方 淼，謝苗苗，方 鳴

（安徽大學(xué)江淮學(xué)院理工部，安徽合肥230039）

憶阻器是蔡少棠在1971年提出的具有記憶特性的非線性電阻器[1]，由Strukov等在物理上成功實(shí)現(xiàn)的第4種基本無源二端口元件[2]，在混沌保密通信、混沌系統(tǒng)控制和圖像加密中具有重要的應(yīng)用價(jià)值[3-4]。憶阻器具有非線性特性，基于憶阻器構(gòu)成的憶阻電路容易產(chǎn)生非線性混沌振蕩，因此基于憶阻器的連續(xù)混沌電路模型的設(shè)計(jì)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，各種混沌電路被相繼提出，為混沌理論的實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。Itoh等采用分段線性憶阻器代替Chua混沌電路中的蔡氏二極管建立了振蕩電路[5]；Buscarino等基于惠普憶阻器的實(shí)物模型設(shè)計(jì)了一種新型憶阻混沌電路[4]；Bao等提出光滑連續(xù)的三次單調(diào)上升的非線性歸一化磁控憶阻器，并基于該模型設(shè)計(jì)出憶阻混沌電路[6]。以上憶阻混沌電路均是基于蔡氏電路設(shè)計(jì)的，電路結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，且產(chǎn)生的混沌吸引子和Chua混沌吸引子相似。Muthuswamy等設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了僅由電感、電容和憶阻器串聯(lián)構(gòu)成的最簡(jiǎn)串聯(lián)憶阻混沌電路[8]；許碧榮隨后采用三種元件并聯(lián)設(shè)計(jì)構(gòu)建了最簡(jiǎn)并聯(lián)憶阻混沌電路，并進(jìn)行了電路實(shí)現(xiàn)[9]。但這些電路只能產(chǎn)生簡(jiǎn)單的單渦卷混沌吸引子，且其中的動(dòng)力學(xué)特性未得到詳細(xì)的分析和研究。

因此如何利用憶阻器構(gòu)建電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、具有豐富動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的非線性動(dòng)力系統(tǒng)成為研究熱點(diǎn)?；诖耍疚奶岢鲆环N有源壓控憶阻器的數(shù)學(xué)模型，利用該憶阻器和電容、電感并聯(lián)構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單并聯(lián)混沌電路系統(tǒng)，建立該系統(tǒng)的無量綱數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)值仿真研究該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

1 并聯(lián)混沌電路系統(tǒng)模型

1.1 憶阻器

蔡少棠于1971年根據(jù)電路的完備性提出憶阻器[1]，在2008年HP實(shí)驗(yàn)室成功實(shí)現(xiàn)HP TiO2憶阻器，之后蔡少棠等又對(duì)憶阻器[10]的概念進(jìn)行了拓展，定義為

式中，y(t)和u(t)分別表示任意兩個(gè)互補(bǔ)的基本變量（即電壓、電流、磁通和電荷），分別作為憶阻器的輸出和輸入信號(hào)，z表示憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量，f是一個(gè)連續(xù)的n維向量函數(shù)，g表示n維的響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)該定義，若輸入信號(hào)u(t)為電流，則稱為流控型憶阻器；若輸入信號(hào)u(t)為電壓，則稱為壓控型憶阻器。本電路中采用了壓控型憶阻器，并根據(jù)憶阻器概念假設(shè)該憶阻器的關(guān)系式為

其中，W(z)=c(z2-2z-1)，c，d均為常數(shù)。當(dāng)取c=0.3、d=0.5時(shí)，壓控憶阻器的憶導(dǎo)W(z)-z的關(guān)系如圖1(a)所示。從圖1(a)可見，該壓控憶阻器的憶導(dǎo)W(z)隨狀態(tài)變量z的變化存在負(fù)值，因此其瞬態(tài)功率p(t)=w(?)u(t)2和瞬時(shí)能量隨著時(shí)間的變化也存在負(fù)值，根據(jù)蔡少棠提出的憶阻器無源定理，可判斷(2)式定義的壓控憶阻器為有源憶阻器。當(dāng)給該壓控憶阻器的兩端施加一個(gè)正弦激勵(lì)電壓v=2sin(2πft)，可以得到憶阻器在v-i平面上的伏安關(guān)系曲線如圖1(b)所示，其伏安特性曲線具有一個(gè)斜“8”字形的類緊磁滯回線的形狀，該特性和蔡氏憶阻器所描述的特性一致，具有非線性動(dòng)力學(xué)特性。

1.2 電路模型的建立

將該壓控型憶阻器和電感、電容并聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)并聯(lián)型憶阻混沌電路，如圖2所示。該電路僅由3個(gè)動(dòng)態(tài)元件組成，他們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量分別為vC、iL和z，其中z是壓控憶阻器內(nèi)部的狀態(tài)變量。

圖1 憶阻器的特性曲線。(a)憶導(dǎo)曲線；(b)伏安特性曲線

圖2 基于憶阻器的并聯(lián)混沌電路

運(yùn)用基爾霍夫電壓和電流定律以及元件的伏安關(guān)系分析圖2的電路，可得電路的狀態(tài)方程為

設(shè)x=vC，y=iL，α =-，γ=d，則(3)式的狀態(tài)方程可以寫為

因此，圖2所示的并聯(lián)混沌電路是一個(gè)三維系統(tǒng)，它的動(dòng)力學(xué)特性可由(3)式描述。

選擇電路參數(shù)使得α=-2，β =4.1，γ=0.5，c=0.3，在初始條件( )0,10-2,0 下，可見系統(tǒng)（3）生成一類新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)較復(fù)雜的超混沌吸引子，它在相平面上的投影如圖3(a)和3(b)所示。圖3(a)是混沌吸引子在x-y平面上的投影，是一個(gè)單渦卷混沌吸引子；而圖3(b)是混沌吸引子在x-z平面一個(gè)折疊的雙渦卷的混沌吸引子。通過尋找合適的Poincaré截面，能將系統(tǒng)隨時(shí)間連續(xù)變化運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為Poincaré截面上的一個(gè)離散映射，該映射降低了系統(tǒng)的維數(shù)，但仍能保持原有動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，因此能更好地刻畫出該憶阻電路的混沌特性。圖4(a)和4(b)分別給出了x=0和z=0截面上的Poincaré映射。顯然基于憶阻器的并聯(lián)混沌電路的Poincaré映射上存在無窮多個(gè)密集點(diǎn)，吸引子的輪廓清晰可見，表現(xiàn)出分形的幾何特征，進(jìn)一步說明該系統(tǒng)的混沌特性。利用Jacobi方法計(jì)算Lyapunov指數(shù)得LE1=0.24，LE2=0.01，LE3=-0.42，由此可計(jì)算出相應(yīng)的Lyapunov維數(shù)為dL=2.57，即該系統(tǒng)存在兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，一個(gè)負(fù)的Lyapunov指數(shù)，同時(shí)其Lyapunov指數(shù)譜之和為負(fù)，可知該電路系統(tǒng)是超混沌振蕩的。

圖3 混沌吸引子的投影。(a)x-y平面相軌；(b)x-z平面相軌

圖4 并聯(lián)混沌電路的Poincaré映射。(a)x=0截面；(b)z=0截面

2 基本動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

令x?=y?=z?=0，可求得系統(tǒng)(4)的唯一平衡點(diǎn)E0( )0,0,0，在平衡點(diǎn)處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，可得（4）式的Jacobi矩陣：

平衡點(diǎn)E0(0,0,0)對(duì)應(yīng)的特征根方程為

解得其特征根為λ1=-3γ,λ2=

很顯然，當(dāng)α＜0且c＞0時(shí)，系統(tǒng)的特征根λ2、λ3實(shí)部始終大于零，此時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E0( )0,0,0是不平衡的，否則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，無法產(chǎn)生混沌。當(dāng)選擇電路參數(shù)使得α=-2，β=4.1，γ=0.5，c=0.3，可求得相應(yīng)的特征根λ1=-1.5，λ2、3=0.3± 2.85j，λ1為負(fù)實(shí)根，λ2、λ3是一對(duì)實(shí)部大于零的共軛復(fù)根，此時(shí)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)，符合混沌產(chǎn)生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性條件。

2.2 電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響

通過上面的分析可知，隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性也將隨之發(fā)生改變，該系統(tǒng)將具有不同的動(dòng)力學(xué)特性。因此下文將對(duì)于確定的電路參數(shù)γ=0.5、c=0.3和初始條件( )0,10-2,0，選擇β和α為可變參量，即電感和電容的參數(shù)可調(diào)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

固定β=4.1，當(dāng)參數(shù)α在[-12,-0.1]內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和狀態(tài)變量z的分岔圖如圖5所示。畫狀態(tài)變量z的分岔圖選取的Poincaré截面為x=-1，即系統(tǒng)的三維相空間中垂直于x軸的過（-1,0,0）點(diǎn)的平面。由圖可見系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和Poincaré截面所反映的動(dòng)力學(xué)行為是一致的。

圖5 電路參數(shù)α變化時(shí)Lyapunov指數(shù)和分叉圖。(a)Lyapunov指數(shù)譜；(b)分岔圖

當(dāng)參數(shù)α在[-12,-3.22]內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)形式為（0，-，-），表明系統(tǒng)處于周期態(tài)。當(dāng)α=-6.358時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)由負(fù)值接近于零，再變?yōu)樨?fù)值，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了一次倍周期分岔，從周期1變?yōu)橹芷?。當(dāng)參數(shù)α=-3.22時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)形式變?yōu)椋?，+，-），出現(xiàn)了2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)出現(xiàn)了超混沌狀態(tài)。隨后當(dāng)α=-1.5時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)形式再次變?yōu)椋?，-，-），系統(tǒng)由超混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)換為周期態(tài)。從圖5(b)可見，隨著參數(shù)α在[-12,-0.1]內(nèi)逐漸遞增，系統(tǒng)(4)從穩(wěn)定的周期1軌道經(jīng)倍周期分岔變?yōu)橹芷?軌道，當(dāng)α=-3.22時(shí)系統(tǒng)發(fā)生瞬態(tài)超混沌進(jìn)入超混沌軌道，最后由于混沌危機(jī)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生突變，變成周期1軌道。由于憶阻混沌電路的動(dòng)力學(xué)行為極端依賴于憶阻器的狀態(tài)變量，導(dǎo)致了憶阻混沌電路出現(xiàn)了不同于一般混沌電路的特殊動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)α∈(-3.22,-1.56)時(shí)系統(tǒng)不全處于混沌態(tài)，在[-5.95,-5.8]，[-5.73,-5.57]，[-4.26,-4.18]3個(gè)區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道進(jìn)入周期窗口，從周期2極限環(huán)突變?yōu)榉€(wěn)定的周期1軌道，系統(tǒng)經(jīng)過了多次混沌軌道與周期窗口的切換。隨著參數(shù)α的變化，系統(tǒng)詳細(xì)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域如表1所示。

表1 隨著參數(shù)α變化的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為

選取不同的參數(shù)α，狀態(tài)變量y，z隨α變化的幾種典型的相圖如圖6所示。圖6中的(a)和(b)分別為系統(tǒng)的周期1極限環(huán)和發(fā)生倍周期分岔后的周期2極限環(huán)，此相軌圖再次證明了該有源壓控憶阻器在正弦激勵(lì)下的滯回特性。圖6（c）為系統(tǒng)的另一種周期2極限環(huán)，當(dāng)α的值進(jìn)一步增大，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。混沌吸引子的相軌圖如圖6(d)所示。

圖6 電路在不同參數(shù)β時(shí)的相軌圖。(a)α=-7；(b)α=-6.3；(c)α=-4.17；(d)α=-3.4

固定α=-2，使得參數(shù)β在[0.1,17]內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和狀態(tài)變量x的分岔圖分別如圖7(a)和(b)所示。畫狀態(tài)變量x的分岔圖選取的Poincaré截面為x=0，即系統(tǒng)的三維相空間中垂直于x軸的過原點(diǎn)的平面。此時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和Poincaré截面表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)間是一致的。從圖7(a)可以看出，當(dāng)參數(shù)β∈[0,3]時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)形式為（0，-，-），表明系統(tǒng)處于周期態(tài)，此時(shí)圖7(b)的分岔圖具有相同動(dòng)力學(xué)特性，在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)經(jīng)一次短暫倍周期分岔從周期1轉(zhuǎn)換為周期2，又通過反倍周期分岔進(jìn)入周期1。當(dāng)參數(shù)β＞3時(shí)，出現(xiàn)了兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)進(jìn)入超混沌狀態(tài)?？梢钥闯?，該并聯(lián)憶阻混沌系統(tǒng)在很寬的參數(shù)范圍內(nèi)都處于混沌狀態(tài)。

圖7 電路參數(shù)β變化時(shí)Lyapunov指數(shù)和分叉圖。(a)Lyapunov指數(shù)譜；(b)分岔圖

3 結(jié)論

近年來研究的憶阻混沌電路基本上是用憶阻器代替蔡氏電路中的蔡氏二極管來實(shí)現(xiàn)的，產(chǎn)生的混沌吸引子與蔡氏混沌吸引子具有一定的相似性。本文采用有源壓控憶阻和電容、電感并聯(lián)構(gòu)成了一個(gè)簡(jiǎn)單的并聯(lián)憶阻混沌電路系統(tǒng)，建立了系統(tǒng)的無量綱數(shù)學(xué)模型，并采用數(shù)值仿真的方法研究了不同電路參數(shù)下該并聯(lián)憶阻混沌電路的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)能產(chǎn)生一類新的折疊的超混沌吸引子，隨著參數(shù)β的變化，系統(tǒng)具有很寬的混沌狀態(tài)區(qū)域，隨著參數(shù)α的變化，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生瞬態(tài)混沌、混沌狀態(tài)突變?yōu)橹芷趹B(tài)等豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。該混沌系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)存在復(fù)雜的超混沌吸引子，在混沌保密通信中具有一定的潛在應(yīng)用價(jià)值。