唐桂林

(安徽郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 合肥 230031)

對(duì)偶泛函在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、圖形圖像處理中有著重要的作用,利用對(duì)偶泛函可以實(shí)現(xiàn)各種不同基函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換,一直以來對(duì)偶泛函及其升階算法的研究受到眾多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1-8]討論了不同基函數(shù)的對(duì)偶基及其應(yīng)用;文獻(xiàn)[9]討論了一般多項(xiàng)式基函數(shù)的對(duì)偶基問題;文獻(xiàn)[10]給出了泛函分析中對(duì)偶基的構(gòu)造方法;文獻(xiàn)[11]給出了J-NTP表達(dá)式。由于關(guān)于J-NTP基函數(shù)的對(duì)偶泛函及其升階算法的相關(guān)結(jié)果還沒有出現(xiàn)，這里首先根據(jù)對(duì)偶泛函的傳統(tǒng)算法,給出J-NTP基函數(shù)對(duì)偶泛函的升階算法,并以具體案列來驗(yàn)證所給算法的正確性。

1 J-NTP曲線

圖1 五次J-NTP曲線Fig.1 The five J-NTP curve

2 J-NTP基函數(shù)的對(duì)偶泛函

定理1 在區(qū)間[0,1]上n=2m次J-NTP基函數(shù)的對(duì)偶泛函可表示為:

(2)

3 J-NTP對(duì)偶泛函的升階算法

引理1j0,j1,…,jn是一組線性無關(guān)的基函數(shù),其生成空間為Jn=span {j0,j1,…,jn}則有

(3)

引理2 設(shè)p0,p1,…,pn是一組線性正交基函數(shù),其生成空間為Pn=span {p0,p1,…,pn},則有

即

(4)

(5)

下面介紹一種新的升階算法。該種算法相對(duì)于引理1和引理2來說,計(jì)算量要少很多。

定理2 設(shè)j0,j1,…,jm,m∈{0,1,2,…,n}是m維線性空間的基函數(shù),其生成空間為

i∈{0,1,…,m},j∈{0,1,…,m}

(6)

下面構(gòu)造n+1維歐式空間Dn+1,即有

i∈{0,1,…,n+1},j∈{0,1,…,n+1}

(7)

spanDn+1=spanJn+1=spanJn∪{jn+1}=spanDn∪{jn+1}=span {Dn,jn+1}

即有

(8)

根據(jù)對(duì)偶基的定義,則有

當(dāng)i∈{0,1,2,…,n}時(shí)

當(dāng)i=n+1時(shí)

即

其中

4 案例

下面我們以J-NTP基函數(shù)為例來驗(yàn)證上述算法。不妨設(shè):

J4={j0,j1,j2,j3,j4},

j0=(1-t)4,j1=t(1-t)3,j2=1-t3-(1-t)3,j3=t3(1-t),j4=t4

(9)

(10)

1)當(dāng)i=0時(shí)

根據(jù)泛函分析中的對(duì)偶泛函理論,對(duì)下標(biāo)j進(jìn)行分類討論,則有

即有

2)當(dāng)i=1時(shí),同理可有

3)當(dāng)i=2時(shí),同理可有

4)當(dāng)i=3時(shí),同理可有

5)當(dāng)i=4時(shí),同理可有

根據(jù)上述算法,我們現(xiàn)在利用4次J-NTP基函數(shù)的對(duì)偶基來構(gòu)造5次J-NTP基函數(shù)的對(duì)偶基函數(shù)

(11)

(12)

當(dāng)j=0時(shí),分別討論i=0,1,2,3,4,5時(shí)的情況:

1)當(dāng)i=0時(shí),即

2)當(dāng)i=1時(shí),即

3)當(dāng)i=2時(shí),即

4)當(dāng)i=3時(shí),即

5)當(dāng)i=4時(shí),即

6)當(dāng)i=5時(shí),即

即有

其中系數(shù)矩陣:

當(dāng)j=0時(shí),可以得到矩陣M如下:

5 小結(jié)

根據(jù)泛函分析中對(duì)偶理論,給出J-NTP 基函數(shù)對(duì)偶泛函的升階算法。文中以4次J-NTP 基函數(shù)對(duì)偶泛函為例，得到5次J-NTP 基函數(shù)對(duì)偶泛函，驗(yàn)證該算法的正確性。該方法需要解一個(gè)線性方程組才能得到對(duì)偶基，但與現(xiàn)有的方法相比其解方程組的計(jì)算量由O(N3)變?yōu)镺(N),這在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中有著潛在的應(yīng)用價(jià)值。