舒孝珍

(成都師范學院數(shù)學學院,四川 成都 611130)

1 泰勒公式[1]

設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)的導數(shù),則當x∈(a,b)時,f(x)可以表示為(x-x0)的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和:

2 泰勒公式的應(yīng)用

2.1 利用泰勒公式計算有理函數(shù)的不定積分[2]

求有理函數(shù)的不定積分,常用的方法是將有理函數(shù)通過待定系數(shù)法或賦值法分解為最簡分式的和的形式求不定積分,這個分解的過程有時候比較麻煩。對于有些求不定積分的題型,若采取泰勒公式,將簡化解題過程。

解令f(x)=x3+2x-1,利用泰勒公式將f(x)在x=1處展開,

2.2 利用泰勒公式判斷反常積分的斂散性

在判斷反常積分的斂散性時,可以先利用泰勒公式對被積函數(shù)進行化簡后再判別其斂散性。

還可以利用泰勒公式討論某些正項級數(shù)的斂散性[4].

2.3 利用泰勒公式證明不等式

在證明不等式時,我們可以利用拉格朗日中值定理、函數(shù)的凹凸性、單調(diào)性等方法,同時,泰勒公式也是證明不等式的一種重要方法。

例3[5]設(shè)f(x)在[0,1]上具有二階導數(shù),且[0,1]上成立|f(x)|≤A,|f″(x)|≤B.

證明?c∈[0,1],f(x)在x=c處的帶拉格朗日余項的泰勒公式為:

其中ξ在c與x之間,因此ξ∈[0,1].特別地

其中ξ1,ξ2∈[0,1].將以上兩式相減得

由已知條件可得

2.4 利用泰勒公式確定某些函數(shù)的原函數(shù)

有些函數(shù)的原函數(shù)是非初等函數(shù),一般不容易找到,可以采用泰勒公式的冪級數(shù)展開式來找到它的原函數(shù)。

例4 求函數(shù)f(x)=arctanx,x∈(-1,1)的原函數(shù).

解當x∈(-1,1)時,由泰勒公式可得

由于f(x)在x∈(-1,1)內(nèi)一致收斂,所以?x∈(-1,1),f(x)的原函數(shù)

2.5 利用泰勒公式求極限

在求極限的問題中,對于用洛必達法則和等價無窮小替換失效的極限問題,一般可利用泰勒公式得到解決。

解將分子與分母中各項分別用帶有佩亞諾余項的三階麥克勞林公式表示,即

因此,

在求曲線的漸近線時,我們也可以利用泰勒公式。

漸近線定義:若曲線y=f(x)上的點(x,f(x))到直線y=ax+b的距離在x→+∞或x→-∞時趨于零,則稱直線y=ax+b是曲線的一條漸近線。

漸近線方程中,通過泰勒公式求函數(shù)極限得到常數(shù)b更加簡便。

2.6 利用泰勒公式求近似值

與精確值ln2=0.69314718…的誤差小于0.0001.

3 結(jié)語

文章從六個方面探究了泰勒公式在分析和研究數(shù)學問題等方面的應(yīng)用,深入探討泰勒公式的應(yīng)用,對于解決一些復(fù)雜的數(shù)學問題可以起到事半功倍的效果。在具體應(yīng)用泰勒公式時,要具體問題具體分析,靈活應(yīng)用泰勒公式。