黃興梅

[摘 要]

以人教版、蘇教版、北師大版教材為例，從導入方式、公式推導、習題選編三個方面出發(fā)，對小學數(shù)學五年級上冊《平行四邊形的面積》一課的編排情況展開對比分析。同時，基于分析結果，建議一線教師在實際教學過程中，能充分利用錯誤資源、靈活滲透轉化思想、優(yōu)化使用教材習題。

[關鍵詞]

小學數(shù)學；平行四邊形的面積；教材比較

《平行四邊形的面積》是小學數(shù)學“圖形與幾何”領域中重要的內容范疇，為小學生后續(xù)學習三角形、梯形及組合圖形的面積奠定基礎，進一步而言，它也是滲透數(shù)學思想、發(fā)展學生空間觀念、推理能力的生長點。而教材作為學生進行數(shù)學學習活動的范本，是教師實施數(shù)學教學的參考指南。由此，本研究就我國現(xiàn)行小學數(shù)學教材中使用范圍最廣的人教版、蘇教版、北師大版為例，對《平行四邊形的面積》這一內容的教材編排情況進行對比，探尋其共性與差異，以期為一線教師深度解讀教材、開展教學活動提供參考。

一、不同版本教材內容編排的對比分析

關于平行四邊形的面積，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）在第二學段的課程內容中作出如下要求“探索、掌握平行四邊形的面積公式，并能解決簡單的實際問題”。依據(jù)此《標準》，人教版、蘇教版、北師大版都將《平行四邊形的面積》的學習安排在五年級上冊，大體設計流程都是按照“學習導入——公式推導——練習鞏固”環(huán)節(jié)展開，均強調數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，注重轉化思想的滲透，但在具體內容的編排上又不盡相同、各有千秋。

表1 三個版本教材《平行四邊形的面積》內容編排比較

[版本 內容編排 人教版 （1）創(chuàng)設“比較長方形花壇與平行四邊形花壇大小”的情境

（2）利用數(shù)方格的方法求面積

（3）動手剪拼，將平行四邊形轉化成長方形，再求其面積

（4）觀察比較平行四邊形與轉化后的長方形，發(fā)現(xiàn)等量關系，概括面積公式

（5）綜合運用平行四邊形的面積公式解決問題 蘇教版 （1）運用分割、平移的方法，比較方格紙上的兩個圖形面積是否相等

（2）將方格紙上的平行四邊形轉化成長方形

（3）利用教材附頁所提供的平行四邊形學具，再次將平行四邊形轉化成長方形，并填寫“轉化成的長方形的長、寬、面積”及“平行四邊形的底、高、面積”信息

（4）討論平行四邊形與轉化后的長方形之間的內在聯(lián)系，概括出面積公式

（5）綜合運用平行四邊形的面積公式解決問題 北師大版 （1）創(chuàng)設“給公園的平行四邊形空地鋪草坪”的情境

（2）對平行四邊形的面積求法作出猜想：兩個鄰邊長度的乘積

（3）利用數(shù)方格紙的方式驗證猜想

（4）運用割補法將平行四邊形轉化成長方形

（5）探究平行四邊形與轉化后的長方形的等量關系，推導出面積公式

（6）綜合運用平行四邊形的面積公式解決問題 ]

（一）導入方式的比較

對于《平行四邊形的面積》引入部分，三個版本的教材主要采用了兩種不同的導入方式：一種是“情境導入”，即從學生的現(xiàn)實生活出發(fā)創(chuàng)設相應情境，引出平行四邊形面積的探索活動；另一種是“轉化導入”，即讓學生初步體驗“割補轉化”在圖形面積探究活動中的應用，從而將研究對象鎖定于平行四邊形。

表2 三個版本教材《平行四邊形的面積》導入方式比較

[版本 情境導入 轉化導入 人教版 √ 蘇教版 √ 北師大版 √ √ ]

其中人教版教材創(chuàng)設了一個比較“長方形花壇”與“平行四邊形花壇”大小的情境。學生在解決問題的過程中，能夠利用之前掌握的長方形面積公式求其面積，但對于平行四邊形花壇，學生遇到了障礙，由此引發(fā)關于平行四邊形面積學習的必要性。

蘇教版教材設計了一個讓學生比較方格紙上的兩個圖形面積是否相等的活動，旨在引導學生體會：復雜圖形可以通過分割、平移后轉化成簡單圖形，轉化前后圖形的形狀雖然發(fā)生改變，但面積大小不變。在學生積累了一定的轉化經驗的基礎上，要求學生將畫在方格紙上的平行四邊形轉化成長方形。

北師大版教材同時采用了轉化導入與情境導入兩種方式，一方面，不同于蘇教版，北師大版針對“割補轉化”這一前導知識，專門將其編排成獨立的一課——《比較圖形的面積》；另一方面，與人教版的“比較情境”不同，為了引出平行四邊形面積的探索活動，北師大版教材創(chuàng)設的是“給公園的平行四邊形空地鋪草坪”的情境。

關于情境創(chuàng)設，筆者認為，人教版的“比較情境”非常值得提倡，學生在解決實際問題的過程中，發(fā)現(xiàn)已有的知識基礎無法解決當前問題，能充分激發(fā)學生的學習動機；更值得一提的是，這節(jié)課的學習最為關鍵的是將平行四邊形轉化為已經學過的長方形，從而使問題迎刃而解，顯然人教版的導入在引入新課的同時，又復習了長方形的面積公式，無形當中給學生一個隱性的啟發(fā)提示，降低學習的困難。此外，《平行四邊形的面積》一課重點強調轉化策略的應用，蘇教版和北師大版的轉化導入，非常符合《標準》所倡導的理念“關注數(shù)學活動經驗，感悟數(shù)學思想”。學生在不斷經歷、體驗轉化活動的過程中，積累數(shù)學活動經驗，進而逐步感悟轉化思想的必要性與重要性。

（二）公式推導的比較

1.相同點

三個版本的教材都非常重視平行四邊形面積公式的推導過程。在探究程序上，都讓學生經歷了“作出猜想——驗證結論”的學習過程，充分感受數(shù)學的嚴謹性；在探究方法上，都讓學生體驗方格紙與割補法在面積探索活動中的應用，注重學習方法的多元化。

2.不同點

（1）提出的猜想不同

三個版本教材對如何計算平行四邊形的面積作出了兩種不同的猜想：一種是正確的猜想，即“平行四邊形的面積等于底乘高”；另一種是錯誤的猜想，即“平行四邊形的面積等于鄰邊長度的乘積”。

人教版與蘇教版教材都力圖引導學生提出正確的猜想，讓學生通過表格的形式記錄下平行四邊形的底、高、面積及長方形的長、寬、面積，再通過觀察表格中的等量關系，提出正確的猜想。不過二者在特殊長方形素材的提供方式上有所不同，人教版是編寫人員事先將這個“轉化后的長方形”當作“要比較大小的另一個長方形花壇”的形式直接提供給學生；蘇教版的長方形是學生根據(jù)自己的轉化經驗通過分割、移補得來的。

北師大版教材則充分考慮學生的認知基礎，認為學生可能會因為長方形面積公式的負遷移，而提出錯誤的猜想。也就是學生可能會因為長方形與平行四邊形同屬于四邊形，導致自然地聯(lián)想平行四邊形的面積也相類似，可以用鄰邊長度的乘積來計算。

筆者認為北師大版教材對于猜想的處理方式是非常值得關注的，一方面，這種錯誤猜想貼合學生的認知起點，體現(xiàn)學生思維的合理性；另一方面，通過錯誤猜想的推翻，學生能夠懂得合情推理所得結論的不確定性，從而更加明確檢驗的必要性。

（2）方格紙的使用不同

三個版本的教材在不同程度上都使用了方格紙，但在具體細節(jié)上略有差別：北師大版與人教版教材都設計了借助方格紙來數(shù)平行四邊形面積的環(huán)節(jié)，不過人教版在指導學生數(shù)方格的時候，用了一句提示語“一個方格代表1㎡，不滿一格的都按半格計算”。不同與前二者，蘇教版僅在轉化導入環(huán)節(jié)，用數(shù)方格的方法比較兩個多邊形圖形的面積大小，而對于平行四邊形的面積，雖然教材有將其置于方格紙的背景下，但提示語內容“你能把右邊的平行四邊形轉化成長方形嗎”，卻旨在引導學生應用割補轉化的經驗，沒有提示要利用方格紙數(shù)出平行四邊形的面積。

筆者認為，單位面積度量法是計算面積最基本的方法，而數(shù)方格的實質正是數(shù)單位面積，因此，借助方格紙數(shù)平行四邊形的面積是必要的。但由于平行四邊形的特殊性，導致在數(shù)方格的時候，出現(xiàn)了不滿一格的情況。人教版“不滿一格按半格計算”的處理想必也是精心設計的，因為學生按照這樣的估算前提，正好能得到平行四邊形的面積與長方形的面積相等的結論，這無疑為學生接下來的正確猜想搭建了理想的平臺。但這樣的處理方式是有待商榷的，因為學生轉化意識的萌生其實正是源于直觀的數(shù)方格，學生在數(shù)方格的過程中，發(fā)現(xiàn)不滿一格，于是便產生割補湊整的想法，而“不滿一格按半格計算”的提示無形中扼殺了學生轉化思想萌發(fā)的源頭。

（3）割補方案的呈現(xiàn)不同

將平行四邊形轉化成長方形的割補方案有很多，三個版本教材對割補情況的呈現(xiàn)有所不同。

表3 三個版本教材《平行四邊形的面積》所呈現(xiàn)的割補方案的比較

[版本 呈現(xiàn)的割補方案 人教版 蘇教版 北師大版 ]

總的來說，人教版和蘇教版呈現(xiàn)了兩種不同的割補方案：一種是將平行四邊形分割成一個三角形和一個直角梯形；另一種是將平行四邊形分割成兩個直角梯形。不過通過表3我們可以發(fā)現(xiàn)，人教版?zhèn)戎刈寣W生關注第一種方案，而對于第二種方案，只借助學生動手剪拼的主題圖有所呈現(xiàn)，不是很顯眼。更值得一提的是，蘇教版教材還引導學生進一步思考：以上兩種轉化方法有什么相同的地方？從而理解沿著高進行分割，是實現(xiàn)轉化的關鍵條件，因為只有沿著平行四邊形的高分割圖形，才能使得轉化后的圖形有四個直角，符合長方形的特征。相比之下，北師大版教材對割補方案的呈現(xiàn)就略顯單一，對學生割補情況的預設不夠全面。

（4）等量關系的分析角度不同

對于平行四邊形與長方形的等量關系分析方面，人教版與北師大版教材側重發(fā)展學生的空間觀念，所以以上兩個版本教材主要借助幾何直觀，引導學生從圖形的角度，來探究轉化前后兩個圖形間的等量關系。而蘇教版教材是通過表格的形式，指導學生在經歷動手操作后，記錄下轉化后長方形的長、寬、面積以及平行四邊形的底、高、面積，使得學生便于從數(shù)量的角度，體會圖形轉化前后在長度與面積上的對應聯(lián)系。

前者是借助幾何直觀的形式，旨在讓學生從圖形表征的層面，探尋復雜的等量關系，后者是對數(shù)據(jù)展開分析比較，利用代數(shù)的算法優(yōu)勢，將幾何問題代數(shù)化。兩種方式側重不同，而倘若能夠將兩種分析方式相結合，想必更有利于促進學生理解轉化前后圖形間的等量關系。

（三）習題選編的比較

本文研究的習題包括新課中的例題及與“平行四邊形的面積”相關的課后練習。根據(jù)習題的功能，筆者將其大致分為三類：第一，基礎性習題。難度較低，旨在鞏固單個新知識點，一步運算即可完成；第二，綜合性習題。有一定的靈活性，強調綜合運用新舊知識，需要進行兩步及以上的運算；第三，探究性習題。思考性較強，目的在于探究并發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學規(guī)律。

1.習題數(shù)量上的比較

根據(jù)上述分類，筆者對三個版本教材的習題進行整理歸納，需要提前說明的是，為了便于統(tǒng)計，如若是一題多問算作一題，如若是一題中含有多個小題，則題量按照小題的題數(shù)予以記錄。

表4 三個版本教材《平行四邊形的面積》習題數(shù)量比較

[版本 基礎性習題數(shù)量 綜合性習題數(shù)量 探究性習題數(shù)量 總計 人教版 6 4 2 12 蘇教版 3 3 2 8 北師大版 7 3 3 13 ]

通過表格數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)，在習題總量上，人教版與北師大版數(shù)量相當，而蘇教版相對較少，原因可能在于蘇教版將平行四邊形面積與三角形面積的課后習題整合起來編排，導致與另外兩個版本教材的習題數(shù)量上存在一定差距。就具體各個類型習題的數(shù)量分布而言，三個版本教材都較為注重習題設計的層次性，對于三種不同類型的習題皆有涉及；不過人教版與北師大版都比較重視對基礎性習題的編排，而蘇教版教材在三種不同類型習題的題量安排上相對均衡。

2.習題內容上的比較

（1）基礎性習題

三個版本教材都設計了直接利用平行四邊形的面積公式進行計算的題目。有的是結合生活情境，已知平行四邊形物體的底和高，求面積；有的是呈現(xiàn)平行四邊形的直觀圖形，標出底和高的數(shù)據(jù)，求面積；還有的是僅出示平行四邊形的直觀圖形，沒有畫出高，也沒有提供任何數(shù)據(jù)，旨在讓學生自己動手量出求面積所需要的數(shù)據(jù)。

其中，還應特別指出的是，人教版與北師大版的基礎性習題除了上述三種形式以外，還做了一些變形，例如：已知平行四邊形的面積與底，求高；在平行四邊形的直觀圖形上，同時標出兩組底和高的數(shù)值。前者考查公式的逆運算，學生可以依據(jù)乘除法的互逆關系靈活運用公式，也可以采取列方程來求解；后者考查學生對底和高對應關系的認識。筆者認為這樣的處理是值得提倡的，既關注到學生學習可能存在的盲區(qū)、易錯點，又能避免過分單一的題量訓練，顯示出一定的層次性。

（2）綜合性習題

三個版本教材的綜合性習題主要考查學生：①在利用平行四邊形面積公式基礎上，結合“單位量×數(shù)量=總量”關系式解決問題；②將平行四邊形的面積與長方形、正方形等幾何圖形的有關知識相聯(lián)系。此外，人教版教材還特別編排了一道求方格紙中的平行四邊形面積與三角形面積的習題，讓學生在數(shù)三角形面積的同時，初步感知二者的聯(lián)系，為三角形面積公式的推導埋下伏筆。

（3）探究性習題

三個版本教材的探究性習題都涉及到探索平行四邊形面積的性質，無論是計算、分析幾個同底等高的平行四邊形的面積，還是在方格紙上畫幾個等底等高的平行四邊形，都旨在滲透平行四邊形等積變形的規(guī)律。另外，人教版與蘇教版教材還希望學生通過探索，理解“將長方形框架拉成平行四邊形后，周長不變，面積變小”?？傊?，教材在設計這類習題時，都極其重視發(fā)展學生的歸納能力、推理能力，讓學生充分體會數(shù)學的思維方式。

二、教學啟示

通過教材的橫向比較，可以發(fā)現(xiàn)不同版本教材的設計思路大體相似，但在具體導入方式、作出的猜想、方格紙的使用、割補方案的呈現(xiàn)、等量關系的分析、習題的編排上，又存在細微的差異。由此，筆者立足于上述教材比較的發(fā)現(xiàn)，對《平行四邊形的面積》一課的教學提出三點建議。

（一）充分利用錯誤資源

學生在學習《平行四邊形的面積》一課時，并不是“空著腦袋進教室的”，還攜帶著已有的知識基礎。然而教師基于自身的視角，往往很容易忽視學生由于已有知識經驗的負遷移所帶來的認知錯誤。除了北師大版教材所呈現(xiàn)的，學生基于長方形的面積公式，作出“平行四邊形的面積等于鄰邊長度的乘積”錯誤猜想以外；在提示語“能不能將平行四邊形轉化成長方形”的引導下，也存在部分學生依據(jù)平行四邊形不穩(wěn)定、易變形的性質，將平行四邊形通過“拉一拉”的方式，轉化為長方形。這些錯誤是合理的、有價值的，教師應當充分利用錯誤資源，引導學生在辨析、交流中，逐步化解認知沖突，從而不斷培養(yǎng)學生的推理能力以及重復驗證的科學態(tài)度。

（二）靈活滲透轉化思想

教師在教學過程中要讓學生充分體會轉化思想的精髓，包括轉化思想的萌生、轉化的目的以及轉化的本質。首先，轉化思想正是源于數(shù)平行四邊形面積時，出現(xiàn)了“不滿一格”的情況，于是學生將四個不完整的三角形拼成完整的方格，將“不可數(shù)”轉化為“可數(shù)”，這是初始形態(tài)的轉化；其次，轉化的目的在于將“平行四邊形的面積”這一新知識，轉化為已經學過的長方形的面積，將“陌生”轉化為“熟悉”，“未知”轉化為“已知”，從而解決問題；最后，還應特別指出的是，將平行四邊形轉化為長方形的方法有很多，可以是分割成兩個直角梯形再移補，或是分割成一個直角梯形和一個三角形再移補，還可以是將平行四邊形“拉”成長方形、“切掉”多余的部分變成長方形，而后面兩種方法之所以不成立，其本質就在于轉化前后圖形的面積發(fā)生了改變。

（三）優(yōu)化使用教材習題

數(shù)學習題是教材的重要組成部分，更是促進學生有效學習不可或缺的載體之一。雖然小學階段的以鞏固基礎知識為主，但過度呆板、機械的重復訓練，不僅會增加學生的學習負擔，還可能引起學生的消極對待，甚至失去數(shù)學學習的興趣。因此，在教學《平行四邊形的面積》一課時，教師要根據(jù)習題類型，合理精選、適當改編，以少勝多，突出層次，讓不同層面的學生在不同程度的習題中獲得不同的發(fā)展，感受數(shù)學學習的樂趣。

[參 考 文 獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]盧江，楊剛主編.義務教育教科書·數(shù)學（五年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]孫麗谷，王林主編.義務教育教科書·數(shù)學（五年級上冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

[4]胡宇，胡海琴主編.義務教育教科書·數(shù)學（五年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[5]吳正憲，鐘建林.小學數(shù)學名師名課經典篇[M].北京：教育科學出版社，2011.

[6]王舒瑤.數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教學中的應用研究[D].西南大學，2015.

[7]黃金榮.小學數(shù)學“平行四邊形面積”教材教法研究[D].杭州師范大學，2012.

（責任編輯：李雪虹）