湯文兵 吳志玲

[摘 要]

在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，離不開實驗與操作，技能在此增長，概念萌發(fā)其中，真理在這里不斷驗證，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)蘊育和提升的絕佳時機。

[關(guān)鍵詞]

高中數(shù)學(xué)；實驗操作；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)起源于生活實踐，是因計數(shù)、測量等實際需要而產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)又抽象于實踐，這是人類認識自然、改造自然的必然進程。在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，離不開實驗與操作，技能在此增長，概念萌發(fā)其中，真理在這里不斷驗證，這是一個漫長而充滿痛苦與希冀的時光，失敗和成功不是等可能事件。這更是數(shù)學(xué)素養(yǎng)蘊育和提升的絕佳時機，因?qū)嶒炁c操作中實在有太多的不確定因素，直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等交織其中。這不正是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所追求的嗎？故在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適度進行實驗與操作，必為學(xué)生喜聞樂見，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

一、以實驗為載體，通過操作深化對概念的理解

既然數(shù)學(xué)是人們在征服自然的生活實踐中逐步積累發(fā)展起來的，那么很多數(shù)學(xué)概念在人們的生活環(huán)境中必有它們的現(xiàn)實原型。我們可在課堂上通過實驗再現(xiàn)生活場景，讓學(xué)生在操作和觀察中體會概念的內(nèi)涵，在思考和探究中理清問題的來龍去脈。這類問題俯拾皆是，只要有心，信手拈來。

案例1：“或”“且”“非”和“真值表”的引入。

“邏輯聯(lián)結(jié)詞”這一內(nèi)容的教學(xué)，可以引入物理中的串聯(lián)、并聯(lián)實驗電路來加深對“或”“且”“非”和“真值表”的理解。

圖1是兩個實驗裝置，分別為串聯(lián)電路和并聯(lián)電路。命題p表示燈L1亮；命題q表示燈L2亮。

則“p或q”就是表示燈L1亮或者燈L2亮或者燈L1和L2都亮。

讓學(xué)生用并聯(lián)電路實驗來解釋：p或q就是表示燈L1亮（開關(guān)K1合上）或者燈L2亮（開關(guān)K2合上）或者燈L1和L2都亮（開關(guān)K1、K2同時合上）。

“p且q”就是表示燈L1和L2都亮。

讓學(xué)生用串聯(lián)電路來解釋：p且q就是表示燈L1和L2都亮（開關(guān)K1、K2同時合上）。在這個過程中還很自然地得出了“真值表”。

說實話，“邏輯聯(lián)結(jié)詞”這一內(nèi)容的教學(xué)，不做實驗學(xué)生也能理解，相應(yīng)的習(xí)題也能較好地解決。但如此學(xué)生僅僅是“知其然”而已，隨著時光的流逝將會慢慢的遺忘這些知識。與之相反的是通過實驗得來的知識，學(xué)生不僅“知其然”，更知其“所以然”，以后一看到“或”“且”等字眼，馬上就會聯(lián)想到并聯(lián)、串聯(lián)實驗，相應(yīng)結(jié)論便一一喚醒。故通過操作得來的概念學(xué)生學(xué)得輕松并能深刻理解、牢固掌握，而且學(xué)習(xí)興趣濃探索精神強，這正是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要義所在。

二、以電腦為工具，通過動態(tài)演示化抽象為直觀

隨著社會的發(fā)展，多媒體已經(jīng)廣泛地用于教學(xué)領(lǐng)域，現(xiàn)代教育媒體改變了“一張嘴一支粉筆一塊黑板”的單調(diào)，能有效地縮短教學(xué)時間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，增大信息量，提高教學(xué)效率。教師可以通過多媒體非常形象直觀地講清過去很難描述的課程內(nèi)容，學(xué)生可以更形象地去理解和掌握相應(yīng)課本知識。

案例2：如圖2，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點P在棱CC′上，畫出直線A′P與平面ABCD的交點Q。

這種題目看起來很簡單，但對于很多立體幾何的初學(xué)者來說并不能馬上可以弄清圖中點、線、面的位置關(guān)系，很多老師對此都深有體會。部分學(xué)生初畫此圖時，由于缺乏在平面上表示立體圖形的感知與技巧，從平幾視角想當(dāng)然地認為直線 A′P與DC或BC的延長線的交點即為所求點Q，從而得到錯誤答案。有的老師一開始就拿出立幾模型演示，學(xué)生一看就知道該如何處理，答案來得太容易，沒有讓學(xué)生歷經(jīng)思維上的磨煉、操作上的曲折，以后遇到類似問題照錯不誤。

實際上，我們利用幾何畫板就很容易讓學(xué)生明白，其實這兩條直線根本就不相交。由于在幾何畫板上看到的立體圖形是體現(xiàn)在平面上，故演示中學(xué)生能不斷看到不同立體圖形的平面化，學(xué)生的讀圖能力得到了一次次的錘煉，識圖能力得到了一次次的強化，畫圖能力得到了一次次的提高。本題可作如下處理：

（1）先畫一個圓，以圓心為旋轉(zhuǎn)中心，在圓上取一點通過旋轉(zhuǎn)90°得另三點，使他們構(gòu)成一個正方形；

（2）利用作橢圓的方法，分別作出四個點的對應(yīng)點

（3）把連線得到的四邊形向豎直方向平移適當(dāng)?shù)木嚯x，就得到一個正方體。

（4）拖動帶有“轉(zhuǎn)動”字樣的點到適當(dāng)?shù)奈恢?，就可看出A′P與DC的關(guān)系。

事實上只要連接AC，并延長，它與A′P的延長線相交于一點。這一點就是直線A′P與平面ABCD的交點Q（如圖7），如果此時再輔以正方體模型直觀演示，效果更佳。

這里，我們借助幾何畫板能給學(xué)生提供一種更為簡潔、明了的方式，幫助學(xué)生建立空間概念，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。但特別要指出的是：多媒體演示只能作為教學(xué)的輔助工具，是某一個時段為突破學(xué)生的困境而為之，平時的板書和作圖還是一筆一畫板演給學(xué)生為好。這樣更易暴露問題過程，為學(xué)生理解。先進的教學(xué)設(shè)備固然好，但傳統(tǒng)的教學(xué)形式也不能丟，尤其對于理科教學(xué)，一筆一畫的推演，才能彰顯邏輯的縝密，方能提升理性的思維，更能滋潤素養(yǎng)的成長。

三、以學(xué)生為主體，在探索中獲真知

數(shù)學(xué)實驗要求學(xué)生在老師的指導(dǎo)下進行探索性、驗證性的操作，探索建立模型解決實際問題的方法，在失敗和成功中獲得真知。例如教科書上的定理、法則和公式是和學(xué)生天天見面的朋友，是數(shù)學(xué)家歷盡艱辛的成果體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教育家的精心編排下以“完美無缺”的邏輯體系展現(xiàn)在學(xué)生面前，但學(xué)生對它曲折復(fù)雜的發(fā)現(xiàn)過程卻一無所知。對此，教師可設(shè)置教學(xué)情境，讓學(xué)生運用實驗手段和方法，親歷定理的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生更深刻地理解定理的本質(zhì)含義，下面以“三垂線定理”（有的教材已將之淡化為例題）的實驗探索教學(xué)為例。

案例3：“三垂線定理”的教學(xué)。

（1）提問猜想

①由線面垂直定義我們知道，平面的垂線垂直于平面內(nèi)的任意條直線，那么平面的一條斜線是否也垂直于平面內(nèi)的任意一條直線呢？

教師用兩根鐵絲演示：一根放在桌面上，另一根與桌面相交且不斷改變位置，學(xué)生易知平面內(nèi)的任意一條直線，不一定和平面的一條斜線垂直。

②是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直呢？

教師繼續(xù)用兩根鐵絲演示：如圖8，鐵絲m和桌面α斜交，鐵絲n平面α內(nèi)，移動鐵絲n的位置，使鐵絲m、n相交，再轉(zhuǎn)動鐵絲n，并用三角板的直角去驗證（也可用量角器），此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)確有某個位置m⊥n，即平面α內(nèi)有直線與平面的斜線垂直。

③如果我們把鐵絲n在平面內(nèi)平行移動，使其到不同的位置，那么，這些直線與鐵絲m垂直嗎？

學(xué)生能根據(jù)“兩條異面直線所成的角”的原理判定這些直線與m垂直。

④那么平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直呢？即怎樣判定平面內(nèi)的直線與平面的一條斜線垂直呢？

（2）實驗發(fā)現(xiàn)

①老師讓學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上擺成如圖9狀態(tài)，并使三角板的一直角邊與桌面垂直。

問：鉛筆怎樣擺才能與三角板的斜邊垂直？

②經(jīng)過學(xué)生不斷擺弄，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面α內(nèi)的直角邊垂直時便與斜邊垂直。

③啟發(fā)學(xué)生將這個結(jié)果歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，并用簡練的文字語言表達。經(jīng)不斷點撥歸納，得到：平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直。

④引導(dǎo)學(xué)生對實驗得出的結(jié)果是進行證明。

上述實驗過程為學(xué)生順利建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)奠定了良好的直觀思維背景，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的實踐能力和合情推理能力。教師根據(jù)教與學(xué)的實際，提出問題，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、動手實驗，進而發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，再讓學(xué)生證明猜想結(jié)果，總結(jié)定理。這比直接給出定理記得牢，理解得深刻，用得活。這樣由具體到抽象地研究問題，從“實驗”到“猜想”是量的積累而覺醒，從“猜想”到“證明”是邏輯推理的深化，定理的靈活應(yīng)用則是質(zhì)的升華，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的重要素質(zhì)。

四、以問題為中介，在思維“操作”中讓知識與智慧同步

國家督學(xué)成尚榮教授指出：“課堂教學(xué)改革就是要超越知識教育，從知識走向智慧，從培養(yǎng)“知識人”轉(zhuǎn)為培養(yǎng)“智慧者”。數(shù)學(xué)實驗?zāi)芙o學(xué)生帶來全新的感受，濃厚的興趣，高漲的學(xué)習(xí)熱情，積極主動的態(tài)度。而且在實驗研究過程中，他們需靈活運用所學(xué)知識，及時調(diào)整研究方法，歸納、整理資料，從中學(xué)會了學(xué)習(xí)，學(xué)會了研究，增長了才干，獲得的是全面發(fā)展。他們在動手實踐、自主探索、合作交流中發(fā)揮了自己的主動性，在操作中感悟數(shù)學(xué)概念，運用數(shù)學(xué)知識；同伴之間開展合作、交流，知識與智慧同步生成，這正是新課程所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式。

案例4：《普通高中課程標準試驗教科書》（蘇教版必修二）上的一道操作題。

用硬紙剪一個三邊均不相等的銳角三角形AOB，然后以AB邊上的高OO′為折痕，折得兩個直角三角形，使之直立于桌面α上（如圖10），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影，轉(zhuǎn)動其中一個直角三角形，觀察∠AOB與∠AO′B的大小關(guān)系，是否存在某個位置，使得∠AOB=∠AO′B？

實驗要求學(xué)生分小組動手操作、研究、交流。

圖10 圖11

對此題有的老師視而不見，有的則一帶而過，甚至有的老師不作研究給出錯誤答案。如此處理既是對教材的不尊重，更是錯失一次開發(fā)、拓展學(xué)生思維的良機。我是讓學(xué)生作為課外作業(yè)完成，然后小組交流，得到了兩種不同結(jié)論：

（1）一部分同學(xué)認為“這個位置肯定不存在”。理由是：將∠AOB繞AB旋轉(zhuǎn)到桌面α上，如圖11，此時顯然有∠AO′B大于∠AOB。

（2）另一部分同學(xué)則認為存在這樣的位置，使得∠AOB=∠AO′B。并且這些同學(xué)進行了實驗演示（取其中一個），所做硬紙板銳角三角形AOB三邊長為AO=16.4cm，BO=17.7cm，AB=16.2cm。把兩個量角器靠在兩個角的邊上，在轉(zhuǎn)動Rt△OO′B的過程中出現(xiàn)∠AOB與∠AO′B相等（都等于9°）。

面對對立的結(jié)果，大家議論紛紛，有人認為兩組同學(xué)都是從具體的三角形入手，用特殊代替一般，結(jié)論缺少說服力。有學(xué)生提出需要用代數(shù)的方法來分析這個結(jié)論是否成立，并加以證明。教師綜合大家的意見，將這個問題轉(zhuǎn)化為判斷是否存在某個位置，使得這兩個角的余弦值相等。

為此，如圖10.設(shè)∠AO′B=α，∠AOB=β，O′A=a，O′B=b，且a≠b，OA=a1，OB=b1，AB=c。這樣cosα=[a2+b2-c22ab]，cosβ=[a12+b12-c22a1b1]，α、β∈（0，π），問題化歸為，是否存在c使得α=β，即：是否存在c使得[a2+b2-c22ab=a12+b12-c22a1b1]成立，就是關(guān)于c的方程[a2+b2-c22ab=a12+b12-c22a1b1]有解。

把上面的式子變形為[c2=a1b1（a2+b2）-ab（a12+b12）a1b1-ab]于是只要能證明等式右邊為正，即可證明這個方程一定有解。

由條件得a1>a，b1>b，分母a1b1-ab>0恒成立。

分子可分解為（aa1-bb1）（ab1-a1b）.

在圖10中，不妨設(shè)a>b，則有a1>b1，即得aa1-bb1>0.由于△AO′O與△BO′O都是直角三角形，顯然有∠O′AO、∠O′BO，從而cos∠O′AO>cos∠O′BO，即有[aa1>bb1]，故ab1-a1b>0.所以，c2>0成立.這就說明確實存在某個位置使得這兩個角相等。

熱烈的探討讓大家仍覺意猶未盡，不一會兒，又有學(xué)生從極端情形給了如下解釋：對任意的三邊均不相等的銳角三角形AOB，在轉(zhuǎn)動Rt△O′BO的過程中，觀察兩個極端位置，當(dāng)∠AO′B=180°時，∠AO′B>∠AOB；當(dāng)∠AO′B=0°時，∠AO′B<∠AOB。從轉(zhuǎn)動的連續(xù)性結(jié)合函數(shù)零點原理可知，必有∠AO′B=∠AOB出現(xiàn)的時刻。學(xué)生所說很有道理，他們的探索還在繼續(xù)。

本題取材于教材，抽象于生活，入口寬，上手易，結(jié)果很有迷惑性。同時這題又有相當(dāng)難度，大部分學(xué)生選（1），他們認為這是一個小題，直觀上覺得是顯然的。還有一些學(xué)生是猜測有可能相等（包括給出數(shù)據(jù)），能想用代數(shù)方法去處理的很少，而且極難成功。解本題不一定要動手操作，它是一道立幾題，也可看成是三角問題，處理中要用到一些線段或角的量，然后看可以有哪些數(shù)據(jù)，需要哪些數(shù)據(jù)，可以用什么定理求解等等。這其中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析都有相當(dāng)體現(xiàn)，確實是一道非常精彩的能滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的題目。而其中不同學(xué)生所用的不同數(shù)據(jù)，所得不同的表達方式及結(jié)果的對錯，反映了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的層次。顯而易見，在這樣的“數(shù)學(xué)實驗”中，教師、學(xué)生都懷有強烈的沖動，在積極的探索中高潮迭起，在理性的分析中收益良多，潛能在此激發(fā)，素養(yǎng)在此形成！

由上可知，數(shù)學(xué)教學(xué)中的實驗操作給課堂了一股久違的清風(fēng)：一是促進了學(xué)生“學(xué)”的方式的改變，在高中好多操作實踐問題其實更需的是一種心靈的“動作”、思維的“操作”。二是增加了教師“教”的模式，實驗操作讓學(xué)生親手做，親口說，主動思考，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、展示、評價，這樣才能把學(xué)生有創(chuàng)意的想法激發(fā)出來。同時我們深知，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，不是刻意的一日之功、一年之力，是一個潤物細無聲的長期過程，是在學(xué)習(xí)中通過感知、感受、體驗、思考而自然形成的。

[參 考 文 獻]

[1]劉晟，劉恩山.學(xué)習(xí)進階：關(guān)注學(xué)生認知發(fā)展和生活經(jīng)驗[J].教育學(xué)報，2012（2）.

[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美國學(xué)習(xí)進階的研究進展及啟示[J].外國中小學(xué)教育，2015（8）.

[3]湯文兵.“精心設(shè)計有效提問，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（2）.

（責(zé)任編輯：張華偉）