李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

近年，高考對(duì)“過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且互相垂直的兩條弦”的性質(zhì)進(jìn)行了考察(2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(乙)卷第20題).事實(shí)上，中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且互相垂直的兩條弦的性質(zhì)早就給予了充分關(guān)注.林新建老師在文[1]指出以過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且互相垂直的兩條弦為直徑的圓的公共弦的中點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓.葉良志、盧瓊兩位老師在文[2]進(jìn)一步探索，得出如下命題：

命題1以過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且互相垂直的兩條弦為直徑的圓，公共弦所在直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

尹惠民老師在文[3]中繼續(xù)對(duì)這一結(jié)論進(jìn)行了探索，發(fā)現(xiàn)將“過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)”替換為“圓錐曲線內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)”，結(jié)論仍然成立.實(shí)際上，通過(guò)觀察尹惠民老師的計(jì)算過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，尹惠民老師在文[3]中實(shí)際上證明的是：

命題2以過(guò)平面內(nèi)一定點(diǎn)的兩條互相垂直的動(dòng)直線與圓錐曲線的相交弦為直徑的圓，公共弦所在直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

本文對(duì)這一定點(diǎn)命題進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)文[3]中，兩條弦所在直線垂直這一條件是多余的，即：

命題3以過(guò)平面內(nèi)一定點(diǎn)的兩條動(dòng)直線與圓錐曲線的相交弦為直徑的圓，公共弦所在直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形，對(duì)這一命題進(jìn)行詳細(xì)論證，并且在論證的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)有趣的推論，首先給出橢圓情形的證明.

圖1

證明設(shè)P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線l，l′的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l，l′的斜率分別為k，k′，那么直線l的方程為y=k(x-x0)+y0，l′的方程為y=k′(x-x0)+y0，

聯(lián)立直線l和橢圓Γ的方程

消去y，得到

(b2+a2k2)x2+2a2(y0-kx0)kx+a2(y0-kx0)2-a2b2=0，

那么y1+y2=k(x1+x2-2x0)+2y0

y1y2=k2x1x2+k(y0-kx0)(x1+x2)+(y0-kx0)2

以AB為直徑的圓的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，

整理可得

同理，以CD為直徑的圓的方程為

G(x，y)=a2y0x+b2x0y-a2x0y0-b2x0y0，

兩個(gè)圓的方程相減，整理可得兩圓公共弦所在直線m方程為：

(b2F(x)-a2H(y))(k+k′)+2G(x，y)(b2-a2kk′)=0，

可以檢驗(yàn)出方程有解，那么直線m經(jīng)過(guò)以該方程的解為坐標(biāo)的定點(diǎn).

可以檢驗(yàn)出當(dāng)直線l或者直線l′的斜率不存在時(shí)，直線m仍然經(jīng)過(guò)以方程

考慮到命題2和命題1證明相似，因此略去這一情形的論證.下面給出拋物線情形的證明.

圖2

命題3.3過(guò)點(diǎn)P作兩條動(dòng)直線l，l′分別交拋物線Γ：y2=2px(p>0)于點(diǎn)A、B，C、D.那么以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓公共弦所在直線m經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

證明設(shè)P(x0，

y0)，A(x1，y1)，

B(x2，y2)，當(dāng)直線l，l′的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l，l′的斜率分別為k，k′，那么直線l的方程為y=k(x-x0)+y0，

l′的方程為y=k′(x-x0)+y0，

聯(lián)立直線l和拋物線Γ的方程

消去y，得到

k2x2+2(ky0-k2x0-p)x+(y0-kx0)2=0，

y1y2=k2x1x2+k(y0-kx0)(x1+x2)+(y0-kx0)2

以AB為直徑的圓的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，

整理可得

同理，以CD為直徑的圓的方程為

g(x，y)=xy0+py0-x0y0-py，

兩個(gè)圓的方程相減，整理可得兩圓公共弦所在直線方程為

f(x)(k+k′)+2g(x，y)kk′=0，

那么直線m經(jīng)過(guò)以該方程的解為坐標(biāo)的定點(diǎn).

當(dāng)直線l，l′的斜率k，k′滿足αkk′+β(k+k′)=0(α，β是不全為零的常數(shù))時(shí)，直線m的方程為αf(x)-2βg(x，y)=0.所以可得如下結(jié)論：

推論2過(guò)點(diǎn)P作兩條直線l，l′分別交拋物線Γ：y2=2px(p>0)于點(diǎn)A、B，C、D，直線l，l′的斜率為k，k′且αkk′+β(k+k′)=0 (α，β是不全為零的常數(shù)).那么以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓公共弦所在直線m為一條定直線.

最后，需要指出的是，如果兩圓的公共弦不存在時(shí)，那么本文提出的命題3反映的則是兩圓的根軸的性質(zhì).