸線為y軸。在軸上任取一點M到O點的距離為y,以無窮遠處為零電勢點,M點電勢的大小為φ.下面給出φ的4個表達式，哪個是正確的(式中k為靜電力常量)？

圖5 均勻帶電圓環(huán)Fig.5 Charged ring

2 結(jié)論

綜上所述,將量綱分析應(yīng)用于物理建模,實質(zhì)是將半定性半定量的分析方法應(yīng)用于物理學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程。本文對量綱分析法在物理建模和計算結(jié)果驗證兩方面的應(yīng)用做了詳盡闡述,在建模前期首先給出一些假設(shè),建立相關(guān)物理量之間的關(guān)系,可以避開復(fù)雜的理論計算,對建模過程可以起到事半功倍的效果。同時,對于用理論推導(dǎo)方法得到的計算結(jié)果也可借助量綱分析經(jīng)簡單計算對其正確性進行驗證。由此可見,量綱分析方法在物理建模、計算結(jié)果驗證中是一種行之有效的方法,如何將其恰當(dāng)運用是值得每一位物理相關(guān)領(lǐng)域研究者在實踐中不斷探索和深思的問題。